1、微积分微积分第8章 无穷级数8.1 常数项级数的概念与性质8.2 数项级数的审敛法8.3 幂级数8.4 函数展成幂级数微积分微积分常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 微积分微积分一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 引例引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正),2,1,0(23nn边形,这个和逼近于圆的面积 A.0a1a2ana设 a0 表示,时n即naaaaA210内接正三角形面积,ak 表示边数增加时增加的面积,则圆内接正边形面积为n23微积分微积分
2、定义定义：给定一个数列,321nuuuu将各项依,1nnu即1nnunuuuu321称上式为无穷级数，其中第 n 项nu叫做级数的一般项,级数的前 n 项和nkknuS1称为级数的部分和.nuuuu321次相加,简记为,lim存在若SSnn收敛收敛,则称无穷级数并称 S 为级数的和和,记作微积分微积分1nnuS当级数收敛时,称差值21nnnnuuSSr为级数的余项余项.,lim不存在若nnS则称无穷级数发散发散.显然0limnnr微积分微积分例例1.讨论等比级数(又称几何级数)0(20aqaqaqaaqannn(q 称为公比)的敛散性.解解:1)若,1q12nnqaqaqaaSqqaan1时，
3、当1q,0limnnq由于从而qannS1lim因此级数收敛,;1 qa,1时当q,limnnq由于从而,limnnS则部分和因此级数发散.其和为微积分微积分2).若,1q,1时当qanSn因此级数发散;,1时当qaaaaan 1)1(因此nSn 为奇数n 为偶数从而nnSlim综合 1)、2)可知,1q时,等比级数收敛;1q时,等比级数发散.则,级数成为,a,0不存在,因此级数发散.微积分微积分例例2.判别下列级数的敛散性:.)1(1)2(;1ln)1(11nnnnnn解解:(1)12lnnSnnln)1ln()2ln3(ln)1ln2(ln)1ln(n）n(所以级数(1)发散;技巧技巧:利
4、用“拆项相消拆项相消”求和23ln34lnnn1ln微积分微积分(2)1(1431321211nnSn211111n）n(1所以级数(2)收敛,其和为 1.31214131111nn技巧技巧:利用“拆项相消拆项相消”求和微积分微积分 例例3.判别级数2211lnnn的敛散性.解解:211lnn221lnnn nnnln2)1ln()1ln(2211lnkSnkn2ln21ln3ln3ln22ln4lnln2)1ln()1ln(nnn5ln4ln23ln 2lnnnln)1ln(2ln)1ln(1n,2lnlimnnS故原级数收敛,其和为.2ln微积分微积分二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基
5、本性质 性质性质1.若级数1nnu收敛于 S,1nnuS则各项乘以常数 c 所得级数1nnuc也收敛,证证:令,1nkknuS则nkknuc1,nScnnlimSc这说明1nnuc收敛,其和为 c S.nnSclim说明说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为 c S.微积分微积分性质性质2.设有两个收敛级数,1nnuS1nnv则级数)(1nnnvu 也收敛,其和为.S证证:令,1nkknuS,1nkknv则)(1knkknvu nnS)(nS这说明级数)(1nnnvu 也收敛,其和为.S微积分微积分说明说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则)(1nnnvu 必发散.但若二级数都
6、发散,)(1nnnvu 不一定发散.例如例如,)1(2nnu取,)1(12 nnv0nnvu而(1)性质2 表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)微积分微积分性质性质3.在级数前面加上或去掉有限项有限项,不会影响级数的敛散性.证证:将级数1nnu的前 k 项去掉,1nnku的部分和为nllknu1knkSSnknS与,时由于n数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为.kSS 类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数微积分微积分性质性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证证:设收敛级数,1nnuS若按某一规律加括弧,)()(54321uuuuu则新级
7、数的部分和序列),2,1(mm为原级数部分和序列),2,1(nSn的一个子序列,nnmmS limlimS推论推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,0)11()11(但1111发散.因此必有例如，用反证法可证用反证法可证例如微积分微积分例例4.判断级数的敛散性:141141131131121121解解:考虑加括号后的级数)()()(1411411311311211211111nnan12nnna2发散,从而原级数发散.nn121微积分微积分三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 设收敛级数,1nnuS则必有.0limnnu证证:1n
8、nnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可见:若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0,则级数必发散则级数必发散.例如例如,1)1(544332211nnn其一般项为1)1(1nnunn不趋于0,因此这个级数发散.nun,时当微积分微积分注意注意:0limnnu并非级数收敛的充分条件.例如例如,调和级数nnn13121111虽然，01limlimnunnn但此级数发散.事实上事实上,假设调和级数收敛于 S,则0)(lim2nnnSSnn2nnnn21312111但nnSS2矛盾!所以假设不真.21微积分微积分例例5.判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:;!)1(1nnnnne解
