1、会计学1不定积分换元法不定积分换元法第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法xxxfd)()(uufd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 设,)()(ufuF)(xu可导,xxxfd)()()FxC)(d)(xuuuf)()(xuCuF)d(dFxx()()fxx则有第1页/共47页定理定理1.,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元公式xxxfd)()(uufd)()(xu)(d)(xxf(也称也称即xxxfd)()(凑微分法凑微分法)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共47页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1 求求sin2.xdx解解（一）（一）sin2
2、xdxsin2)2d(xx1cos2;2xC 解解（二）（二）sin2xdx2 sin cosxxdx2 sin(si)nxdx2ux令原式1sin2udu1cos2uC cos2xC 12第3页/共47页机动 目录 上页 下页 返回 结束 2sin;xC解解（三）（三）sin2xdx2 sin cosxxdx2 cos)cos(xdx 2cos.xC sinux令原式2 udu2uCcosux2 udu 第4页/共47页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 2 求求1.32dxx解解132dxx1(313222)dxxx112duu1ln|2uC1ln|32|.2xC()f axb d
3、x1()u ax bf u dua一般地一般地32ux()()f axb d axb1321()322dxx=1a第5页/共47页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3 求求1.(12ln)dxxx解解1(12ln)dxxx1()12l2 nn11l2dxxxuln21 112duu1ln|2uC1ln|12ln|.2xC第6页/共47页22)(1d1axxa.d22xax解解:22dxax21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式想到公式21duuCu arctan)(ax机动 目录 上页 下页 返回 结束 xua2d11()xaxaa说明：熟悉第一类换元法
4、之后，就没有必要写出中间变量的代换过程说明：熟悉第一类换元法之后，就没有必要写出中间变量的代换过程P160,公式公式(18)SCU第7页/共47页).0(d22axax21duu想到Cu arcsin解解:2)(1daxax2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax机动 目录 上页 下页 返回 结束 P160,公式公式(21)SCU第8页/共47页.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似P160,公式公式(14,15)SCUln
5、secxC第9页/共47页Caxaxaln21.d22axx解解:221ax)(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式=a21axxaxxdda21axax)(da21ax lnax lnCaxax)(d机动 目录 上页 下页 返回 结束 P160,公式公式(19,20)SCU第10页/共47页xbxafd)()1()(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1万万能能凑凑幂幂法法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cos xfxco
6、sd机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共47页xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共47页.d3xxex解解:原式原式)3d(323xexCex332例例8.求求.dsec6xx解解:原式原式=xdxx222sec)1(tanxtandxxxtand)1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共47页.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1(xdxx
7、ee1)1(dxCex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1(dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee两法结果一两法结果一样样机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共47页xxsin11sin1121.dsecxx解法解法1 xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sinddsin xxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共47页xxtansecxxdsecxxdsecxxtansec)tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx C
8、xxtansecln同样可证xxdcscCxxcotcscln或xxdcscCx2tanln(P199 例例18)机动 目录 上页 下页 返回 结束 P160,公式公式(16,17)SCU第16页/共47页222d)(2123xax.d)(23223xaxx解解:原式原式=23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共47页)2cos2cos21(241xx.dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21(24co
9、s141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共47页.d3cossin22xxx解解:xx3cossin22221)2sin4(sinxx xxxx2sin2sin4sin24sin24141241)8cos1(81xxx2cos2sin2)4cos1(81x原式=xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin221xx)4d(4cos321xxx41x8sin641x2sin361x
10、4sin321C机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考：思考：34sincosd.xx x34tansecd.xx x46tansecd.xx x第19页/共47页xxexex111xexexxxdd xexxd)1(.d)1(1xexxxx解解:原式原式=xexxxxd)1()1(xexe)1(1xxxexe)(d)111(xxxexexex)1(1xxxxxexexexe)(dxxexexlnxex1lnCCexxxx1lnln机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析分析:第20页/共47页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1515 求求解解21.4arcsin2dxxx21d4a
11、rcsin2xxx21d21arcsin22xxx1d(arcsin)2arcsin2xxln arcsin.2xC第21页/共47页机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解2cos1,xu()1,f uu()1f uu du21,2uuC21().2f xxxC例例14 设设 求求22(sin)cos,fxx()f x2sin,ux令第22页/共47页.d)()()()()(32xxfxfxfxfxf 解解:原式原式xxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2 Cxfxf2)()(21)()(d(xfxf机动 目录 上页 下页 返回 结束)()(xfxf22()()()()d()()f
