1、 梁弯曲时的刚度计算梁弯曲时的刚度计算 u 教学重点教学重点 u 教学难点教学难点 挠曲线微分方程挠曲线微分方程 1、弯曲变形的概念弯曲变形的概念2、用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形3、用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形4、梁的刚度校核梁的刚度校核5、提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度的措施u 教学内容教学内容 一、梁的弯曲变形概述一、梁的弯曲变形概述 梁满足强度条件，表明它能安全地工作，梁满足强度条件，表明它能安全地工作，但变形过大也会影响但变形过大也会影响机器的正常运行。如齿轮轴变形过大，会使齿轮不能正常啮合，产生机器的正常运行。如齿轮轴变形过大，会使齿轮不能正常啮合，产生振动和噪声
2、；机械加工中刀杆或工件的变形，将导致一定的制造误差；振动和噪声；机械加工中刀杆或工件的变形，将导致一定的制造误差；起重机横梁的变形过大使吊车移动困难。因此，对某些构件而言，除起重机横梁的变形过大使吊车移动困难。因此，对某些构件而言，除满足强度条件外，还要将其变形限制在一定范围内，即满足刚度条件。满足强度条件外，还要将其变形限制在一定范围内，即满足刚度条件。当然，有些构件要有较大的或合适的弯曲变形，才能满足工作要求。当然，有些构件要有较大的或合适的弯曲变形，才能满足工作要求。如金属切削工艺实验中使用的悬臂梁式测力仪及车辆上使用的隔振板如金属切削工艺实验中使用的悬臂梁式测力仪及车辆上使用的隔振板簧
3、等。簧等。度量梁的变形的两个基本物理量是度量梁的变形的两个基本物理量是挠度和转角。它们主要因弯矩而产生，挠度和转角。它们主要因弯矩而产生，剪力的影响可以忽略不计。剪力的影响可以忽略不计。1 1挠度和转角挠度和转角x x 以悬臂梁为例，变形前梁的轴线以悬臂梁为例，变形前梁的轴线为直线为直线ABAB，mnmn是梁的某一横截面，变是梁的某一横截面，变形后形后ABAB变为光滑的连续曲线变为光滑的连续曲线ABAB1 1。MnMn 转到了转到了m m1 1n n1 1的位置。的位置。F Fy y挠曲线挠曲线B B1 1A AB BF Fm mn nm m1 1n n1 1C C1 1C C一、梁的弯曲变形
4、概述一、梁的弯曲变形概述 以图以图1所示所示的简支梁为例，说明平面弯曲时变形的一些概念。取的简支梁为例，说明平面弯曲时变形的一些概念。取梁在变形前的轴线为梁在变形前的轴线为x轴，与轴，与x轴垂直向下的轴为轴垂直向下的轴为y轴。轴。xAy平面就是梁的纵向对称面，荷载作用在这个平面上，梁变形平面就是梁的纵向对称面，荷载作用在这个平面上，梁变形后的轴线将成为此平面内的一条曲线，这条连续而光滑的曲线称为后的轴线将成为此平面内的一条曲线，这条连续而光滑的曲线称为梁的挠曲线梁的挠曲线。F Fy y挠曲线挠曲线B B1 1A AB BF Fm mn nm m1 1n n1 1C C1 1C C图1 一、梁的
5、弯曲变形概述一、梁的弯曲变形概述 1 1挠度和转角挠度和转角梁的弯曲变形可用两个基本量来度量：梁的弯曲变形可用两个基本量来度量：(1)挠度挠度梁任一横截面的形心梁任一横截面的形心C，沿，沿y轴方向的线位移轴方向的线位移CC，称为，称为该截面该截面的挠度的挠度，通常用，通常用y来表示。以向下的挠度为正，向上的挠度为负。来表示。以向下的挠度为正，向上的挠度为负。(2)转角转角梁的任一横截面梁的任一横截面C，在梁变形后绕中性轴转动的角度，称为，在梁变形后绕中性轴转动的角度，称为该截该截面的转角面的转角，用，用表示。以顺时针转向的转角为正，逆时针转向的转角表示。以顺时针转向的转角为正，逆时针转向的转角