9、解:(1)令;231)2(123nnnn.212)3(1nnn,!nnnnneu 则nnuu1nne)1(1),2,1(1n故euuunn11从而,0limnnu这说明级数(1)发散.111)1()1(nnnne11)1(!)1(nnnnennnne!微积分微积分123231)2(nnnn因nnn23123)2)(1()2(21nnnnn)2)(1(1)1(121nnnn),2,1(nnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1)1(121进行拆项相消进行拆项相消,41limnnS这说明原级数收敛,.41)2)(1(1nnn其和为)2)(1(121121nn(2)微积分微积分1212
10、)3(nnn32252321nSnn212 nnSS211432212252321nn2121221132121n1212nn21212111211n1212nn121121n1212nn,2122132nnnnSnn21225232132这说明原级数收敛,其和为 3.,3limnnS故(3)微积分微积分二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法8.2 8.2 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 微积分微积分一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法若,0nu1nnu定理定理 1.正项级数1nnu收敛
11、部分和序列nS),2,1(n有界.若1nnu收敛,收敛则nS,0nu部分和数列nSnS有界,故nS1nnu从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证证:“”“”微积分微积分,Zn,nnvku 都有定理定理2(比较审敛法比较审敛法)设,1nnu1nnv且存在,ZN对一切,Nn 有(1)若强级数1nnv则弱级数1nnu(2)若弱级数1nnu则强级数1nnv证证:设对一切和令nSn则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和,则有nnvku 是两个正项级数,(常数 k 0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨微积分微积分(1)若强级数1nnv则有nn l
12、im因此对一切,Zn有nS由定理 1 可知,1nnu则有(2)若弱级数1nnu,limnnS因此,limnn这说明强级数1nnv也发散.knSnk也收敛.发散,收敛,弱级数微积分微积分例例1.讨论 p 级数pppn131211(常数 p 0)的敛散性.解解:1)若,1p因为对一切,Zn而调和级数11nn由比较审敛法可知 p 级数11npnn1发散.发散,pn1微积分微积分,1p因为当nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111)1(111ppnnp考虑强级数1121)1(1ppnnn的部分和n111)1(11ppnkkkn故强级数收敛,由比较审敛法知 p 级数收敛.时,
13、1)1(11pn11111)1(113121211pppppnn12)若微积分微积分调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.若存在,ZN对一切,Nn,1)1(nun,)1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu微积分微积分证明级数1)1(1nnn发散.证证:因为2)1(1)1(1nnn),2,1(11nn而级数111nn21kk发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例例2.2.微积分微积分定理定理3.(比较审敛法的极限形式),1nnu1nnv,limlvunnn则有两个级数同时收敛或发散;(2)当 l=0,1收敛时且nnv;1也收敛nnu(3)当 l=,1发散时且nnv.1也发散
14、nnu证证:据极限定义,0对,ZN存在lnnvu)(l设两正项级数满足(1)当 0 l 时,时当Nn 微积分微积分nnnvluvl)()(,l取由定理 2 可知与1nnu1nnv同时收敛或同时发散;)(Nn),()(Nnvlunn利用(3)当l=时,ZN存在,时当Nn,1nnvu即nnvu 由定理2可知,若1nnv发散,;1也收敛则nnu(1)当0 l 0,使微积分微积分当 时,0 xx 00nnxxM收敛,0nnnxa故原幂级数绝对收敛.也收敛,反之,若当0 xx 时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点1x01xx0 x满足不等式0 xx 所以若当0 xx 满足且使级数收敛,面的证明可
15、知,级数在点故假设不真.的 x,原幂级数也发散.时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0证毕微积分微积分幂级数在(,+)收敛;由Abel 定理可以看出,0nnnxa中心的区间.用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0 时,幂级数仅在 x=0 收敛;R=时,0 R幂级数在(R,R)收敛;(R,R)加上收敛的端点称为收敛域收敛域.R 称为收敛半径收敛半径，在R,R 可能收敛也可能发散.Rx外发散;在(R,R)称为收敛区间收敛区间.ox发 散发 散收 敛收敛 发散微积分微积分xaaxaxannnnnnnn111l
16、imlim定理定理2.若0nnnxa的系数满足,lim1nnnaa;1R;R.0R证证:1)若 0,则根据比值审敛法可知:当,1x原级数收敛;当,1x原级数发散.x即1x时,1)当 0 时,2)当 0 时,3)当 时,即时,则 1x微积分微积分2)若,0则根据比值审敛法可知,;R绝对收敛,3)若,则对除 x=0 以外的一切 x 原级发散,.0R对任意 x 原级数因此因此 0nnnxa的收敛半径为说明说明:据此定理1limnnnaaR因此级数的收敛半径.1R微积分微积分对端点 x=1,1limnnnaaRnxxxxnn 132)1(32的收敛半径及收敛域.解解:11nn11对端点 x=1,级数为
17、交错级数,1)1(11nnn收敛;级数为,11nn发散.1,1(故收敛域为例例1 1.求幂级数 limn 微积分微积分例例2.求下列幂级数的收敛域:.!)2(;!1)1(00nnnnxnxn解解:(1)limlim1nnnnaaR!1n)1(limnn所以收敛域为.),(2)limlim1nnnnaaR!n!)1(n11limnn0所以级数仅在 x=0 处收敛.规定:0!=1!)1(1n微积分微积分例例3.nnxnn202)!(!)2(求幂级数的收敛半径.解解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.lim)()(lim1nnnnxuxu2!)1(!)1(2nn2!2nn2
