1、 在时变场情况下，电场和磁场相互激励，在空间在时变场情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成电磁波，时变电磁场的能量以电磁波的形式传播。形成电磁波，时变电磁场的能量以电磁波的形式传播。电磁场的波动性可用电磁场满足的波动方程来描电磁场的波动性可用电磁场满足的波动方程来描述，而波动方程是将麦克斯韦方程组进行适当变化后述，而波动方程是将麦克斯韦方程组进行适当变化后得到的。得到的。第第4章时变电磁场章时变电磁场4.1 波动方程波动方程时变电磁场具有波动性，其波动方程与一般波动方程相似，时变电磁场具有波动性，其波动方程与一般波动方程相似，这是波动运动的共性。这是波动运动的共性。另一方面，电磁场的波动具有个
2、性，即它必须满足麦克斯另一方面，电磁场的波动具有个性，即它必须满足麦克斯韦方程。韦方程。波动方程的建立波动方程的建立在无源空间中，电荷和电流处处为零，即在无源空间中，电荷和电流处处为零，即 0 0，J J0 0，电，电磁场满足的麦克斯韦方程为磁场满足的麦克斯韦方程为 ,0,0tt DBHEBD对第二式两边取旋度，并利用对第二式两边取旋度，并利用D D=E E、B B=H H，得，得 22tt EEB利用利用 和得和得 2 AAA 0 DE 222210vt EE同理：同理：222210vt HH1v 电磁场波动方电磁场波动方程，典型的三程，典型的三维波动方程维波动方程 波动方程解的一般形式波动
3、方程解的一般形式 求解三维方程比较困难，且解的物理意义不易理解。下面求解三维方程比较困难，且解的物理意义不易理解。下面将方程简化，再进行求解和分析。设强度将方程简化，再进行求解和分析。设强度E E只与只与z z和时间和时间t t有关，有关，其方向沿其方向沿x x方向，即方向，即 (,)xE z t Ee222221(,)(,)0E z tE z tzvt一维波动方程一维波动方程(,)(,)(,)zzE z tEz tEz tftftvv 解的函数形式解的函数形式 变量变量 波动方程解的诠注波动方程解的诠注 电磁场的波动性电磁场的波动性 现在关心函数变量现在关心函数变量 。ztv(,)zEz t
4、ftv 考虑第一项考虑第一项 代表的物理意义。代表的物理意义。0ztv 设设f f+的波形当变量的波形当变量 时为最大值。令波形最大值的时为最大值。令波形最大值的位置为位置为z=zz=zmaxmaxt00t1vt1t2vt2t3vt3t4vt4z不同时刻波形最大值出现的位置不同时刻波形最大值出现的位置t t=0=0，z zmaxmax=0=0；t=t1 0，zmax=vt10；沿沿z z方向传播方向传播 max1212zvtvtvttt图形移动速度，即电磁波速度图形移动速度，即电磁波速度 t=t2 t1，zmax=vt2vt10；t5vt5波动方程及其解的进一步说明波动方程及其解的进一步说明
5、同理可得第二项表示沿同理可得第二项表示沿-z z方向传播的波方向传播的波 波动方程的解代表两个沿相反方向传播的波，具体选择视具波动方程的解代表两个沿相反方向传播的波，具体选择视具体情况而定体情况而定 三维波动方程的解仍然代表传播的波，但无法用图形描绘三维波动方程的解仍然代表传播的波，但无法用图形描绘 满足波动方程的电磁场，以振荡形式在空间中传播，形成电满足波动方程的电磁场，以振荡形式在空间中传播，形成电磁波，其传播速度为磁波，其传播速度为 ，真空中，真空中 1v 80013 10/vcm s 4.2 电磁场的位函数电磁场的位函数 在静态场中引入了标量位和矢量位，分别描述电场和磁场，在静态场中引
6、入了标量位和矢量位，分别描述电场和磁场，简化了对电场和磁场的分析过程。对于时变电磁场，也可以引简化了对电场和磁场的分析过程。对于时变电磁场，也可以引入位函数来描述。入位函数来描述。4.2.1 矢量位和标量位矢量位和标量位0 BBAA 矢量矢量由，称为由，称为位函数位函数。0ttt BAAEEE再由再由标量位函数标量位函数t ABAE引入引入A A和和 的意义在于简化电磁场的求解过程，特别是对于复的意义在于简化电磁场的求解过程，特别是对于复杂的辐射问题，引入位函数可以大大简化。杂的辐射问题，引入位函数可以大大简化。注意，这里定义的矢量位注意，这里定义的矢量位A A和标量位和标量位 不是惟一确定的
