1、3.1.4空间向量的空间向量的正交分解正交分解及其坐标表示及其坐标表示学习目标学习目标1.知识与技能：了解空间向量的基本定理及其意义，知识与技能：了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及坐标表示掌握空间向量的正交分解及坐标表示2.过程与方法：类比平面向量的有关知识，得出空过程与方法：类比平面向量的有关知识，得出空间向量基本定理及坐标表示间向量基本定理及坐标表示。3.情感态度与价值观：用发展的联系的眼光看问题，情感态度与价值观：用发展的联系的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展变化的。认识到事物都是在不断的发展变化的。学习重点学习重点 空间向量基本定理空间向量基本定理学习难点学
2、习难点 探究空间向量基本定理的过程及定理的应用探究空间向量基本定理的过程及定理的应用1211122122e eae eaee 如如果果，是是同同一一平平面面内内的的两两个个向向量量，那那么么对对于于这这一一平平面面内内的的任任一一向向量量，有有且且只只有有一一对对实实数数，使使。（、叫叫做做表表示示这这一一平平面面内内所所有有向向量量的的一一组组不不共共线线基基底底。）1、平面向量基本定理：一、预备知识一、预备知识apbyaxp 一、预备知识一、预备知识2、下图中，如何用两个不共线向量下图中，如何用两个不共线向量 来表来表示示？ba,paxbybOPyx12312ij3、在平面直角坐标系中，取
3、与在平面直角坐标系中，取与X轴轴Y轴方向轴方向相同的两个单位向量相同的两个单位向量 、作为基底，在图中、作为基底，在图中作出作出 =，并写出，并写出 的坐标。的坐标。ijpji23 ppp=（3，2）i3j2Opxyzoijkijk二、探究与发现二、探究与发现 探究一探究一设设 、为由公共起点为由公共起点O的三个两两互相垂直的向的三个两两互相垂直的向量，那么对于空间任意一个向量量，那么对于空间任意一个向量 ，如何用，如何用 、来表示？来表示？ijkpQkzjyi xpPabpc探究二探究二如果用任意三个不共面向量来代替上述两两互如果用任意三个不共面向量来代替上述两两互相垂直的向量相垂直的向量
4、，还有类似结论吗？，还有类似结论吗？cba,cbyaxpzOPQ 空间向量基本定理：空间向量基本定理：如果三个向量如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任不共面，那么对空间任一向量一向量p，存在有序实数组，存在有序实数组x，y，z，使得，使得p xaybzc。把不共面的三个向量把不共面的三个向量a、b、c叫做空间的一个叫做空间的一个基底基底 a,b,c都叫做都叫做基向量基向量注意注意对于基底对于基底a,b,c需要明确以下几点：需要明确以下几点：1.向量向量a,b,c不共面；不共面；2.空间任意三个不共面向量都可以做空间向量的空间任意三个不共面向量都可以做空间向量的一个基底；一个基底；3.由于
5、由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是含着它们都不是0.4.一个基底指一个向量组，一个基向量是指基底一个基底指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量中的某一个向量.单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个，则这个基底叫做基底叫做单位正交基底单位正交基底,常用常用e1,e2,e3 表示表示 空间直角坐标系：空间直角坐标系：在空间选定一点在空间选定一点O和一和一个
6、单位正交基底个单位正交基底 e1,e2,e3,以点以点O为原点，分别为原点，分别以以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：的正方向建立三条数轴：x轴、轴、y轴、轴、z轴，它们都叫做坐标轴轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个这样就建立了一个空间直角坐标系空间直角坐标系O-xyz 点点O叫做原点，向量叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做都叫做坐标向量坐标向量.通过每两个坐通过每两个坐标轴的平面叫做标轴的平面叫做坐标平面坐标平面。xyzOe1e2e3（2）空间向量的坐标表示）空间向量的坐标表示 给定一个空间坐标系和向给定一个空间坐标系和向量量 ,且设且设e1,e2,e3为坐标向量，为坐标向量，由空
7、间向量基本定理，存在唯由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组一的有序实数组(x,y,z)使使 p=xe1+ye2+ze3 有序数组有序数组(x,y,z)叫做叫做p在空间在空间直角坐标系直角坐标系O-xyz中的坐标，中的坐标，记作记作.P=(x,y,z)p（2）空间向量的坐标表示）空间向量的坐标表示xyzOe3e1e2P三、空间向量的正交分解及其坐标表示xyzOijkP记作 =(x,y,z)p由空间向量基本定理，对由空间向量基本定理，对于空间任一于空间任一向量向量 存在唯存在唯一的有序实数组一的有序实数组(x,y,z)使使 pkzj yi xpPP练习练习.正方体正方体ABCD-A1B1C1D
8、1的棱长为的棱长为2，以，以A为为坐标原点，以坐标原点，以 AB,AD,AA1为为x轴、轴、y轴、轴、z轴正轴正方向建立空间直角坐标系，设向量方向建立空间直角坐标系，设向量 ，为，为x轴、轴、y轴、轴、z轴正方向的单位向量，用向量轴正方向的单位向量，用向量 ，表示向量表示向量AC1和和BD1。ijkijkijk三、定理应用三、定理应用例例1如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P,Q是MN的三等分点。用向量 、表示 和 。OAOBOCOPOQ OABCMNPQMNOAMQOMOQ3121)(3121OMONOA)21(3121OAONOA)(213131OCOBOA )(322
9、1OMONOA)21(3221OAONOA)(213261OCOBOAOCOBOA313161MNOAMPOMOP3221解：OABCMNPQ练习练习 .空间四边形空间四边形OABCOABC中中,OA=,OA=a,OB=,OB=b,OC=,OC=c点点M M在在OAOA上上,且且OM=2MA,NOM=2MA,N为为BCBC的中点的中点,则则MN=().MN=().OABCMN(A)a b+c 122312(B)a+b+c 122312(C)a+b c 122312(D)a+b c 122323四、学后反思四、学后反思1、知识点：2、问题探究过程的思路剖析：课下探究 空间向量基本定理与课本95页
