1、一、一、数学科学的重要性数学科学的重要性 由于数学的重要性和广泛应用，在国际由于数学的重要性和广泛应用，在国际上上“数学数学”（Mathematics）已逐渐被）已逐渐被“数数学科学学科学”(Mathematical Sciences）代替）代替.第二次世界大战后，新技术、特别是高第二次世界大战后，新技术、特别是高技术像雨后春笋般出现技术像雨后春笋般出现.数学的应用，从传数学的应用，从传统的机械制造等领域迅速扩展到这些高新技统的机械制造等领域迅速扩展到这些高新技术中术中.目前，数学在航空航天技术，先进制目前，数学在航空航天技术，先进制造技术，信息技术，网络技术和网络安造技术，信息技术，网络技术
2、和网络安全，能源勘探开发，环境保护和生态，全，能源勘探开发，环境保护和生态，经济管理，城市规划和交通，基因工程经济管理，城市规划和交通，基因工程和生物信息技术，生物医学和疾病防治和生物信息技术，生物医学和疾病防治等方面起着非常重要的作用等方面起着非常重要的作用.科学技术是第一生产力科学技术是第一生产力.*信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争；信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争；*“高技术高技术”本质上是一种数学技术本质上是一种数学技术 (Mathematical-Technique)；*数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行 的技术；的技术；*产生新
3、的科研手段：基于数学基础的仿真产生新的科研手段：基于数学基础的仿真技术技术.*计算机的飞速发展促使数学得以广泛应用；计算机的飞速发展促使数学得以广泛应用；二、数学模型与数学建模二、数学模型与数学建模数学模型数学模型(Mathematical Model):重结果；重结果；数学建模数学建模(Mathematical Modeling):):重过程重过程 模型模型:所研究的客观事物有关属性的模拟所研究的客观事物有关属性的模拟,具有事物中感兴趣的主要性质具有事物中感兴趣的主要性质.*对实体本身的模拟对实体本身的模拟 如如:飞机形状进行模拟的模型飞机；飞机形状进行模拟的模型飞机；*对实体某些属性的模拟
4、对实体某些属性的模拟 如如:对飞机性能进行模拟的航模比赛飞机对飞机性能进行模拟的航模比赛飞机；*对实体某些属性的抽象对实体某些属性的抽象 如如:一张地质图是某地区地矿情况的抽象一张地质图是某地区地矿情况的抽象 任何一个模型仅为真实系统某一方面的任何一个模型仅为真实系统某一方面的理想化，决不是真实系统的重现理想化，决不是真实系统的重现.数学模型数学模型(E.A.Bendar 定义定义)：关于部分现实世界为一定目的而做的关于部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构抽象、简化的数学结构.数学模型是现实世界简化而本质的描述数学模型是现实世界简化而本质的描述.是用数学符号、数学公式、程序、图、是
5、用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物的本质属性与内在联系的表等刻画客观事物的本质属性与内在联系的理想化表述理想化表述.治愈治愈 瘫痪瘫痪 死亡死亡 状态状态（可能）（可能）行动行动（人能控制）（人能控制）等待等待治疗治疗例例1.1 大夫的决策问题大夫的决策问题 可使我们明确大夫的决策取决于目标的设定可使我们明确大夫的决策取决于目标的设定及治疗原则等及治疗原则等.此模型表达了大夫能做什么此模型表达了大夫能做什么,可能出现的结果可能出现的结果.数学模型是思考的工具数学模型是思考的工具 构造一个数学模型可帮助我们进行交流、构造一个数学模型可帮助我们进行交流、获得理解、加强对所采取的行动及
6、结果的预获得理解、加强对所采取的行动及结果的预测能力，它应有助于思考过程测能力，它应有助于思考过程.数学建模数学建模：创立一个数学模型的全过程：创立一个数学模型的全过程 是运用数学的思维方法、数学的语言去近是运用数学的思维方法、数学的语言去近似地刻画实际问题，并加以解决的全过程似地刻画实际问题，并加以解决的全过程.数学建模法是一种数学的思考方法，是解数学建模法是一种数学的思考方法，是解决实际问题的一种强有力的数学工具决实际问题的一种强有力的数学工具.例例1.1 生物医学专家根据药物浓度在人体生物医学专家根据药物浓度在人体内随时间和空间变化的数学模型，可用来分内随时间和空间变化的数学模型，可用来