7、，对于不是惟一确定的，对于同样一组同样一组E E和和B B，还可以用另一组位函数来表示，即有，还可以用另一组位函数来表示，即有t AAA，其中为任意标量函数，其中为任意标量函数 tttt AAABAAAE+=+=显然不同的位函数对应同样的电磁场。由于显然不同的位函数对应同样的电磁场。由于 是任意标量，是任意标量，所以同样电磁场的位函数有无数多组，即电磁场的位函数具有所以同样电磁场的位函数有无数多组，即电磁场的位函数具有不确定性。不确定性。位函数的不确定性来源于只给定了矢量位位函数的不确定性来源于只给定了矢量位A A的旋度，对其散的旋度，对其散度没有任何限制。只有同时给定矢量场的旋度和散度，才能
8、惟度没有任何限制。只有同时给定矢量场的旋度和散度，才能惟一确定这个矢量场。所以，必须对矢量位一确定这个矢量场。所以，必须对矢量位A A的散度作出限制。的散度作出限制。0t A 洛仑兹条件洛仑兹条件在电磁场工程中，通常规定矢量位在电磁场工程中，通常规定矢量位A A的散度为的散度为或规定矢量位或规定矢量位A A的散度为的散度为0A 库仑条件库仑条件tt AEBAEHJ将和代入，有将和代入，有22ttAJA222ttAAJA 222tt AAAJ t AEDDE 再将代入，且利用，得再将代入，且利用，得2t A 4.2.2 达朗贝尔方程达朗贝尔方程0t A 利用洛仑兹条件 ，得利用洛仑兹条件 ，得2
9、22222tt AAJ位函数满足的达朗贝尔方程，是非齐次的波动方程。位函数满足的达朗贝尔方程，是非齐次的波动方程。达朗贝尔方程和位函数的波动性达朗贝尔方程和位函数的波动性 电荷产生标量位波动电荷产生标量位波动 电流产生矢量位波动电流产生矢量位波动 离开源后，位函数以波动的形式存在并传播，由此决定电磁离开源后，位函数以波动的形式存在并传播，由此决定电磁场也以波动的形式存在和传播场也以波动的形式存在和传播222t 说明说明JtAA222 若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程?具有什么特点具有什么特点?问题问题 应用洛仑兹条件的特点：应用洛仑兹条件的特点：位函
10、数满足的方程在形式上是对称位函数满足的方程在形式上是对称 的，且比较简单，易求解；的，且比较简单，易求解；解的物理意义非常清楚，明确地解的物理意义非常清楚，明确地 反映出电磁场具有有限的传递速度；反映出电磁场具有有限的传递速度；矢量位只决定于矢量位只决定于J，标，标 量位只决定于量位只决定于，这对求解方程特别有利。只需解出这对求解方程特别有利。只需解出A，无需，无需 解出解出 就可得到待求的电场和磁场。就可得到待求的电场和磁场。电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应 用不同的规范条件，矢量位用不同的规范条件，矢量位A和标量位
11、和标量位 的解也不相同，但最终的解也不相同，但最终 得到的电磁场矢量是相同的。得到的电磁场矢量是相同的。库仑规范：库仑规范：位函数的规范条件位函数的规范条件0A 222AAJtt 2 不利点：不利点：磁矢位与电位函数不能分离！磁矢位与电位函数不能分离！问题：问题：u在时变电磁场中在时变电磁场中 位函数的作用位函数的作用？电磁场的波动方程电磁场的波动方程222JHHt 222J1EEtt 222AAJt 1At 位函数方程位函数方程AEt AB结论：结论：l 无源区两种方法一样简单无源区两种方法一样简单l 有源区位函数方程更简单有源区位函数方程更简单4.3 电磁能量守恒定律电磁能量守恒定律 能量
12、守恒定律是一切物质运动过程遵守的普遍规律，作为能量守恒定律是一切物质运动过程遵守的普遍规律，作为特殊形态的物质，电磁场及其运动过程也遵守这一规律。特殊形态的物质，电磁场及其运动过程也遵守这一规律。本节将详细讨论电磁场的能量和能量守恒定律，引入重要本节将详细讨论电磁场的能量和能量守恒定律，引入重要的坡印廷矢量和坡印廷定理，分析讨论电磁场能量、电荷电的坡印廷矢量和坡印廷定理，分析讨论电磁场能量、电荷电流运动及电磁场做功之间的相互联系。流运动及电磁场做功之间的相互联系。电磁能量问题有关概念电磁能量问题有关概念 电磁场的能量密度：电磁场能量的空间分布用能量密度电磁场的能量密度：电磁场能量的空间分布用能
