1、9.8 多多元函数的极值元函数的极值及其求法及其求法第九章第九章 多元函数多元函数微分法及其应用微分法及其应用 多元函数的多元函数的极值极值 的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义一、二元函数的极值及最大值最小值一、二元函数的极值及最大值最小值000),(yxfx000),(yxfy 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点。驻点驻点极值点（可导）极值点（可导）注意：注意：问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？(1)例例 1
2、处有极小值处有极小值在在函数函数)0,0(4322yxz (3)例例 3处无极值处无极值在在函数函数),(00 xyz 多元函数极值的多元函数极值的判定定理判定定理0),(,0),(0000yxfyxfyx且且令令CyxfByxfAyxfyyyxxx),(,),(,),(000000求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第二步对于每一个驻点),(00yx，定出2BAC 的符号，再判定是否是极值.,0),(yxfx0),(yxfy(2)例例 2处有极大值处有极大值在在函数函数)0,0(22yxz 例例4求函数求函数解：解：第一步第一步 求驻点。求驻点。得驻点得驻点:(1,0
3、),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步 判别。判别。在点在点(1,0)处处为极小值为极小值;解方程组解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值。的极值。求二阶偏导数求二阶偏导数,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0,1(f,0Axyxyxyxf933),(2233在点在点(3,0)处处不是极值；不是极值；在点在点(3,2)处处为极大值。为极大值。,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3(f6,0,12
4、CBA31)2,3(f,0)6(122 BAC,0A在点在点(1,2)处处不是极值；不是极值；6,0,12CBA)2,1(f,0)6(122 BACABC练习练习 求函数求函数),(yxf22)(4yxyx 的极值。的极值。解：解方程组解：解方程组 00),(),(yxfyxfyx即即 024024yx得唯一解得唯一解 2 x2 y驻点为驻点为 2,2 ),(22 xxfA),(22 xyfB),(22 yyfC2BAC 又因为又因为 0 A所以所以 2,2 极大值为：极大值为：)2,2(f 22)2(2)2(24 2 2 0 4 2)2(0 为极大值点，为极大值点，8 由于由于 P121 习
5、题习题9-8 2求最值的一般方法：求最值的一般方法：1、在、在可微可微的前提下，将函数在的前提下，将函数在D内的所有驻点内的所有驻点处的函数值及在处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值的边界上的最大值和最小值相互相互比较比较，其中，其中最大者即为最大值，最小者即为最小最大者即为最大值，最小者即为最小值值.2、若是求、若是求实际问题实际问题的最值，由实际问题决定的最值，由实际问题决定 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值值来求函数的最大值和最小值.2、多元函数的、多元函数的最值最值例例5得驻点得驻点(1,1),上的最值。上的最值
6、。，yxyxyxf222),(求函数求函数,),(2030yxyxD在在解：解方程组解：解方程组 022022xyxfyxyxfyx),(),(且且 f(1,1)=1在在L1上，上，y=0，f(x,0)=x2(0 x3)，所以有最大值所以有最大值f(3,0)=9，最小值，最小值f(0,0)=0讨论边界的最值：讨论边界的最值：在在L2上，上，y=2，f(x,2)=x2-4x+4(0 x3)，所以有最大值所以有最大值f(0,2)=4，最小值，最小值f(2,2)=0L1L2L3L4例例5上的最值。上的最值。，yxyxyxf222),(求函数求函数,),(2030yxyxD在在解：解：在在L3上，上，
7、x=3，f(3,y)=9-4y (0y2)，有最大值有最大值f(3,0)=9，最小值，最小值f(3,2)=1讨论边界的最值：讨论边界的最值：在在L4上，上，x=0，f(0,y)=2y (0y2)，有最大值有最大值f(0,2)=4，最小值，最小值f(0,0)=0综上所述，函数最大值为综上所述，函数最大值为f(3,0)=9，最小值为最小值为f(0,0)=f(2,2)=0.L1L2L3L4例例6解解:设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x,y m,则高为则高为则水箱所用材料的面积为则水箱所用材料的面积为令令得驻点得驻点某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为8的有盖长方体水箱的有盖长方体水箱
8、问当长、宽、高各取怎样的尺寸时问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省才能使用料最省?,m8xy)88(2xyxxyyxyA yxyx882 00yx0)8(22 xyAx0)8(22 yxAy3m)2,2(解解:设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x,y m,则高为则高为则水箱所用材料面积则水箱所用材料面积的驻点的驻点问当长、宽、高各取怎样的尺寸时问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省才能使用料最省?,m8xy yxyxA882 )2,2(根据实际问题可知最小值在定义域内应存在根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,因此可因此可断定此唯一驻点就是最小值点断定此唯一驻点就是最小值
9、点.即当长、宽、高均为即当长、宽、高均为2时时,水箱所用材料最省。水箱所用材料最省。例例6 某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为8的有盖长方体水箱的有盖长方体水箱3m无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件。外，并无其他条件。条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值。：对自变量有附加条件的极值。实例：实例：小李有小李有2万元钱，她决定用来购买两万元钱，她决定用来购买两种物品：玫瑰花和巧克力，设她购买种物品：玫瑰花和巧克力，设她购买 x 支玫支玫瑰花，瑰花，y 盒巧克力达到最佳效果，效果函数盒巧克力达到最佳效果，效果函数为为 。设每
