1、2022-12-23第五章 常用概率分布(二)1第一节 二项分布Binomial distribution2022-12-23第五章 常用概率分布(二)2二项分布(binomial distribution)的引入在随机现象中，最 例如：药物毒理实验（生存、死亡）新药疗效（有效、无效）生化检测（阳性、阴性）、调查疾病情况（患病、未患病）描述这类问题，常用离散型随机变量的分布二项分布2022-12-23第五章 常用概率分布(二)3摸球实验一个袋子里有5个乒乓球，其中2个黄球，3个白球。摸球游戏，每一次摸到黄球的概率是0.4，摸到白球的概率是0.6。这个实验有三个特点：一是各次摸球是彼此独立的；二
2、是每次摸球只有二种可能的结果，或黄球或白球；三是每次摸到黄球（或摸到白球）的概率是固定的。具备这三点，n 次中有x 次摸到黄球（或白球）的概率分布就是二项分布。2022-12-23第五章 常用概率分布(二)4二项分布(binomial distribution)的定义Bernoulli试验：只有两个互斥结果A和的随机事件。n次独立、重复的Bernoulli试验需满足下列条件每次试验只有两个互斥的结果独立：指各次试验出现的结果之间是无关的重复：每次试验的条件不变A()()1P AP A()P A记()P A2022-12-23第五章 常用概率分布(二)5二项分布(binomial distrib
3、ution)的定义任意一次试验中，只有事件A发生和不发生两种结果，发生和不发生的概率分别是：和1 若在相同的条件下，进行n次独立重复试验，用x 表示这 n次试验中事件A发生的次数那么x服从二项分布，记做 x B(n，)，也叫Bernolli分布。2022-12-23第五章 常用概率分布(二)6二项分布(binomial distribution)例5-1 用针灸治疗头痛，假定结果不是有效就是无效，每一例有效的概率为。某医生用此方法治疗头痛患者5例，2例有效的概率是多少？1 2 3 4 51324 5142 35152 3 42 314 5241352513 43 41 25351 244 51
4、 2 3A A A A AAAAA AAAA AAAAA A AA AAA AAAAAAAAAA AA AA AAAAA AAA AA A A225 25(1)C2022-12-23第五章 常用概率分布(二)7二项分布(binomial distribution)的概念如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为，阴性结果的发生概率均为（1）；而且各个观察对象的结果是相互独立的，那么，重复观察n 个人，发生阳性结果的人数X的概率分布为二项分布，记作B（n，）。二项分布的概率函数P(X)公式为()(1)xxn xnP XC!()!xnnCx nx其中2022-12-23第五章 常用概率分布(二)8二项
5、分布(binomial distribution)的概念临床上用针灸治疗某型头痛，有效的概率为60%，现以该法治疗3例，其中2例有效的概率是多大？本例=0.6，随机治疗3例，有效例数为2的概率为432.0)6.01(6.0)23(223C 表1 治疗3例可能的有效例数及其概率有效人数(x)C nx x(1)n-x出现该结果概率出现该结果概率 P(x)010.60=10.40.40.40.064130.60.40.40.288230.60.60.40.432310.60.60.60.400.2162022-12-23第五章 常用概率分布(二)9二项分布如果随机变量服从二项分布，记为：恒有(,)X
6、B n0()1nKP Xk2022-12-23第五章 常用概率分布(二)10二、二项分布的适用条件每次实验只会出现两种对立的可能结果之一 （结果对立）每次实验出现某种结果的概率固定不变，即每次实验条件不变；（概率固定）每次实验相互独立 （相互独立）2022-12-23第五章 常用概率分布(二)11三、二项分布的特征二项分布的图形：取决于两个参数（n，)=0.5时（n=6，n=10，n=15，n=20，n=50）p0.010.020.030.040.050.060.070.080.090.100.110.120.130.140.150.160.170.180.190.200.210.220.23
7、0.240.250.260.270.280.290.300.310.32m0123456p0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.100.110.120.130.140.150.160.170.180.190.200.210.220.230.240.25m012345678910p0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.100.110.120.130.140.150.160.170.180.190.20m01234567891011121314152022-12-23第五章 常用概率分布(二)12p0.00