13、量密度w w来来描述，它表示描述，它表示单位体积中电磁场的能量单位体积中电磁场的能量，通常是坐标与时间的，通常是坐标与时间的函数，即函数，即 ,wwt r 电磁场的能量流密度：电磁波电磁振荡定向运动伴随电磁电磁场的能量流密度：电磁波电磁振荡定向运动伴随电磁场能量移动，其流动情况用电磁场能量流密度场能量移动，其流动情况用电磁场能量流密度(能流密度能流密度)S S表表示。示。S S是矢量，数值为是矢量，数值为单位时间垂直流过单位面积的能量单位时间垂直流过单位面积的能量，方，方向为能量流动方向，一般是坐标和时间的函数，即向为能量流动方向，一般是坐标和时间的函数，即 ,t SS r 电磁场的能量流通量
14、：通过面积电磁场的能量流通量：通过面积 的能量流通量为的能量流通量为 d S 电磁场对连续电荷系统做的功：电磁场对连续电荷系统做的功：dP v EJ EVPdV J E 对单位体积电荷做功的功率对单位体积电荷做功的功率对体积对体积V V中电荷做功的功率中电荷做功的功率 电磁场对电荷系统做的功：电磁场中运动速度为电磁场对电荷系统做的功：电磁场中运动速度为v v的电荷的电荷q q受受到的电磁场作用力到的电磁场作用力 ，功率，功率qqFEvBPqF vv E 电磁场的能量守恒定律电磁场的能量守恒定律设区域设区域V V中电磁场能量随时间减少，由于能量守恒，减少的中电磁场能量随时间减少，由于能量守恒，减
15、少的能量可能通过边界能量可能通过边界 流出，或因对流出，或因对V V中电荷做功而消耗，即中电荷做功而消耗，即 减少量减少量 =流出量流出量 +消耗量消耗量 n E,H V 流出能量流出能量 VdwdVdt d S VdV J E VVdwdVddVdt SJ E wt SJ E坡应廷定理坡应廷定理或或电磁电磁场能量守恒定理场能量守恒定理 用场量表示能量密度和能流密度用场量表示能量密度和能流密度能量密度和能流密度应该与电磁场场量有关，能量密度和能流密度应该与电磁场场量有关，w w和和S S可以用场可以用场量来表示。量来表示。由由t DJH tttt DJ EEHEDEHHEEBDEHHE EHE
16、HHEt BE与与坡坡应应廷廷定定理理比比较较wttt SEHDBEH 坡应廷矢量坡应廷矢量1122emwww E DH B 电磁场能量密度电磁场能量密度电场能量密度电场能量密度磁场能量密度磁场能量密度 定义：定义：(W/mW/m2 2 )SH 物理意义物理意义：的方向的方向 电磁能量传输的方向电磁能量传输的方向S 的大小的大小 通过垂直于能量传输方通过垂直于能量传输方 向的单位面积的电磁功率向的单位面积的电磁功率S 描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量 坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）H S 能能流流密密度度矢矢
17、量量 E O例例 一根长度为一根长度为l l、横截面为、横截面为S S的导线两端电位差为的导线两端电位差为U U，导，导线的电导率为线的电导率为。求当电流流过导线时电场能量的损耗。求当电流流过导线时电场能量的损耗。解：解：当导线两端存在电位差时，导线中会产生电场，即当导线两端存在电位差时，导线中会产生电场，即 ,UUEJEll 222VSUdVSlE SlUPlR J EE E 可见，电场对电荷做功导致电场能量消耗，电场能量通过做功可见，电场对电荷做功导致电场能量消耗，电场能量通过做功转换为光、热、机械能或其他形式的能量。转换为光、热、机械能或其他形式的能量。例例4.3.14.3.1 同轴线的
18、内导体半径为同轴线的内导体半径为a a、外导体的内半径为、外导体的内半径为b b，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U U，导体中流，导体中流过的电流为过的电流为I I。（。（1 1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率；（传输的功率；（2 2）当导体的电导率）当导体的电导率为有限值时，计算通过内导为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。体表面进入每单位长度内导体的功率。同轴线同轴线 解解：（：（1 1）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存）在内外导体为理想导体的