7、分析药物的疗效，有效地指导临床用药析药物的疗效，有效地指导临床用药.例例1.2.厂长厂长经理们经理们筹划出一个合理安排生产筹划出一个合理安排生产和销售的数学模型，可获取尽可能高的经济效和销售的数学模型，可获取尽可能高的经济效益益.诺贝尔经济学奖获得者诺贝尔经济学奖获得者建立了大量的数建立了大量的数学模型，为世界经济发展做出卓越贡献：学模型，为世界经济发展做出卓越贡献：人类时间价格模型；人类时间价格模型；教师与毕业生的增长模型；教师与毕业生的增长模型；房屋出售问题模型；房屋出售问题模型；最优消费和组合投资问题；最优消费和组合投资问题；Selton 连锁店博弈模型；连锁店博弈模型；平稳人口模型；平
8、稳人口模型；固定汇率和浮动汇率的货币动力学固定汇率和浮动汇率的货币动力学人类时间价格的度量；人类时间价格的度量；考虑技术进步的生产函数考虑技术进步的生产函数.三、三、从现实世界到数学模型从现实世界到数学模型 数学模型是沟通现实世界与数学模型是沟通现实世界与数学世界的理想桥梁数学世界的理想桥梁面对各类问题如何建立数学模型？面对各类问题如何建立数学模型？1.世界的末日？世界的末日？当一个直径约当一个直径约为为1000米的小行米的小行星正好在南极与星正好在南极与南极洲大陆相撞南极洲大陆相撞,是否会产生灾难是否会产生灾难性的影响？性的影响？2.如何控制喷泉的高度？如何控制喷泉的高度？如何智能实时控制广
9、场中央的喷泉高度，如何智能实时控制广场中央的喷泉高度，以避免水雾浸湿游客的衣衫？以避免水雾浸湿游客的衣衫？3.地球会变暖了吗？地球会变暖了吗？能否根据地球过去能否根据地球过去50年的温度数据，推年的温度数据，推测地球气温将怎样变化？是否会即将出现测地球气温将怎样变化？是否会即将出现“千年极寒千年极寒”？4.如何安排城市交通？如何安排城市交通？巴黎凯旋门巴黎凯旋门 在城市的交通要道，设置人流、汽车流的在城市的交通要道，设置人流、汽车流的交通规则，避免交通阻塞，提高交通安全性交通规则，避免交通阻塞，提高交通安全性.数学模型是对于现实世界的一个数学模型是对于现实世界的一个特定对特定对象象，为了一个，
10、为了一个特定目的特定目的，根据，根据特有规律特有规律,做做出必要的出必要的简化假设简化假设，运用适当的数学工具，运用适当的数学工具建立的一个建立的一个数学结构数学结构.现现实实世世界界数数学学世世界界建立数学模型建立数学模型推理推理演绎演绎求解求解翻译为实际解答翻译为实际解答实际解答实际解答 对现实对象的描述、分析、预报、对现实对象的描述、分析、预报、决策、控制等结果决策、控制等结果始于现实世界并终于现实世界始于现实世界并终于现实世界例例1.3 一场笔墨官司一场笔墨官司 美国原子能委员会（现为核管理委员会）美国原子能委员会（现为核管理委员会）处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性处理浓缩放射性
11、废物，是将废物放入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深能很好的圆桶中，然后扔到水深300英尺的海英尺的海里里.他们这种做法安全吗？他们这种做法安全吗？分析分析 可从各个角度去分析造成危险的因素，可从各个角度去分析造成危险的因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能这里仅考虑圆桶泄露的可能.联想联想：安全：安全 、危险、危险问题的关键问题的关键1）圆桶至多能承受多大的冲撞速度？圆桶至多能承受多大的冲撞速度？(40英尺英尺/秒秒)2）圆桶和海底碰撞时的速度有多大？圆桶和海底碰撞时的速度有多大？问题转为问题转为求这种桶沉入求这种桶沉入300英尺的海底时英尺的海底时的末速度的末速度.（原问题是什么（原问题是什么?）
12、可利用的数据条件可利用的数据条件：圆桶的总重量圆桶的总重量 W=527.327（磅）（磅）圆桶受到的浮力圆桶受到的浮力 B=470.327（磅）（磅）圆桶下沉时受到的海水阻力圆桶下沉时受到的海水阻力 D=Cv，C=0.08 思路思路 利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移位移y(t)满足的微分方程：满足的微分方程：)1(22DBWdtydm vdtdyCvDgWm ,其其中中)2(.0)0(),(VBWWgvWCgdtdv或或方程的解为方程的解为 计算触底时的碰撞速度，需确定圆桶和计算触底时的碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间海底的碰撞时间 t0=？分析分析 考虑圆