8、0.010.020.030.040.050.060.070.080.090.100.110.120.130.14m01020304050三、二项分布的特征二项分布的图形：取决于两个参数（n,)0.5时（0.2，n=6，n=10，n=15，n=20，n=30，n=50）p0.000.020.040.060.080.100.120.140.160.180.200.220.240.260.280.300.320.340.360.380.40m0123456p0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.100.110.120.130.140.150.160.17
9、0.180.190.200.210.220.230.240.250.260.270.280.290.300.31m012345678910p0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.100.110.120.130.140.150.160.170.180.190.200.210.220.230.240.250.26m0123456789101112131415p0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.100.110.120.130.140.150.160.170.180.190.200.210.22m01020
10、p0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.100.110.120.130.140.150.160.170.18m01020302022-12-23第五章 常用概率分布(二)13三、二项分布的特征二项分布的正态近似性条件n较大,不接近0也不接近1时(n和n(1-)均5)（n，）近似正态分布 N(n,n(1-)可利用正态分布原理解决二项分布的问题2022-12-23第五章 常用概率分布(二)14三、二项分布的特征二项分布的均数和标准差若x（n，）的总体均数为：=n的总体方差为2=n(1-)的总体标准差为(1)n2022-12-23第五章 常用概率分布(二
11、)15三、二项分布的特征二项分布的均数和标准差若x（n，）若以p表示阳性率，则p的取值可为0、1/n、2/n、k/n、n/n,则样本率p的总体均数为样本率p的总体方差为样本率p的总体标准差为(1)pnp2(1)pn2022-12-23第五章 常用概率分布(二)16四、二项分布的应用（，（，），），计算恰有k例“阳性”的概率：例5-3 如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150人，其中有10人感染钩虫的概率有多大？()(1)Kkn knP XkC2022-12-23第五章 常用概率分布(二)17四、二项分布的应用（，）,计算累积概率出现“阳性”的次数至多为k次的概率出现“阳性”的次数至少为k
12、次的概率0()()kXP XkP X()()1(1)nXkP XkP XP Xk 2022-12-23第五章 常用概率分布(二)18二项分布二项分布根据公式（4-10）至多有2名感染钩虫的概率为至少有2名感染钩虫的概率为 2020)1()!(!)()2(XXXnXXnXnXPXP78101011.21080.11047.871030.215021502150)13.01(13.0)!150(!150)()2(XXXXXXXPXP)1()0(1XPXP1080.11047.8181012022-12-23第五章 常用概率分布(二)19四、二项分布的应用当n相当大时，只要p不太靠近0或1，特别是当
13、n和n(1)都大于5时，二项分布B（n，）近似正态分布。(a)k(b)kk-0.5k+0.5(c)kk-0.5k+0.5 图图 二项分布连续性校正和正态近似示意图 （a）概率函数直条图；（b）连续性校正直方图；（c）正态近似图2022-12-23第五章 常用概率分布(二)20四、二项分布的应用利用二项分布的正态近似性条件，可简化计算00.5()()(1)kXknP XkP Xn 0.5()()1(1)nXkknP XkP Xn 2022-12-23第五章 常用概率分布(二)21四、二项分布的应用二项分布的实际应用广泛：预测、管理决策、疾病的家族聚集性等例：新生儿窒息在非顺产婴儿中会经常出现。据
14、北京几家医院的记载，1070例住院新生儿中有107例发生新生儿窒息。抢救新生儿需要长时间使用呼吸机。如果一家医院每天平均接受10名新生儿，那么该医院需准备多少台呼吸机，才能保证90以上的概率够用？2022-12-23第五章 常用概率分布(二)22四、二项分布的应用例：现用同类设备300台，各台设备工作是相互独立的，且发生故障的概率都为0.01，在通常情况下，一台设备的故障可由一人来处理。问至少需要配备多少工人，才能保证当设备发生故障时能及时维修的概率大于0.99？2022-12-23第五章 常用概率分布(二)23第二节 Poisson分布Poisson分布的概念Poisson分布的适用条件Po