19、情况下，电场和磁场只存在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量，只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易量，只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内外导体之间的电场和磁场分别为求得内外导体之间的电场和磁场分别为,ln()UEeb a ()ab 2IHe 2()ln()22ln()zUIUISEHeeeb ab a 内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源
20、流向负载，如图所示。负载，如图所示。2d2 d2ln()bzSaUIPS eSUIb a 穿过任意横截面的功率为穿过任意横截面的功率为同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（理想导体情况）（理想导体情况）（2 2）当导体的电导率）当导体的电导率为有限值时，导体内部存在沿电流方为有限值时，导体内部存在沿电流方向的电场向的电场内内2zJIEea 根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即因此，在内导体表面外侧的电场为因此，在内导体表面外侧的电场为zzEE 外外 内2ln()zaUIEeeab aa 外2aIHea
21、外磁场则仍为磁场则仍为内导体表面外侧的坡印廷矢量为内导体表面外侧的坡印廷矢量为2232()22ln()zaaIUISEHeeaab a 外外外同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况）（非理想导体情况）22122320()d2 d2SaIIPSeSa zRIaa 外21Ra 式中式中 是单位长度内导体的电阻。由此可见，进是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。由此可见，内导体表面外由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径向分量，如分量，也
22、有径向分量，如图所示。图所示。进入每单位长度进入每单位长度内导体的功率为内导体的功率为 以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况）（非理想导体情况）0t 2220EEt 222AAJt 11()(E DH B)E J22E HStS 在以闭
23、曲面在以闭曲面S S为边界的有界区域为边界的有界区域V V 内，内，如果给定如果给定t t0 0 时刻的电场强度和磁场强度时刻的电场强度和磁场强度的初始值，并且在的初始值，并且在 t t 0 0 时，给定边界面时，给定边界面S S上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在 t t 0 0 时，区域时，区域V V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。惟一性定理的表述惟一性定理的表述 在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初始条件和边界条
24、件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦克斯韦方程的解的惟一问题。克斯韦方程的解的惟一问题。惟一性问题惟一性问题VS 惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场问题的求解提供了理论依据，具有非常重为电磁场问题的求解提供了理论依据，具有非常重 要的意义和广泛的应用。要的意义和广泛的应用。场源（电荷或电流）以一定的角频率场源（电荷或电流）以一定的角频率 随时间作正弦变化，随时间