12、xfxfx f xxfxfx第23页/共47页常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元等xx22cossin1;)2cos1(sin212xx;)2cos1(cos212xx万能凑幂法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如cos3 cos2 dxx xex13,P164,SCU第24页/共47页1.下列各题求积方法有何不同?xx4d)1(24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24
13、d)6(xxxxx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共47页xxxd)1(110.)1(d10 xxx提示提示:法法1法法2法法3)1(d10 xxx10)x)1(d10 xxx)1(1010 xx)1(d10 xxx)1(d1011xxx101x10d x10110(x10dx101作业 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共47页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求积分xxxfd)()(易
14、求,则得第二类换元积分法.难求，uufd)(第27页/共47页CxF)()()()(ttft)(tx是单调可导函数,且,0)(t)()(ttf具有原函数,)(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函数是其中txxt证证:的原函数为设)()(ttf,)(t令)()(1xxF则)(xFtddxtdd)()(ttf)(1t)(xfxxfd)(Cx)(1Ct)(1xt)(1d)()(xttttf机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有换元公式第28页/共47页.)0(d22axxa解解:令令,),(,sin22ttax则taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式taco
15、sttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共47页.)0(d22aaxx解解:令令,),(,tan22ttax则22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 xa1CP160,公式公式(22)SCU第30页/共47页.)0(d22aaxx解解:,时当ax 令,)
16、,0(,sec2ttax则22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC机动 目录 上页 下页 返回 结束 22ax axa可以不管具体形式可以不管具体形式P160,公式公式(22)SCU第31页/共47页,时当ax令,ux,au 则于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 可以不管具体形式第32
17、页/共47页原式21)1(22ta221a.d422xxxa解解:令令,1tx 则则txtdd21原式ttd12122 2(1)da ttt 42112tta Cata2223)1(23Cxaxa32223)(23)1(d22ta机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法一：三角代换解法一：三角代换解法二：倒代换解法二：倒代换第33页/共47页1.第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型:,d),()1(xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan,d),()
18、5(22xaxxf令taxsec机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节讲第四节讲31.(1)dxxx根式代换根式代换Ex21,P167,SCU第34页/共47页(14)tandxx(15)cot dx x(16)sec dx x(17)csc dx x Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln机动 目录 上页 下页 返回 结束(7)分母中因子次数较高时分母中因子次数较高时,可试用可试用倒代换倒代换,d)()6(xafx令xat 第35页/共47页221(18)d xax221(20)dxax221(21)d xxa221(19)dxxaCaxaarct
19、an1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22221(22)dxxaCaxx22ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 第36页/共47页222221(23)darcsin22axaxxx axCa22(24)dxax22222ln|22xaxaxxaC机动 目录 上页 下页 返回 结束 川大教材没有川大教材没有公式公式(24)第37页/共47页.32d2 xxx解解:原式原式xxd2)1(122)2()1(dx21arctan21xC(P205 公式(20)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例21.求求.94d2xxI解解:221d232xIx219ln24xxC(P2
20、06 公式(23)第38页/共47页.1d2xxx解解:原式原式=22)()()(d21x(P206 公式(22)2521xCx512arcsin机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例23.求求.1d2xex解解:原式原式xxee21dCexarcsin(P206 公式(22)根式代换；三角代换第39页/共47页.d222 axxx解解:令,1tx 得原式ttatd1221)1(d2122222tataaCtaa11222Cxaax222机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角代换第40页/共47页ttttd)1(12132.2)1(d23xxxx解解:原式原式1)1()1(d23xxx令t
21、x11tttd122tttd11)1(22tt d12ttd112tttarcsin121221Ct arcsinCxxxx1121)1(221arcsin22例16 目录 上页 下页 返回 结束 三角代换第41页/共47页,1d)(25Cxxxfx求.d)(xxf解解:两边求导两边求导,得得)(5xfx,12xx则1dd)(24xxxxxf)1(xt 令231dttt222d121ttt1(1)1(d)1(212221tt)1(d)1(212221tt23)1(312tCt21)1(2(代回原变量代回原变量)机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习第42页/共47页P2072
22、 (5),(10),(15),(20),(25),(30),(35),(40)(44)第三节 目录 上页 下页 返回 结束 第43页/共47页xxxd11)132)1(d113133xxCx1323xxxxd2132)22xxxd2125)22(x2221)21d(xxxx 52)1(2 x)1d(x2212xx Cx21arcsin5机动 目录 上页 下页 返回 结束 第44页/共47页求不定积分求不定积分解：解：.dsin2sin1cossin222xxxxx利用利用凑微分法凑微分法,xx22sin2sin1原式=)sin1(d2x令xt2sin1tttd1222ttd)111(22t 2Ct arctan2Cxx22sin1arctansin12得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第45页/共47页分子分母同除以求不定积分解解:.d1)1(122xxx令,sintx,sin1122txttxdcosd 原式ttttdcos)sin1(cos2ttdsin112t2costttandtan2112tttand)tan2(112221Ct)tan2arctan(21Cxx212arctan21机动 目录 上页 下页 返回 结束 ttttdtansecsec222第46页/共47页