13、桶的极限速度考虑圆桶的极限速度08.0327.470436.527)(lim CBWtvt0),1()(teCBWtvvtWCg713.86（英尺（英尺/秒）秒）40（英尺（英尺/秒）秒）实际极限速度实际极限速度与圆桶的与圆桶的承受速度承受速度相差巨大！相差巨大！结论结论 解决问题的方向是正确的解决问题的方向是正确的.解决思路解决思路 避开求避开求t0的难点的难点 令令 v(t)=v(y(t),其中其中 y=y(t)是圆桶下沉位移是圆桶下沉位移 dtdydydvdtdv.将将代入代入(1)得得,.CvBWdtdydydvm .0)0(,0)0(,yvWgdydvCvBWv或或两边积分得函数方程
14、：两边积分得函数方程：,ln2WgyBWCvBWCBWCv 若能求出函数若能求出函数v=v(y),就可求出碰撞速度就可求出碰撞速度v(300).(.(试一试试一试)*用数值方法求出用数值方法求出v(300)的近似值为的近似值为 v(300)45.41（英尺（英尺/秒）秒）40（英尺（英尺/秒）秒）*分析分析 v=v(y)是单调上升函数，而是单调上升函数，而v 增增大大,y 也增大也增大,可求出函数可求出函数 y=y(v)两种解决思路：两种解决思路：),ln(2BWCvBWCBWCWgWy 令令 v=40(英尺英尺/秒秒)，g=32.2(英尺英尺/秒秒)y=238.4(英尺英尺)300（英尺）（
15、英尺）问题的问题的实际解答实际解答：美国原子能委员会处理美国原子能委员会处理放射性废物的做法是极其危险的，必须改变放射性废物的做法是极其危险的，必须改变.算出算出例例1.2 渡口模型渡口模型(P22实例六实例六)一个渡口的渡船营运者拥有一只甲板长一个渡口的渡船营运者拥有一只甲板长32米米,可以并排停放两列车辆的渡船可以并排停放两列车辆的渡船.他在他在考虑怎样在甲板上安排过河车辆的位置考虑怎样在甲板上安排过河车辆的位置,才才能能安全安全地运过地运过尽量多尽量多的车辆的车辆.分析分析 怎样安排过河车辆，关心一次可以运怎样安排过河车辆，关心一次可以运多少辆各类车多少辆各类车.准备工作准备工作 观察数
16、日，发现每次情况不尽观察数日，发现每次情况不尽相同，得到下列数据和情况：相同，得到下列数据和情况：(1)车辆随机到达，形成一个等待上船的车辆随机到达，形成一个等待上船的车列；车列；这是一个机理较复杂的随机问题，是遵这是一个机理较复杂的随机问题，是遵循循“先到先服务先到先服务”的随机排队问题的随机排队问题.(2)来到车辆中来到车辆中,轿车约占轿车约占40，卡车约占，卡车约占55,摩托车约占摩托车约占5；(3)轿车车身长为轿车车身长为3.55.5米米,卡车车身长卡车车身长为为810米米.解决方法解决方法 采用模拟模型方法采用模拟模型方法.分析分析 需考虑以下问题需考虑以下问题：(1)应该怎样安排摩
17、托车？应该怎样安排摩托车？(2)下一辆到达的车是什么类型？下一辆到达的车是什么类型？(3)怎样描述一辆车的车身长度？怎样描述一辆车的车身长度？(4)如何安排到达车辆加入甲板上两列车队如何安排到达车辆加入甲板上两列车队中的哪一列中去？中的哪一列中去？解决问题思路：解决问题思路：(1)认为摩托车不会占有实际空间认为摩托车不会占有实际空间.(2)确定即将到达车辆类型，利用确定即将到达车辆类型，利用随机随机模拟方法模拟方法00.550.95 1卡车卡车轿车轿车摩托车摩托车(3)确定随机到达车辆的身长车确定随机到达车辆的身长车.汽车类型及车身长模拟原理分析汽车类型及车身长模拟原理分析(4)关于车辆的排放
18、关于车辆的排放.甲板可停放两列汽车，可供停车的总长为甲板可停放两列汽车，可供停车的总长为322=64米米 排放原则排放原则 两列尽可能均衡两列尽可能均衡.(.(怎样实现？怎样实现？)据人口学家们预测据人口学家们预测,到到2033年年,世界人口将世界人口将突破突破100亿亿,每年增加近每年增加近1 1亿人口亿人口,以后还会迅以后还会迅猛增长猛增长.人们开始考虑人们开始考虑,我们赖以生存的地球我们赖以生存的地球究竟是否能承受如此的增长究竟是否能承受如此的增长.现建立数学模型现建立数学模型来来预测人口预测人口的的增长增长.分析分析 设任意时刻的人口总数为设任意时刻的人口总数为N(t)，影影响一个地区