25、作正弦变化，它所激发的电磁场也以相同的角频率随时间作正弦变化，称为它所激发的电磁场也以相同的角频率随时间作正弦变化，称为时谐场时谐场或或正弦场正弦场 广播、电视和通信的载波，都是广播、电视和通信的载波，都是时谐波时谐波或称或称正弦电磁波正弦电磁波 即使电磁场不是正弦场，也可以通过富里叶变换展开成正弦即使电磁场不是正弦场，也可以通过富里叶变换展开成正弦场来研究。所以，研究正弦场具有普遍意义场来研究。所以，研究正弦场具有普遍意义 复数表示法可以使大多数正弦场问题得以简化，但有时仍需复数表示法可以使大多数正弦场问题得以简化，但有时仍需用实数形式（称为瞬时表示法），所以经常会遇到两种表示法用实数形式（
26、称为瞬时表示法），所以经常会遇到两种表示法的互换的互换 另外，对于能量密度、能流密度等含有场量的平方关系的物另外，对于能量密度、能流密度等含有场量的平方关系的物理量（称为二次式），只能用瞬时的形式来表示理量（称为二次式），只能用瞬时的形式来表示4.5 时谐电磁场时谐电磁场设是一个以角频率设是一个以角频率 随时间随时间t t作正弦变化的场量，它作正弦变化的场量，它可以是电场和磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变可以是电场和磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，它与时间的关系可以表示成量，它与时间的关系可以表示成 ,Atr 0,cosAtAtrr式中的式中的A A0 0为振幅，为振幅
27、，(r r)为与坐标有关的相位因子。为与坐标有关的相位因子。利用三角公式利用三角公式实数表示法或瞬时实数表示法或瞬时表示法，瞬时场表示法，瞬时场 0,ReRe,jtAtA eAt rrr 其中其中 0,jjtjtAtA eeAe rrr 复数表示法复数表示法时间因子时间因子复振幅复振幅相位因子相位因子照此法，电场各分量照此法，电场各分量E Ei i（i i 表示表示x x，y y或或z z）可表示成）可表示成 0,ijtj tiiiEtEeE e rrr4.5.1 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示 各分量合成以后，电场强度为各分量合成以后，电场强度为 0,jtj ttee rE rE
28、rE 0jxxyyzzEEEe rE rarararE 复矢量，只与复矢量，只与坐标有关，与坐标有关，与时间无关时间无关 同理：同理：,jtjtjtjttetetete D rD rB rB rH rH rJ rJ r对复数表示法的进一步说明对复数表示法的进一步说明 复数式用复数式用“”以示区别，但实际中以示区别，但实际中“”并不写出来并不写出来 复数式只是数学表示方式，不代表真实的场复数式只是数学表示方式，不代表真实的场 真实场是复数式的实部，即瞬时表达式真实场是复数式的实部，即瞬时表达式 由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标
29、有关的部份就可表示场量关的部份就可表示场量 复数表示法与瞬时表示法的变换复数表示法与瞬时表示法的变换 0,costtE rEr瞬时表示法瞬时表示法 0,jtte rE rE复数表示法复数表示法 0je rE rE不含时间因子不含时间因子的复数表示法的复数表示法 0,jtte rE rE恢复时间因子恢复时间因子取实部得到瞬时表示法，即瞬时场取实部得到瞬时表示法，即瞬时场 000,ReRecosjtjj tteeet rrE rEEEr将复数形式表示的场量和电荷、电流，代入麦克斯韦方程组，将复数形式表示的场量和电荷、电流，代入麦克斯韦方程组，可得正弦场的麦克斯韦方程组，如可得正弦场的麦克斯韦方程组
30、，如 j tj tj tj tj teeeteje H rJ rD rJ rD r 消去时间因子消去时间因子 j H rJ rD r 略去略去“”j HJD同理同理0jj HJDEBBD 4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程复矢量的麦克斯韦方程 对复数形式麦氏方程的说明对复数形式麦氏方程的说明 方程中的各量都不包含时间因子，各量均与时间无关方程中的各量都不包含时间因子，各量均与时间无关 因为因为 所以时间偏导数作用于复数形式所以时间偏导数作用于复数形式的场量时，相当于在场量前乘上的场量时，相当于在场量前乘上j，如如jtjtejet t ,tjtt E rE r例例1 已知时变场的电场强度为已知时变