6、为负。为负。一、梁的弯曲变形概述一、梁的弯曲变形概述 1 1挠度和转角挠度和转角图2 一、梁的弯曲变形概述一、梁的弯曲变形概述 1 1挠度和转角挠度和转角梁上各横截面的挠度梁上各横截面的挠度y，随着截面位置，随着截面位置x的不同而改变，这种变的不同而改变，这种变化规律用挠曲线方程表示为化规律用挠曲线方程表示为y=f(x)挠曲线上任意一点处的斜率为挠曲线上任意一点处的斜率为tan=dy/dx在工程实际中，梁的变形极小，即在工程实际中，梁的变形极小，即极小，所以有极小，所以有tan，则，则=dy/dx=f(x)称为称为转角方程转角方程，反映了，反映了挠曲线上任意一点处切线的斜率等于该挠曲线上任意一
7、点处切线的斜率等于该点处横截面的转角点处横截面的转角。2、挠曲线方程、挠曲线方程式中的正负号取决于坐标系的选择和弯矩的符号规定。式中的正负号取决于坐标系的选择和弯矩的符号规定。在图在图3所示所示的坐标系中，弯矩的符号仍用第的坐标系中，弯矩的符号仍用第9章中的规定：章中的规定：M为正，挠曲线为正，挠曲线向下凸，二阶导数向下凸，二阶导数d2y/dx2 为负；为负；M为负，挠曲线向上凸，二阶导数为负，挠曲线向上凸，二阶导数d2y/dx2 为正。为正。上式称为上式称为梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程。22()zd yM xdxEI 22()zd yM xdxEI2、挠曲线方程、挠曲线方程图
8、图3 2、挠曲线方程、挠曲线方程为了计算梁的变形，可以直接对挠曲线近似微分方程式为了计算梁的变形，可以直接对挠曲线近似微分方程式(11.3)进进行积分。对于等截面梁，抗弯刚度行积分。对于等截面梁，抗弯刚度EI为常量，积分一次，可以得到为常量，积分一次，可以得到转角方程转角方程再积分一次，可以得到挠曲线方程再积分一次，可以得到挠曲线方程 1()zdyM x dxCdxEI 1()zyM x dx dxCxDEI 3、用积分法求梁的变形、用积分法求梁的变形从上节可知，梁的转角和挠度都与梁上的荷载成线性关系。于从上节可知，梁的转角和挠度都与梁上的荷载成线性关系。于是，可以用叠加法来计算梁的变形。即梁
9、在几个荷载同时作用时，是，可以用叠加法来计算梁的变形。即梁在几个荷载同时作用时，其任一截面处的转角或挠度等于各个荷载分别单独作用时梁在该截其任一截面处的转角或挠度等于各个荷载分别单独作用时梁在该截面处的转角或挠度的代数和。面处的转角或挠度的代数和。梁在简单荷载作用下的转角和挠度可从梁在简单荷载作用下的转角和挠度可从表表11.1中查得。中查得。4、用叠加法求梁的变形、用叠加法求梁的变形表表1常用梁在简单荷载作用下的变形常用梁在简单荷载作用下的变形 4、用叠加法求梁的变形、用叠加法求梁的变形4、用叠加法求梁的变形、用叠加法求梁的变形4、用叠加法求梁的变形、用叠加法求梁的变形4、用叠加法求梁的变形、
10、用叠加法求梁的变形4、用叠加法求梁的变形、用叠加法求梁的变形 梁的刚度条件为梁的刚度条件为y ymaxmaxy y 和和 maxmax （1 1）式中，式中，y y 为许用挠度，为许用挠度，为许用转角，其值可根据工作要求为许用转角，其值可根据工作要求或参照有关手册确定。或参照有关手册确定。在设计梁时，一般应先满足强度条件，再校核刚度条件。如所在设计梁时，一般应先满足强度条件，再校核刚度条件。如所选截面不能满足刚度条件，再考虑重新选择。梁的许用挠度选截面不能满足刚度条件，再考虑重新选择。梁的许用挠度 y y 和许和许用转角用转角 可参见表可参见表2 2。二、二、梁的刚度条件梁的刚度条件 表表2 2 梁的许用挠度梁的许用挠度 y y 和许用转角和许用转角 机床主轴机床主轴 y y 0.00020.0002l l装滑动轴承处装滑动轴承处 0.001rad0.001rad一般传动轴一般传动轴 y y(0.0003(0.00030.0005)0.0005)l l装向心球轴承处装向心球轴承处 0.003rad0.003rad桥式吊车梁桥式吊车梁 y y(0.0013(0.00130.0025)0.0025)l l装齿轮处装齿轮处 (0.001(0.0010.002)rad0.002)rad二、二、梁的刚度条件梁的刚度条件
