1、第四讲 数论与代数知识初步(下)1感谢你的欣赏2019-10-2本讲提要q 二次剩余q 原根q 代数的几个基本概念2感谢你的欣赏2019-10-21 二次剩余1.1 二次剩余(1)1)()(mod 2#1)()(mod1 22。，为奇素数的情况，即虑时情况简单，我们仅考为素数的情况，因为考虑的二次非剩余。叫做模则的二次剩余；若无解，模叫做有解，则，若设pnpnxpmmmmnmnmnmnxm定义1定义13感谢你的欣赏2019-10-21.1 二次剩余(续)非负剩余。的最小表示模，这里缩系中的全部二次剩余就是模，的二次非剩余，且个模剩余和的二次个模中，有，的缩系模pppppppppppp(2)21
2、21 )1(21)1(21121在22 定理1定理14感谢你的欣赏2019-10-21.1 二次剩余(续)。必要条件是的二次非剩余的充分是模；条件是的二次剩余的充分必要是模。的二次非剩余，则是模而如果，的二次剩余，则是模如果)(mod1)(mod14)()(mod1 3)()(mod1 21212121p npnpn pnpn pnp npnpppp 推论1推论1定理2定理25感谢你的欣赏2019-10-21.2 二次同余式的解法式的解。为时，当式的解；为时，当式的解；为时，当的二次剩余，则有是模设)1(!21)(mod1)8(mod5)1()(mod1)8(mod5)1()4(mod3834
3、1834141pppppnpp npnp npn ppn 定理3定理36感谢你的欣赏2019-10-2。，应用中国剩余定理可得，所以根据前面的定理易求，因此，和这意味着的平方根。求根。无平方，所以，的平方根。求。是的平方根，所以，有平方根。，所以，的平方根。求)77(mod15292915)11(mod4)7(mod1)11(mod4)7(mod1)11(mod4)7(mod1)11(mod4)7(mod1)11(mod4),7(mod1得)11(mod571)7(mod171)77(mod71 2(mod11)11(mod125/2011)/2(2(mod11)45(mod11)11(mod
4、45312/41)/4(5(mod11)11(mod155/2011)/2(5(mod11)222535xxxxxxxxxxxxxxxpxpxp例子3例子3 例子2例子2例子1例子1 1.2 二次同余式的解法(续)7感谢你的欣赏2019-10-22 原根。，则的次数为对模设。，则，如有的次数为对模设的次数。对模叫做成立的最小正整数，则是使，设)(|0)(mod1)(mod1 1)(0 mllmanlnmalmamalmalammnl 推推论论2 2定定理理4 4定定义义2 22.1 整数的次数8感谢你的欣赏2019-10-22.1 整数的次数(续)。的次数均为对模，个数，则的次数是对模设。，则
5、的次数为对模，的次数是对模设两两互不同余。对模，则的次数为对模设lmll allmallllmalmamaaalmal0 1)()()(01 1112 推推论论3 3定定理理6 6 定定理理5 59感谢你的欣赏2019-10-22.1 整数的次数(续)个。整数的个数是互不同余的的，模，则次数是设。的次数都为的整数，它们对模两两不同余个对模，则恰有的次数为模，它对整数是一个素数，如果存在设)(1|)(lplpllppllpap 定定理理8 8定定理理7 710感谢你的欣赏2019-10-22.2 原根情况无原根。有原根，其他时，为奇素数，的一组缩系。组成模，根的充分必要条件是的一个原是，则，设的
6、一个原根。叫模，则的次数为对，如果整数，设整数1)1(242 01)()(1)(0)(2mmplppmmgggmgmmgmgmmgmgmllm 定定理理1 10 0定定理理9 9定定义义3 311感谢你的欣赏2019-10-22.2 原根(续)的一个原根。是知由，故，设的一个原根。是。，分必要条件是的一个原根的充是，则，的所有不同素因子是，设4 41 12 24 41 12 2 1)41(mod11812)41(mod14012525240)41(411)21()(mod1 1)()(2820213)(21定定理理1 11 1例例子子4 4定定理理1 11 1 qqmsimgmgmgqqqmm
7、iqms12感谢你的欣赏2019-10-22.2 原根(续)。，是因此，全是原根。它们个，个数刚好是已经去除，剩下的数的，其中，所以在序列中去除的次数小于对模，因为其次取，故在以上序列去除的次数小于对模因为。，列出的原根。求出的原根。都不是，则，的次数是对模奇素数设353430292826242219171513121176 )40(4032911143238402793 4041331213136189253337394020105233216842 404124021 21 14 41 1 例例子子5 5定定理理1 12 2pdapddpa13感谢你的欣赏2019-10-23 群 环 域3
8、.1 群。，对于所有，如果还满足交换群是阿贝尔群一个群的逆元。叫做，满足，存在一个对任意；，有对于所有的存在一个单位元；结合律，对任意满足如下属性：一个二元运算组成，且和在其上的是由一个非空集合，一个群abbaGbaGaaaaaaGaGaaaa GaGcbacbaGcb aGG (4)(1 (3)11 1 (2)()()(1)(1111 定义4定义414感谢你的欣赏2019-10-2。，位元下构成群，单在逻辑异或，集合下构成群；的矩阵在乘法式不等于下构成群，所有行列矩阵在加法所有下构成群；法元素在乘所有非有理数，实数，复数集；下构成群，单位元整数集在加法TTFeXORFTe1)4(022)3(
9、0)2(0(1)例例子子6 63.1 群(续)15感谢你的欣赏2019-10-23.2 环，称其为有单位的环。足满，存在乘法单位元交换环。如果对于所有，称其为有，进一步，如果对于所有。和，的分配律。即对于所有对运算运算；，的结合律。即对于所有运算；单位元为是一个阿贝尔群，加法，且满足如下属性：乘法和加法的两个二元运算和在其上定义是一个非空集合，一个环aaaRaabbaRbaacabacbcabacbaRcbacbacbaRcbaRRR 1 10 1 )()()()()()(3)()(2)0 )(1)()()(定定义义5 516感谢你的欣赏2019-10-2构成单位交换环。的加法和乘法也整数对于
10、整数集上的模任意；运算均构成单位交换环复数集上的加法和乘法整数，有理数，实数，m)2(1)例例子子7 73.2 环(续)17感谢你的欣赏2019-10-23.3 域构的阶。元的个数叫做代数结有限的，否则是无限的代数结构是量是有限的我们称这个一个代数结构的元的数的加法和乘法构成域。整数集上的对于模素数有乘法逆元；和有，因为只法和乘法运算不构成域域，但是整数集上的加均构成上的加法和乘法运算下有理数，实数，复数集。群，则该交换环叫做域个元在乘法运算下构成一如果一个交换环中的非p)2(11(1)0 例例子子8 8 定定义义6 6 18感谢你的欣赏2019-10-219感谢你的欣赏2019-10-2谢谢！20感谢你的欣赏2019-10-2