31、场的电场强度为 ，其中其中E Exmxm和和 k kz z为实常数。写出电场强度的瞬时矢量。为实常数。写出电场强度的瞬时矢量。cosxxmzzjEk z Ee解：解：2,RecosRecoscoscos2j txxmzjtxxmzxxmzz tjEk z eEk z eEk zt Eeee 例例4.5.14.5.1 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式mm(,)cos()sin()xxxyyyE z te Etkze Etkz （2）mm(,)()sin()sin()cos()cos()xzaxH x z te H kkztaxe Hkzta 解解：（：（1
32、 1）由于）由于mm(,)cos()cos()2xxxyyyE z te Etkze Etkz j(/2)j()mmReeeyxt kzt kzxxyye Ee E j(/2)j()mmm()eeyxkzkzxxyyEze Ee E jjjmm(eje)eyxkzxxyye Ee E （1）所以所以（2 2）因为）因为 cos()cos()kzttkz sin()cos()cos()22kztkzttkz jj 2jmmm(,)()sin()ecos()ekzkzxzaxxHx ze H ke Haa 故故 mm(,)()sin()sin()cos()cos()xzaxH x z te H k
33、kztaxe Hkzta 所以所以 mm()sin()cos()2cos()cos()xzaxe H ktkzaxe Htkza 实际的介质都存在损耗：实际的介质都存在损耗：导电媒质导电媒质当电导率有限时，存在欧姆损耗当电导率有限时，存在欧姆损耗 电介质电介质受到极化时，存在电极化损耗受到极化时，存在电极化损耗 磁介质磁介质受到磁化时，存在磁化损耗受到磁化时，存在磁化损耗 损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略4.5.3 复电容率和复磁导率复
34、电容率和复磁导率 cjjjj HEEEE 导电媒质的等效介电常数导电媒质的等效介电常数 对于介电常数为对于介电常数为、电导率为、电导率为 的导电媒质，有的导电媒质，有 cj 其中称为复介电常数或复电容率，其虚部表示欧姆其中称为复介电常数或复电容率，其虚部表示欧姆损耗。损耗。电介质的复介电常数电介质的复介电常数 对于存在电极化损耗的电介质，有对于存在电极化损耗的电介质，有 称称为复介电常数或复电容率。其虚部为大于零的数，表示电介质为复介电常数或复电容率。其虚部为大于零的数，表示电介质的电极化损耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。的电极化损耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。cj
35、同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质 对于同时存在电极化损耗和欧姆损耗的电介质，复介电常对于同时存在电极化损耗和欧姆损耗的电介质，复介电常数为数为+cj 磁介质的复磁导率磁介质的复磁导率 对于磁性介质，复磁导率数为对于磁性介质，复磁导率数为 ，其虚，其虚部为大于零的数，表示磁介质的磁化损耗。部为大于零的数，表示磁介质的磁化损耗。cj 损耗角正切损耗角正切 工程上通常用损耗角正切来表示介质的损耗特性，其定义工程上通常用损耗角正切来表示介质的损耗特性，其定义为复介常数或复磁导率虚部与实部之比，即有为复介常数或复磁导率虚部与实部之比，即有 tantantanem 电介质，
36、磁介质，导电介质电介质，磁介质，导电介质 导电媒质导电性能的相对性导电媒质导电性能的相对性 导电媒质的导电性能具有相对性，在不同频率情况下，导导电媒质的导电性能具有相对性，在不同频率情况下，导电媒质具有不同的导电性能。电媒质具有不同的导电性能。111 ，弱弱导导电电体体或或良良绝绝缘缘体体，一一般般导导电电体体，良良导导体体4.5.5 时谐场的位函数时谐场的位函数 在时谐时情况下，矢量位和标量位以及它们满足的方程都可在时谐时情况下，矢量位和标量位以及它们满足的方程都可以表示成复数形式，即以表示成复数形式，即j BAEA此时洛仑兹条件和位函数满足的达朗贝尔方程变为此时洛仑兹条件和位函数满足的达朗
