1、代数学基础n内容提要n群n环和域n有限域群n一般来说，一个代数结构是指一个非空集合S以及定义在S上的二元运算的总体，要求二元运算满足一定的条件。定义 群的定义 .群的定义：群的定义：设G是一个集合，“”是定义在G上的一个二元运算。如果下面四个条件成立，就将代数系统),(G称为群(Group)：1Gba,，有Gba （封闭性）2Gcba,，有)()(cbacba （结合律）3存在唯一的元素Ge，使得对于任意Ga，都有aaeea，元素e称为单位元 （单位元）4Ga，存在元素Ga1，使得eaaaa11 （可逆性）注意：n 在表示群),(G时，通常省略运算符“”，而用G表示一个群。n有限群和无限群：n
2、如果集合 G 中的元素个数有限，就称群G为 有限群；否则称为无限群。n阿贝尔群n阿贝尔群又称交换群（commutative group)，本章中出现的所有群都是指交换群。举例n下面，我们给出群的一些具体例子。群的例子（1）n整数集 Z 在加法下构成群，记为(Z,+).(Z,+)是一个无限群、阿贝尔群。有理数集Q、实数集R和复数集C关于加法都形成无限群。单位元，逆元素的定义与整数加法群相同。群的例子（2）nQ、R 和 C中的非零元素在乘法下构成群。将这些群分别记为Q*、R*和C*。这三个群的完整表示是(Q*,(R*,(C*,。将这些群称为乘法群。)群的例子（3）n对任意自然数 n,整数模 n 集
3、合构成一个包含 n 个元素的有限加法群，这里的加法运算是模 n 加，将这个群记为Zn。这个群的完整表示为（Zn，+(mod n)）.注意:Zn 是 Z/nZ的简化表示。群的例子（4）n时钟上表示小时的数字在模12加法下构成群Z12,将（Z12,+(mod 12)称为时钟群。群的例子（5）nZn=0,1,2,(n-1)Zn中所有与 n 互素的的元素是Zn的一个子 集,这个子集按照模 n 乘法运算构成一个群，用Zn*表示。例如，(Z15*,(mod15)=(1,2,4,7,8,11,13,14,(mod15)群的例子（6）n集合B=0,1，在异或运算下形成群。群的例子（7）nx3-1=0的根在乘法
4、运算下构成一个有限群。x=1是方程的一个解，该方程有三个根。用u和v表示其它两个根。由于 x3-1=(x-1)(x2+x+1)则u和v是 x2+x+1=0的两个根。由二次方程根与系数的关系，u和v互逆。封闭性:(x2)3 1=0。群的例子(8)n置换群 S=1,2,n Sn是S上所有置换构成的集合|Sn|=n!,是Sn中置换,表示和的复合,即(x)=(x)Sn构成群,称为n阶对称群对称群.n置换的表示 =niiin.2121312412344123123443121234 (1234)(56)=(132)(1432)=(1423)31241234412312344312123423416571
5、234567重复群运算的简化表示令G是运算“”下的一个群，对任一元素Ga，任一整数Ni，将下面的元素 iaaa 记为Gai。注释：注释：（1）Gai只是将a与自身做1i次群运算的结果，整数i和a之间的“运算”并不是群运算。（2）一些群习惯上写成加法群，例如（Zn，+(mod n)）。对于这些群，ia 就是ia，但简化写法中的“点”并不是群运算，整数i也不一定是群中的元素。群的性质子群设H 是群G的一个非空子集，如果H 在群G的运算下也构成一个群，就称H 是群G的一个子群，记为GH。用GH 表示H 是群G的一个真子群（即GH）。子群n对于群 G 的一个非空子集H，要判别H是否是G的子群，需要验证
6、4条：n封闭性n结合律（不必验证）n单位元n逆元素子群的例子（1）n在加法运算下，Z Q R C.n注意，在这个例子中：n子群中的单位元和群中的单位元相同，都是0n子群中元素的逆元素和群中该元素的逆元素一致子群的例子（2）n全体偶数的集合（包括0），在加法运算下，是整数加法群的一个子群。因此也是（1）中所有群的子群。子群的例子（3）n在乘法运算下，Q*R*C*。子群的例子（4）令 n 是 一 个 正 奇 数，Fermat(n)表 示 Z*n的 一 个 子 集，其 中 的 任一 元 素 a，都 满 足)(mod121nan，那 么 Fermat(n)是 Z*n的 一 个子 群。当 n 为 素 数