18、2)1()22()12(limxnnnn24x142x当时级数收敛时级数发散 故收敛半径为.21R21x即142x当21x即)1(2nxnx2故直接由微积分微积分例例4.12)1(nnnnx求幂级数的收敛域.解解:令,1 xt级数变为nnntn121nnnnaaRlimlim1nn21)1(211nnnnnnn2)1(2lim12当 t=2 时,级数为,11nn此级数发散;当 t=2 时,级数为,)1(1nnn此级数条件收敛;因此级数的收敛域为,22t故原级数的收敛域为,212x即.31x微积分微积分三、幂级数的运算三、幂级数的运算定理定理3.设幂级数nnnxa0nnnxb0及的收敛半径分别为
19、,21RR令nnnxa0)(0为常数nnnxa1Rx,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx,0nnnxcRx 则有:nnnnnnxbxa00其中knnkknbac0微积分微积分说明说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如,设 nnnxa0nnnxb0),2,1,0,1(0naan,3,2,0,1,110nbbbn它们的收敛半径均为,R但是nnnxa0nxxx21其收敛半径只是.1R1x1nnnxb0 x11微积分微积分定理定理4 若幂级数nnnxa0的收敛半径,0R)(xS数nnnxaxS0)(,11nnnxan),(R
20、RxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:注注:逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变.微积分微积分解解:由例2可知级数的收敛半径 R+.例例5.0!nnnx求幂级数0!)(nnnxxS)(x则11!)1()(nnnxxS0!kkkx)(xS)(x故有0)(xSexxeCxS)(,)(1)0(xexSS 得由故得.!0 xnnenx的和函数.因此得设微积分微积分例例6.1nnxn求幂级数的和函数解解:易求出幂级数的收敛半径为 1,x1 时级数发,)1,1(时故当x1)(nnxnxS
21、1)(nnxxxxx12)1(xx.)(xS11nnxnx1nnxx散,微积分微积分例例7.求级数01nnnx的和函数.)(xS解解:易求出幂级数的收敛半径为 1,时级数且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx)10(x1x及收敛,有时则当,0 x0111nnnxxxnnxxx00d1微积分微积分)1,0()0,1x)(xS,)1ln(1xx因此由和函数的连续性得:)(xS而)0(S,1)1(lnlim0 xxx,)1ln(1xx,10 x,1)10(x1x及微积分微积分例例8.2)1(122的和求数项级数nnn解解:设,1)(22nnnxxS则,)1
22、,1(x2112nnnxx21121nnnxx)0(x12nnnxx321nnnxxnnxnnxS111121)(2微积分微积分1nnnx 101dnxnxx而xxxnnd011 xxx01d)1ln(x42)1ln(21)(2xxxxxS故222)1(1nnn)0(x1212)(nnnxxxxS)2(212xxx21S2ln4385)0(x微积分微积分两类问题:在收敛域内和函数)(xSnnnxa0幂级数求 和展 开本节内容本节内容:一、泰勒一、泰勒(Taylor)级数级数 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 8.4 函数展开成幂级数 微积分微积分一、泰勒一、泰勒(Taylor)级数级数
23、 )()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中)(xRn(在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项拉格朗日余项.10)1()(!)1()(nnxxnf则在若函数0)(xxf在的某邻域内具有 n+1 阶导数,此式称为 f(x)的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,该邻域内有:微积分微积分)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(为f(x)的泰勒级数泰勒级数.则称当x0=0 时,泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为 f(x)?待
24、解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,0)(xxf在微积分微积分定理定理1.各阶导数,)(0 x则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f(x)的泰勒公式中的余项满足:.0)(limxRnn证明证明:,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf令)()()(1xRxSxfnn)(limxRnn)()(lim1xSxfnn,0)(0 xxknkknxxkxfxS)(!)()(000)(1)(0 xx设函数 f(x)在点 x0 的某一邻域 内具有微积分微积分定理定理2.若 f(x)能展成 x 的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证证:设 f(x)所展成的幂
25、级数为),(,)(2210RRxxaxaxaaxfnn则;2)(121nnxnaxaaxf)0(1fa;)1(!2)(22 nnxannaxf)0(!212fa;!)()(nnanxf)0()(!1nnnfa 显然结论成立.)0(0fa 微积分微积分二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 1.直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知,展开成幂级数的步函数)(xf第一步 求函数及其各阶导数在 x=0 处的值;第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径 R;第三步 判别在收敛区间(R,R)内)(limxRnn是否为骤如下:展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0.