37、贝尔方程变为2222jkk AAAJ 4.5.4 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 在时谐情况下，电磁场波动方程可写成在时谐情况下，电磁场波动方程可写成222200kkEEHH式中式中 ，此方程称为亥姆霍兹方程，即时谐情况下的，此方程称为亥姆霍兹方程，即时谐情况下的波动方程。对于有耗介质，有波动方程。对于有耗介质，有k cck 4.5.6 平均能量密度和平均能流密度平均能量密度和平均能流密度 时谐场中的二次式时谐场中的二次式电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方关系，这种关系式称为二次式。关系，这种关系式称为二次式。二次式的表示方法二次
38、式的表示方法二次式本身不能用复数形式表示，其中的场量必须是实数形二次式本身不能用复数形式表示，其中的场量必须是实数形式，不能将复数形式的场量直接代入。式，不能将复数形式的场量直接代入。设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为 00,cos,costttt E rErH rHr则能流密度为则能流密度为 200cost SEHEHr如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有 0,jtte rE rE 0,jtte rH rH 0020000ReReRecos 22jtjtjteeet rrrSEHEHEHEHr 00200R
39、eRecosjtjteet rrSEHEHr先取实，再代入先取实，再代入 使用二次式时需要注意的问题使用二次式时需要注意的问题 二次式只有实数的形式，没有复数形式二次式只有实数的形式，没有复数形式 场量是实数式时，直接代入二次式即可场量是实数式时，直接代入二次式即可 场量是复数式时，应先取实部再代入，即场量是复数式时，应先取实部再代入，即“先取实后相乘先取实后相乘”如复数形式的场量中没有时间因子，取实前如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子先补充时间因子 二次式的时间平均值二次式的时间平均值 能量密度和能流密度反映的是能量密度或能流密度在某一个能量密度和能流密度反映的是能量密度或
40、能流密度在某一个瞬时的取值，是时间的函数瞬时的取值，是时间的函数 有时要关心在一个时间周期中的平均值，即平均能量密度和有时要关心在一个时间周期中的平均值，即平均能量密度和平均能流密度。这就是二次式的时间平均值问题平均能流密度。这就是二次式的时间平均值问题如电场和磁场都用实数形式给出，则平均能流密度为如电场和磁场都用实数形式给出，则平均能流密度为 20000011cos2TtdtT SEHEHrEH如果电场和磁场都用复数形式给出，即有如果电场和磁场都用复数形式给出，即有 00,jtjttete rrE rEH rH001ReRe2 SEHEH *1Re2 SEH 000011Re22jtrjtr
41、ee SEHEH同理，有同理，有 *11ReRe44emwww E DH B 时间平均值与时间无关时间平均值与时间无关 具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其他具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其他 时变电磁场；而时变电磁场；而 只适用于时谐电磁场。只适用于时谐电磁场。(,)S r tav()Sr 在在 中，中，和和 都是实数形式且是都是实数形式且是 时间的函数，所以时间的函数，所以 也是时间的函数，反映的是能流密度也是时间的函数，反映的是能流密度 在某一个瞬时的取值；而在某一个瞬时的取值；而 中的中的 和和 都是复矢量，与时间无关，所以都是复矢量，与时间无关，所以 也与时间
42、无也与时间无 关，反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。关，反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。(,)(,)(,)tttS rE rH r(,)tH r(,)tE r(,)tS rav1()Re()()2SrE rHr()E r()H rav()Srav01()(,)dTttTSrS r 利用利用 ，可由，可由 计算计算 ，但不能直，但不能直 接由接由 计算计算 ，即，即av()Srav()Sr jav(,)Re()ettS rSr(,)tS rav()Sr 关于关于 和和 的几点说明的几点说明(,)S r t(,)tS r例例4.5.4已知无源空间中，电磁场的电场强度复矢量为已