7、 时，由 费 马 小 定 理，Fermat(n)=Z*n；当 n 为 合 数 时，Fermat(n)是 Z*n的 一 个 真 子 群。子群的例子（5）nB=0,1在异或运算下是一个群。n0是B的一个真子群n1不是B的子群子群的例子（6）n设G是一个群，e是它的单位元ne和G是群G的两个平凡子群。群的阶n有限群G中元素的个数称为G的阶，记为#G.n#Zn=nnB=0,1按照异或运算，#B=2n#Roots(x3-1)=3子群中的单位元n在我们给出的例子中，子群的单位元就是包含它的群的单位元！n事实上，对任意子群都有这样的结论成立：证明:设H是G的一个子群，H中的单位元为eH，G 中的单位元为eG
8、。那么，在H中，有eH 。eH=eH；在G中，有eH。eG=eH。从而可得到eH=eG。子群中的逆元素n由于eH=eG，因此子群H中元素的逆元正是它在G中的逆元。子群的判别(1)n子群的判别方法：设),(G是一个群，H是G的一个非空子集，那么),(H是G的子群的充要条件是：（1）封闭性：任意Hba,，都有Hba；（2）单位元素：HeG；（3）逆元素：任意Ha，都有Ha 1。子群的判别(2)n设H是群G的一个非空子集,H是G的子群的充要条件是对任意的元素x,y H,有xy-1 H.子群的判别(3)n当 H 是一个有限集合时，判别会变得容易些，只需满足封闭性即可：设),(G是一个群，H 是G 的一
9、个非空子集，H 只含有有限个元素，那么只要H 满足封闭性，),(H就是G 的子群。拉格朗日定理n陪集陪集（Coset）的定义令G是一个（阿贝尔）群，HG，对于Ga，集合|HhhaHa称为H的一个（左）陪集。n拉格朗日定理：若 H 是G 的一个子群，则GH|#。商群的概念n注:n此处，首先应说明商群上的运算是一个二元运算。n实际上，商群上的运算可以看作集合之间的乘法运算，因为：HbaHbHa)()()(商群的例子(1)n 设 n0 是一个整数，在加法运算下，集合 nZ=0,n,-n,2n,-2n,是Z的一个子群，那么商群 Z/nZ=x+nZ|x为任一整数 有n个元素，即 Z/nZ=0+nZ,1+
10、nZ,n-1+nZ 可以看出Z/nZ=Zn 事实上，Z/nZ是Zn的正式和标准记法，为了表达的方便，用Zn代替Z/nZ。商群的阶商群的例子(2)设nm,是正整数，满足nm|，参照上一个例子，我们有：11,2,0mmnmmZmn是),(nZ的一个含有mn/个元素的子群；2mnnZmZZ/；3)(#/#)/(#nnmnnmZZmnnmZmZZ 群元素的阶n注：注：当一个元素当一个元素g的阶的阶ord(g)有限时，如果有有限时，如果有gn=e成立，则必有成立，则必有ord(g)|n，即，即n一定是一定是ord(g)的倍数的倍数。定义 5.9 群元素的阶 令G 是一群，任意Ga，称满足eai的最小正整
11、数Ni为元素a的阶，记为)(aord。如果不存在这样的整数i，则称a的阶是无限的。例子（1）n在时钟群Z12中：n12是满足112=0(mod 12)的最小正整数，所有ord(1)=12；n类似地，ord(2)=6，ord(3)=4，ord(4)=3，ord（5）=12。例子（2）n0,1关于异或运算形成一个群，ord(0)=1,ord(1)=2.例子（3）n在群Roots(x3-1)中，ord(u)=ord(v)=3，ord(1)=1.例子（4）n在Z中，ord(1)=。推论（拉格朗日）令G 是一有限群，则对任意Ga，都有)(aord|#G。n推论提供了群的阶和群中元素的阶之间的关系。n欧拉定理和费马小定理可以直接由推论得到：v欧拉函数：n欧拉定理：欧拉定理：n费马小定理：费马小定理：设 p 是素数，那么对任意与 p 互素的数a（即 p 不整除a），都有)(mod11pap。对任意正整数a和n，若1),gcd(na，则)(mod1)(nan。对任意自然数 n，定义 n 的欧拉函数)(n为：)1),gcd(,0|#)(nknkkn