10、支玫瑰花。设每支玫瑰花8元，元，每盒巧克力每盒巧克力50元，问她如何分配这元，问她如何分配这2万元以万元以达到最佳效果。达到最佳效果。问题的实质问题的实质：求：求 在条在条件件 下的极值点。下的极值点。yxyxUlnln),(20000508yx二、条件极值、拉格朗日乘数法二、条件极值、拉格朗日乘数法yxyxUlnln),(二、条件极值、拉格朗日乘数法二、条件极值、拉格朗日乘数法例例 求函数求函数 的极值的极值22yxz xyzo有极小值点有极小值点)0,0(这是这是无条件极值无条件极值问题问题例例 求函数求函数22yxz 这是这是条件极值条件极值问题。问题。在在 的极值的极值01 yx如何求
11、如何求条件极值条件极值问题？问题？0sin yexyx下的极值下的极值在条件在条件拉格朗日乘数法(求条件极值的方法)要找函数),(zyxfu 在条件0),(zyx下的可能极值点，先构造函数),(),(),(zyxzyxfzyxL，其中 为某一常数，可由0000),(zyxfLfLfLzzzyyyxxx解出,zyx，其中zyx,就是可能的极值点的坐标.例例6解：解：设水箱长、宽、高分别为设水箱长、宽、高分别为 x，y，z m 则问题就是在条件则问题就是在条件 下，下，某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为8的有盖长方体水箱的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取怎样的尺寸时问当长、宽、高各取
12、怎样的尺寸时,才能使用料最省才能使用料最省?)(2xzyzxyA 3m8 xyzV求函数求函数 的最大值。的最大值。构造辅助函数构造辅助函数)8(222 xyzxzyzxyL xyz例例6解：解：某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为8的有盖长方体水箱的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取怎样的尺寸时问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省才能使用料最省?3m构造辅助函数构造辅助函数)8(222 xyzxzyzxyL 解方程组解方程组xLyLzL0 22 zyzy 022 zxzx 0 22 xyxy 8 xyz得唯一驻点得唯一驻点,2 zyxxyz解解:问当长、宽、高各取怎样的尺
13、寸时问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省才能使用料最省?根据实际问题可知最小值在定义域内应存在根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,因此可因此可断定此唯一驻点就是最小值点断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽、高均为即当长、宽、高均为2时时,水箱所用材料最省。水箱所用材料最省。例例6 某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为8的有盖长方体水箱的有盖长方体水箱3m得唯一驻点得唯一驻点,2 zyxxyz练习练习 某化妆品公司可以通过报纸和电视台做销售化某化妆品公司可以通过报纸和电视台做销售化妆品的广告。根据统计资料：销售收入妆品的广告。根据统计资料：销售收入R(百万元百万元)与
14、与报纸广告支出报纸广告支出 x(百万元百万元)、电视广告支出、电视广告支出 y(百万元百万元)之间的函数关系约为之间的函数关系约为 221028321415yxxyyxR (1)如果不限制广告支出，求最优广告策略；如果不限制广告支出，求最优广告策略；(2)如果广告总支出限制在如果广告总支出限制在180（万元），求相应的最（万元），求相应的最优广告策略。优广告策略。练习练习 某化妆品公司可以通过报纸和电视台做销售化某化妆品公司可以通过报纸和电视台做销售化妆品的广告。根据统计资料：销售收入妆品的广告。根据统计资料：销售收入R(百万元百万元)与与报纸广告支出报纸广告支出 x(百万元百万元)、电视广告
15、支出、电视广告支出 y(百万元百万元)之间的函数关系约为之间的函数关系约为 221028321415yxxyyxR (1)如果不限制广告支出，求最优广告策略；如果不限制广告支出，求最优广告策略；(2)如果广告总支出限制在如果广告总支出限制在180（万元），求相应的最（万元），求相应的最优广告策略。优广告策略。解解(1)该公司的净销售收入为该公司的净销售收入为)(),(yxRyxfz 221028321415yxxyyx )(yx 221028311315yxxyyx 令令 00yzxz即即 02083104813yxxy得驻点坐标得驻点坐标 75.0 x25.1 y在驻点处在驻点处 4xxzA
16、8xyzB20yyzC所以所以 162 BAC 根据上述计算和极值的充分条件，函数根据上述计算和极值的充分条件，函数 z f(x,y)在驻点处取得极大值。在驻点处取得极大值。因为极大值点唯一，而且实际问题又存在最大的净因为极大值点唯一，而且实际问题又存在最大的净销售收入，所以该极大值也是最大值。销售收入，所以该极大值也是最大值。这样最优广告策略为报纸广告支出为这样最优广告策略为报纸广告支出为75万元、电视万元、电视广告支为广告支为125万元。万元。0(2)如果广告总支出限制在如果广告总支出限制在180(万元万元)，现在要求，现在要求 z f(x,y)在条件在条件 x y 1.8下的极大值下的极
17、大值设设 ),(yxL221028311315yxxyyx )8.1(yx 解方程组解方程组8100.yxLLyx即即 8.102083104813yxyxxy 得到得到 45.0 x35.1 y练习练习 某化妆品公司可以通过报纸和电视台做销售化某化妆品公司可以通过报纸和电视台做销售化妆品的广告。根据统计资料：销售收入妆品的广告。根据统计资料：销售收入R(百万元百万元)与与报纸广告支出报纸广告支出 x(百万元百万元)、电视广告支出、电视广告支出 y(百万元百万元)之间的函数关系约为之间的函数关系约为 221028321415yxxyyxR 这样最优广告策略为报纸广告支出为这样最优广告策略为报纸广告支出为45万元、电万元、电视广告支出为视广告支出为135万元。万元。点点(0.45,1.35)是函数是函数 z f(x,y)在条件在条件 x y 1.8 下的唯一极值点；下的唯一极值点；而实际问题确实存在最大净销售收入，所以点而实际问题确实存在最大净销售收入，所以点(0.45,1.35)就是函数就是函数 z f(x,y)在条件在条件 x y 1.8 下的最大值点。下的最大值点。作作 业业 P121 习题习题9-84，5，7