43、知无源空间中，电磁场的电场强度复矢量为 ，其中，其中k k和和E E0 0为常数。求为常数。求：H H、S S 和和S S平均平均。0jkzyzE e Ee解：解：（1）由得）由得0j EH 0000011jkzjkzxxzjkEE eejz HEee（2 2）电场、磁场的瞬时值和玻应廷矢量为）电场、磁场的瞬时值和玻应廷矢量为 0000002200,Recos,Recoscoscoscosj tyj txyxzz tz eEtkzkEz tz etkzkEEtkztkzkEtkz EEeHHeSEHeee（3 3）平均坡应廷矢量为）平均坡应廷矢量为0002200001Re221Re2zjkzj
44、kzyxzkEE eekEkE Seeee 20022220000012cos22TzzdtdtTkEktkzdtE SSSee或直接积分，得或直接积分，得例例3已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为为 ，其中，其中E E0 0、H H0 0和和k k为常数。求：为常数。求：(1)(1)w w和和w w平均平均(2)(2)S S和和S S平均平均。00,cos,cosxyz tEtkzz tHtkzEeHe解解:(1)22002222000011221coscos2emwwwEHEtkzHtkzE DB H *22000011Re44emww
45、wEHE DB H平均平均 *000*000,jt kzjt kzxxjt kzjt kzyyE eE eH eH e EeDeHeBe其中：其中：于是于是 200,coszz tz tE Htkz SEHe *0011Re22zE HSEHe平均平均例例4 一个真空中存在的电磁场复振幅为一个真空中存在的电磁场复振幅为 ，其中，其中E E0 0为常数。求：为常数。求：z=0z=0以及以及 处的处的S S平均平均和和S(t)。0000sin,cosxyzjEkzzEkz EeHe解解:将题中给出的场量写成复数形式，即将题中给出的场量写成复数形式，即磁场强度的共轭为：磁场强度的共轭为：于是于是 *
46、1Re2SEH平均平均8z 20000sin,cosjtj txyEkzeEkze EeHe000cosj tyEkze He *20000220001Re21Resincos21sincosRe02jtj tzjzEkzeEkzeEkzkze SEHee平均平均 结果表示电磁场在任何位置上的坡印亭矢量的平均值均为结果表示电磁场在任何位置上的坡印亭矢量的平均值均为0 0，不伴随电磁场，不伴随电磁场能量的传输。实际上，它对应一个驻波场。能量的传输。实际上，它对应一个驻波场。这个场对应的坡印亭矢量为这个场对应的坡印亭矢量为2000020002000Resin Recossincoscos()cos
47、()2sincossin()cos()jtj txyzzSEkzeEkzeEkzkzttEkzkztt EHeeee对磁场求旋度后得：对磁场求旋度后得：00011sinj txj DjeE kkzejj HEEH对照已知的电场强度，对照已知的电场强度，000000022fkcc 0201jkejj 20sinjtxEkze Ee因此在因此在 处，有处，有8z 200020002000()sincossin()cos()441sin()cos()21sin(2)4zzzS tEttEttEt eee在在z=0z=0处，处，S S（t t）=0=0，本章重点本章重点 波动方程波动方程(由由Maxwell方程推导波动方程方程推导波动方程)电磁场的位函数及其达朗贝尔方程电磁场的位函数及其达朗贝尔方程 坡印廷定理坡印廷定理坡印廷矢量及其物理意义坡印廷矢量及其物理意义坡印廷矢量用复数形式表示的平均值坡印廷矢量用复数形式表示的平均值 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示 复矢量的复矢量的MaxwellMaxwell方程方程 复电容率和复磁导率复电容率和复磁导率