26、的函数展开微积分微积分例例1.将函数xexf)(展开成 x 的幂级数.解解:,)()(xnexf),1,0(1)0()(nfn1其收敛半径为 对任何有限数 x,其余项满足 )(xRne!)1(n1nxxe!)1(1nxn故,!1!31!21132nxxnxxxenRlim!1n!)1(1nn0),(x(在0与x 之间)x2!21x3!31xnxn!1故得级数 微积分微积分例例2.将xxfsin)(展开成 x 的幂级数.解解:)()(xfn)0()(nf得级数:x)sin(2 nx其收敛半径为,R对任何有限数 x,其余项满足 )(xRn)1(sin(2 n!)1(n1nx!)1(1nxn12kn
27、),2,1,0(k3!31x5!51x12!)12(11)1(nnnx),(xxsinn0kn2,)1(k,012!)12(115!513!31)1(nnnxxxx微积分微积分nnxnxxx2142!)2(1)1(!41!211cos类似可推出:),(x),(x12153!)12(1)1(!51!31sinnnxnxxxx(P220 例3)微积分微积分例例3.将函数mxxf)1()(展开成 x 的幂级数,其中m为任意常数.解解:易求出,1)0(f,)0(mf,)1()0(mmf,)1()2)(1()0()(nmmmmfn于是得 级数 mx12!2)1(xmm由于1limnnnaaRnmnn1l
28、im1nxnnmmm!)1()1(级数在开区间(1,1)内收敛.因此对任意常数 m,微积分微积分11,)(xxF2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(1!)1()1()1(111)(nxnnmmxmmxFxmxF1)()()1(xFx),(xmFmxxF)1()(xxxxmxxFxF00d1d)()()1ln()0(ln)(lnxmFxF1)0(F推导推导则为避免研究余项,设此级数的和函数为微积分微积分2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(xmxm1)1()11(x称为二项展开式二项展开式.说明：说明：(1)在 x1 处的收敛性与 m 有关.(2)当 m 为正整数时,级数为 x
29、 的 m 次多项式,上式 就是代数学中的二项式定理二项式定理.由此得 微积分微积分对应1,2121m的二项展开式分别为xx21112421x364231x)11(x48642531x111 x24231x3642531x)11(x486427531xx21111 x2x3x)11(xnnx)1(x)11(1112xxxxxn微积分微积分2.间接展开法间接展开法211x x11利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例例4.将函数展开成 x 的幂级数.解解:因为nnxxx)1(12)11(x把 x 换成2x211xnnxxx242)1(1)11(x,得将所给函数展开成 幂级数.微积分微积分例
30、例5.将函数)1ln()(xxf展开成 x 的幂级数.解解:xxf11)()11()1(0 xxnnn从 0 到 x 积分,得xxxxnnnd)1()1ln(00,1)1(01nnnxn定义且连续,区间为.11x利用此题可得11)1(41312112lnnn11x11x上式右端的幂级数在 x 1 收敛,有在而1)1ln(xx所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛微积分微积分例例6.将xsin展成4x解解:)(sinsin44xx)sin(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(4421xx2132)4(!31)4(!21)4(121xxx)(x的幂级数.2)4(!21x4)4(!41x1)4(x3)4(!31x5)4(!51x微积分微积分例例7.将3412 xx展成 x1 的幂级数.解解:)3)(1(13412xxxx)3(21)1(21xx 14121x 4121x222)1(xnnnx2)1()1(81141x224)1(xnnnx4)1()1(nnnnnx)1(2121)1(3220)31(x)21(x 18141x1