15、isson分布的特征Poisson分布的应用2022-12-23第五章 常用概率分布(二)24一、Poisson分布的概念Poisson分布也是一种离散型分布，用以描述单位时间、面积、空间范围内某种罕见事件的发生数。Poisson分布的概念（Poissondistribution):若随机变量在单位时间、面积、空间发生0、1、2、k、次的概率为：则称随机变量服从以为参数的Poisson分布,记为P()或()()!kP Xkek2022-12-23第五章 常用概率分布(二)25一、Poisson分布的概念单位时间、单位空间内某事件的发生数单位人群（较大）中某稀有事件的发生数放射性物质每分钟放射的
16、脉冲数每ml水中大肠菌群数、每升空气中粉尘数、每1万个细胞中有多少个发生突变某地每天的交通事故数、某工矿企业每天的工伤人数足球比赛每场的进球数生物：每平方公里有多少植物2022-12-23第五章 常用概率分布(二)26二、Poisson分布的适用条件结果对立概率固定相互独立Poisson分布还要求或（1）接近于0或1（例如0.999）Poisson分布可以看作是发生的概率（或未发生的概率1）很小，而观察例数n很大时的二项分布 2022-12-23第五章 常用概率分布(二)27二、Poisson分布的适用条件医学现象中，服从Poisson分布：单位时间接受到的放射性物质的发射线数；在单位容积水中
17、大肠杆菌的数量粉尘在单位空间的分布一定的大人群中某种非传染性疾病患病数或死亡数野外单位空间中某种昆虫数或野生动物数2022-12-23第五章 常用概率分布(二)28二、Poisson分布的适用条件医学现象中，不服从Poisson分布：在单位容积牛奶中的细菌数丁螺在繁殖期成窝状分布传染性疾病在人群中的分布2022-12-23第五章 常用概率分布(二)29三、Poisson分布的图形特征Poisson分布的图形取决于参数=100.10.20.30.40246810121416182022xP(x)=300.10.20.30.40246810121416182022xP(x)2022-12-23第五
18、章 常用概率分布(二)30三、Poisson分布的图形特征Poisson分布的图形取决于参数2022-12-23第五章 常用概率分布(二)31三、Poisson分布的图形特征Poisson分布的图形取决于参数 P(X)X 0 4 8 0 4 8 12 4 8 12 16 20 8 12 16 20 24 28 32 0.0 0.1 0.2 =3 =5 =10 =20 2022-12-23第五章 常用概率分布(二)32四、Poisson分布的特征Poisson分布的总体均数与总体方差相等即=2利用此特征，判断某种未知分布是否服从Poisson分布当20时，Poisson分布近似正态分布N(,)利
19、用正态分布原理解决Poisson分布问题2022-12-23第五章 常用概率分布(二)33四、Poisson分布的特征Poisson分布具有可加性：以较小的度量单位，观察某一现象的发生数时，如果它呈Poisson分布，那么把若干个小单位合并为一个大单位后，其总计数亦呈Poisson分布。可加性示例:已知某放射性物质每10分钟放射脉冲数呈Poisson分布，5次测量的结果，分别为35、34、36、38、34次，那么50分钟放射脉冲数(总计为177次)亦呈一Poisson分布。因此 Poisson分布资料可利用可加性原理使50，然后用正态近似法处理之。2022-12-23第五章 常用概率分布(二)
20、34四、Poisson分布的特征Poisson分布是二项分布的极限形式二项分布中，当很小，比如0.05，而n很大，二项分布逼近Poisson分布。且：其中=n。n愈大，近似程度愈好。如果某些现象的发生率甚少，而样本例数n甚多时，二项分布常用Poisson分布来简化运算。XXnXnC)1(!Xex2022-12-23第五章 常用概率分布(二)35四、Poisson分布的特征Poisson分布递推公式()!xP xeX1(1)1!Pee0(0)0!Pee(1)()1P xP xx2022-12-23第五章 常用概率分布(二)36五、Poisson分布的应用P()，计算恰有例罕见事件发生的概率据以往
21、经验，新生儿染色体异常率为1%，试用Poisson分布的原理，求100名新生儿中发生0、1例的概率()!xP xex2022-12-23第五章 常用概率分布(二)37五、Poisson分布的应用P()，计算累积概率：出现罕见事件至多为k次的概率出现罕见事件至少为k次的概率0()()kXP XkP X()()1()nXkP XkP XP Xk 2022-12-23第五章 常用概率分布(二)38五、Poisson分布的应用利用Poisson分布的正态近似性条件，可简化计算出现罕见事件至多为k次的概率出现罕见事件至少为k次的概率00.5()()kXkP XkP X 0.5()()1nXkkP XkP X 2022-12-23第五章 常用概率分布(二)39X XB(n,)B(n,)X X()()近似近似N(n,n(1-)N(n,n(1-)近似近似X XN(,)N(,)n，0或1nn和n(1-)均5202022-12-23第五章 常用概率分布(二)40一个实例据以往经验，新生儿染色体异常率为1,试分别用二项分布及Poisson分布原理，求100名新生儿中发生X 例(X=0，l，2)染色体异常的概率2022-12-23第五章 常用概率分布(二)41正态分布二项分布Piossion分布图形连续型离散型离散型概念或定义参数、n、特征应用
