1、本课学习目标：（1）二次根式的概念）二次根式的概念（2）根号内字母的取值范围）根号内字母的取值范围（3）二次根式的性质）二次根式的性质什么是一个数的算术平方根？如何表示？什么是一个数的算术平方根？如何表示？正数的正的平方根叫做它的算术平方根。正数的正的平方根叫做它的算术平方根。什么叫做一个数的平方根？如何表示？什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于一般地，若一个数的平方等于a，则，则这个数就叫做这个数就叫做a的平方根。的平方根。用用 (a0)表示。表示。a0 0的算术平方根平方根是的算术平方根平方根是0 0a a的平方根是的平方根是a 正数有两个平方根且互为相反数；正数有
2、两个平方根且互为相反数；0 0有一个平方根就是有一个平方根就是0 0；负数没有平方根。负数没有平方根。1、平方根的性质：、平方根的性质：1、16的平方根是什么的平方根是什么?算术平方根是什么？算术平方根是什么？2、0的平方根是什么？算术平方根是什么？的平方根是什么？算术平方根是什么？3、7有没有平方根？有没有算术平方根？有没有平方根？有没有算术平方根？正数和正数和0都有算术平方根；都有算术平方根；负数没有算术平方根。负数没有算术平方根。S 圆形的下球体在平面图上的面积为圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为则半径为_.S 如图所示的值表示正方形的面如图所示的值表示正方形的面积，则积，则正方
3、形的边长是正方形的边长是3b b-325002a3b s表示一些表示一些正数正数的的算术平方根算术平方根.的式子叫做二次根式形如 a)0(aa a叫叫被开方数被开方数你认为所得的各代数式有哪些共同特点？你认为所得的各代数式有哪些共同特点？请你凭着自己已有的知识请你凭着自己已有的知识,说说说对二次根式说对二次根式 的认识！的认识！a?(0).a a 形如的式子叫做二次根式2.a可以是数可以是数,也可以是式也可以是式.3.形式上含有二次根号形式上含有二次根号4.a0,0 a5.既可表示开方运算既可表示开方运算,也可表示运算的结果也可表示运算的结果.1.表示表示a的算术平方根的算术平方根(双重非负性
4、双重非负性)说一说说一说:下列各式是二次根式下列各式是二次根式吗吗?3 32 25 5 (7 7),a a (6 6)，x xy y (5 5)m m-(4 4),1 12 2 (3 3)6 6,(2 2),3 32 2 (1 1)1(m0),(m0),(x,y(x,y 异号异号)在实数范围内在实数范围内,负数没有平方根负数没有平方根例例1、下列各式是二次根式、下列各式是二次根式吗吗?在实数范围内在实数范围内,负数没有平方根负数没有平方根,122n,122 n12 n是二次根式吗？是二次根式吗？为什么？如果不是，请改正？为什么？如果不是，请改正？aa和二次根式根号内字母的取值范围必须满足二次根
5、式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零被开方数大于或等于零0aa根式为：0aa思考思考2116222 aax(0)x 23m判断下列代数式中哪些是二次根式？判断下列代数式中哪些是二次根式？（3）（4）（5 5）（6）23例例2 x取何值时取何值时,下列二次根式有意义下列二次根式有意义?xx3)2(1)1(101)1(:xx解1x0 x为全体实数x0 x003)2(xx.04,)3(2为全体实数为何实数无论xxxxx1)4(4)3(23)5(x0 x你有什么收获？你有什么收获？被开方数不小于零；被开方数不小于零；分母中有字母时，要保证分母不为零。分母中有字母时，要保证分母不为零。21
6、)6(x0 x(1)(2)(3)解：由解：由 01a得得1a)1(a解：由解：由 021 a得得21a)21(a(a为任何实数)例例3 a取何值时取何值时,下列根式有意义下列根式有意义?(3)总结总结:被开方数不小于零；被开方数不小于零；(1)(2)(a为任何实数)2)1(a(a=1)(a=1)_2162取值范围是的中字母下列式子xxx03x2x+602x+60-2x-2x0 0 x-3x-3x x0 0已知已知 有意义有意义,那那A(a,)在在 象限象限.a二二a1由题意知由题意知a a0 0点点A(A(,).,12的值求自然数为一个整数nn思考题思考题,32112yxx已知的值。求代数式x
7、y解：依题意得，02x1012x解得，21x 3y 23321xy2.2.已知已知a a、b b为实数，且满足为实数，且满足 你能求出你能求出a+ba+b 的值吗？的值吗？12112bba722baba 21.1.若若=0=0，则，则=_=_。3、2+3-x的最小值为，此时的最小值为，此时x的值为的值为。323-训练368a ba ba b 5.已 知 与 互 为相 反 数，求 、的 值。(0).a a 形如的式子叫做二次根式2.a可以是数可以是数,也可以是式也可以是式.4.a0,0 a3.形式上含有二次根号形式上含有二次根号5.既可表示开方运算既可表示开方运算,也可表示运算的结果也可表示运算
8、的结果.1.表示表示a的算术平方根的算术平方根(双重非负性双重非负性)课堂课堂小结小结6.求二次根式中字母的取值范围的基本依据：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数不小于零；被开方数不小于零；分母中有字母时，要保证分母不为零。分母中有字母时，要保证分母不为零。222420231217312222222）的非负数，因此有（的非负数，因此有（是一个平方等于是一个平方等于术平方根的意义，术平方根的意义，的算术平方根，根据算的算术平方根，根据算是是aa2)(2511).)(2522)(515112.).)(205452522222)()(222(10)(3 3)例、计算：223310)()(
9、172710223310)()(282323232322xyxyx322332 aa2a-a(a0)(a0)210.22202(2)2(0.1)81)(252)()(2222812)(555222)()(例例2、化简、化简:2yx 221112 2223yxyx(x(xy y)xy 212x(x0)(x0)1x?)(22有区别吗与 aa2.从取值范围来看：2a2a a0a0a a取任何实数取任何实数1.从运算顺序来看：2a2a先开方先开方,后平方后平方先平方先平方,后开方后开方3.3.从运算结果来看从运算结果来看:=a=a2a-a (a-a (a0)0)=a (aa (a 0)0)2a=a a
10、（1）二次根式的概念）二次根式的概念（2）根号内字母的取值范围）根号内字母的取值范围（3 3）二次根式的性质）二次根式的性质.)(,我们称这样的式子为我们称这样的式子为接起来的式子，接起来的式子，把数和表示数的字母连把数和表示数的字母连除、乘方和开方）除、乘方和开方）运算包括加、减、乘、运算包括加、减、乘、本运算符号（基本本运算符号（基本的式子，它们都是用基的式子，它们都是用基，形如形如0352aaxtsabbaa1、化简下列各式、化简下列各式:)0,0()4()8(6416)3()5()5()2()32()23)(1(2222222babammm2、实数、实数p在数轴上的位置如图所示，在数轴上的位置如图所示，试化简试化简 222)1(pp121)2(1pppp解：原式22(4)(1)xx2222()()()()a b ca b cb a cc b a