19、总人口数的最显著的因素应包响一个地区总人口数的最显著的因素应包括哪些？括哪些？例例2.3 人口增长模型人口增长模型影响因素影响因素个体的出生、死亡个体的出生、死亡 迁入、迁出迁入、迁出 年龄结构年龄结构 性别性别 比例比例 现仅考虑出生和死亡对人口数的影响现仅考虑出生和死亡对人口数的影响.在在时间段时间段 t 内，出生和死亡人口数的内，出生和死亡人口数的变化变化将依赖于以下因素：将依赖于以下因素：1.时间间隔时间间隔 t t的长短的长短；2.时间间隔开始时的人口基数时间间隔开始时的人口基数.1.建模过程建模过程 做最简单的假设：做最简单的假设：时间间隔时间间隔 t内的出生人数内的出生人数=b
20、N(t)t 时间间隔时间间隔 t内的死亡人数内的死亡人数=d N(t)tb 和和d d 分别是出生率和死亡率分别是出生率和死亡率.得到一个初始模型得到一个初始模型N(t+t)N(t)=(b d)N(t)t （1）针对时间区间针对时间区间 t的两种情况进一步讨论：的两种情况进一步讨论：1）t是一个确定的单位时间是一个确定的单位时间(比如比如 t=1年年)令令 Nk=N(k)=N(k t),k=1,2,3,得到关于序列得到关于序列Nk,k=1,2,3,的差分方程的差分方程:Nk+1=(b d+1)Nk k=1,2,3,（2）根据上一年的人口数可推算出第二年的人根据上一年的人口数可推算出第二年的人口
21、数以及逐年的人口数口数以及逐年的人口数.2）在很短的时间区间在很短的时间区间 t内，将人口数内，将人口数(t)视为一个连续变量视为一个连续变量.具有很小跃变的曲线可视具有很小跃变的曲线可视为平滑曲线为平滑曲线将将(1)改写为改写为abttNttNtN )()()(1令令 t0,有有dbdtdNN 1（3）模型分析模型分析 等式左端（以及右端）可以理解等式左端（以及右端）可以理解为为“相对增长率相对增长率”对相对增长率做不同的假设可以建立不对相对增长率做不同的假设可以建立不同的数学模型，并得到不同的解曲线同的数学模型，并得到不同的解曲线.1）假设人口净增长率假设人口净增长率b和净死亡率和净死亡率
22、d 均为常均为常数，净相对增长率数，净相对增长率r=b d 也是常数也是常数.初始条件初始条件N0=N(0)，方程，方程(3)的解为的解为 N(t)=N0ert,t0 模型分析模型分析 假若净增长率假若净增长率r 0,人口的预测人口的预测值将以值将以e r为公比按几何级数无限增长为公比按几何级数无限增长.（参（参见见P60例例3.4.6）原因原因 假设条件过于简单假设条件过于简单.不太符不太符合实际合实际 英国神父英国神父Malthus在分析了一百多年人口在分析了一百多年人口统计资料的基础上建立的模型统计资料的基础上建立的模型.实际上随着人口不断增长，环境资源实际上随着人口不断增长，环境资源所
23、能承受的人口容量的限制，以及人口中所能承受的人口容量的限制，以及人口中年龄和性别结构等都会对出生和死亡产生年龄和性别结构等都会对出生和死亡产生影响，只能在极小的时间段内才可以把人影响，只能在极小的时间段内才可以把人口净增长率口净增长率r近似地看着常数近似地看着常数.3.模型改进模型改进将将“人口净增长率人口净增长率”视为函数视为函数r(N),方程方程(3)改为改为 0)0()()()(NNtNtNrdttdN（4）解得解得0,)(0)(0 teNtNtdttNr由于由于rN(t)是未知函数是未知函数,无法确定无法确定N(t).将净增长率将净增长率r 看成人口数看成人口数N的线性函数的线性函数,
24、设设r(N)=a+c N,并设并设r(0)=r,且存在一个数值且存在一个数值K使使r(K)=0.即有即有 0)()0()(KrrrcNaNr求解得求解得 r(N)=r(1 N/K)，4.进一步进一步改进改进代入式代入式(4)中中,有有 0)0()()1(NNtNKNrdtdN得到得到Logistic模型：模型：rteNKKrteNKrtKeNtN )10(1)1(00)(模型分析模型分析;0)(,0.1 tNtr则有则有随着随着若若;)(,0.20KtNtNr 时均有时均有当当的任意值，的任意值，对对若若.)(0.30NtNr 时，时，若若 模型实际检验模型实际检验 用用Malthus模型和模型和Logistic模型计算所得的美国十九世纪初人口预测模型计算所得的美国十九世纪初人口预测数数.其中其中K=197273000，r=0.03134.合乎实际合乎实际 练习题练习题 请绘出请绘出Logistic曲线图曲线图,分析曲线特分析曲线特征征,据此讨论：据此讨论：1.Logistic模型具有哪些特点？模型具有哪些特点？3.请将此例的人口模型与新产品销售模型请将此例的人口模型与新产品销售模型（讲义（讲义P20 实例五）进行类比实例五）进行类比,它们在建模方它们在建模方 法和模型描述方面有什么异同处法和模型描述方面有什么异同处?2.比较两个人口模型的优缺点比较两个人口模型的优缺点.