10、“思考“栏目中的第二问题有什么联系？你有何体会？五、作业：五、作业：P106 A组1.2.练习练习2空间向量运算的坐标表示 空间向量基本定理：空间向量基本定理：如果三个向量如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任不共面，那么对空间任一向量一向量p，存在有序实数组，存在有序实数组x，y，z，使得，使得p xaybzc。把不共面的三个向量把不共面的三个向量a、b、c叫做空间的一个叫做空间的一个基底基底 a,b,c都叫做都叫做基向量基向量则则 叫做叫做点点A 在此空间坐标系在此空间坐标系o-xyz的的坐标坐标；),(zyxxyzOijkAa 3.坐标坐标向量的坐标向量的坐标给定一个空间直角坐标系和
11、向量给定一个空间直角坐标系和向量 ,且设且设 为坐标向量，则存在唯一的为坐标向量，则存在唯一的有序有序实数组实数组(a1,a2,a3)使使 a i,j,k 123a=a ia ja k 有序数组有序数组(a1,a2,a3)叫做叫做 在空间在空间直角坐标系直角坐标系O-xyz中的中的坐标坐标，记作记作.a a=(a1,a2,a3)点的坐标点的坐标在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点中，对空间任一点A,对应一个向量对应一个向量 于是存在唯一的有序实数组于是存在唯一的有序实数组x,y,z，使，使OA OA=xiy jzk ),(zyx记作记作Ax,y,z分别称作点分别称作点A的
12、的横坐标横坐标,纵坐标纵坐标,竖坐标竖坐标.123123(,)(,)aaaabb bb设，则则 ba ba a ba baba/0baba二、空间向量的坐标运算二、空间向量的坐标运算.);,(332211bababa );,(332211bababa );)(,(321Raaa ;332211bababa 332211,bababa 312123aaabbb(注：分母不为零注：分母不为零).0332211 bababa若若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则则AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(=(x2 2-x1 1 ,y2 2-y1 1,z2 2-z
13、1 1)空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标终点的坐标减去起点的坐标.二、距离与夹角的坐标表示二、距离与夹角的坐标表示1.1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。角线的长度。|ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222,212121()()()A Bdxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，
14、则，则111(,)A xyz222(,)B xyz（2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。cos,1 a b与 abcos,1 a b与 abcos,0 a bab(2,3,5),(3,1,4),1),2)3)8 4),abababaa b 例1：已知求，练习一：练习一：1.求下列两个向量的夹角的余弦：求下列两个向量的夹角的余弦：(1)(2,3,3),(1,0,0);ab(2)(1,1,1),(1,0,1);ab2.求下列两点间的距离及中点坐
15、标：求下列两点间的距离及中点坐标：(1)(1,1,0),(1,1,1);AB(2)(3,1,5),(0,2,3).CDOABM 答案：(1,1，1)(1,0,1)F1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1,0),1,1,4BE11(0,0,0),0,1.4DF，1311,1(1,1,0)0,1,44BE 例例1如图如图,在正方体中，在正方体中，求与所成的角的余弦值，求与所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D 11B E 11114A BD F1BE1DF1110,1(0
16、,0,0)0,1.44DF ，1111150 01 1,4416BE DF 111717|,|.44BED F 111111151516cos,.17|171744BE DFBE DFBEDF 如图长方体ABCD-ABCD,底面边长均为1，棱AA=2，M、N分别是AC,AA的中点，（1）求CN的长;（2）求cos的值;（3）求证:ACDM.ADCBACDBNM例题ADCBACDBNMxyz解：（1）如图建立空间直角坐标系，则C(0,1,0),N(1,0,1)30)(11)(00)(1|CN|222（2）A(1,0,2),C(0,1,2),D(0,0,0)CA=(1,-1,2)，DC=(0,1,
17、2)，1030|DC|CA|DCCADC,CAcos211CA02121MD22121M,0,0,2D，020121121CAMD（3）ACDM 证明证明:设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,1,.DAi DCj DDk 建立如图的空间直角坐标系建立如图的空间直角坐标系11(1,0,0),(0,1),2ADD F 则则11(1,0,0)(0,1)0.2AD D F 1.ADD F 1(0,1,),2AE 又又111(0,1,)(0,1)0.22AE D F 1.AED F 又又ADAE=A,ADAE=A,1.D FADE 平平面面xyzA1D1C1B1ACBDFE:,.FAD AEAD 1 1
18、另另证证 可可以以用用三三垂垂线线定定理理证证D D得得证证2,2,ABCDxoyaSa SOSABCD练习 已知 如图，正方形在平面面上，边长为2BC、CD分别垂直于ox轴、oy轴,点 到正方形四个顶点的距离为到底面的射影为对角线的交点，写出、的坐标SCBADOxyzPCBAO练习练习3.如图如图,空间四边形空间四边形PABC的每条边及的每条边及对角线的长都是，试建立空间直角坐标系，对角线的长都是，试建立空间直角坐标系，并求出四个顶点的坐标并求出四个顶点的坐标.zxyyxzOxyz练习练习:qpqpCBAOPPBAPBAzzaa共线，则三点则的且满足共线与,3,1,4,2,2,5,13,2,4,3,1,1,2,1218,2,1,214,2,4 3,38,3134a b c 小结：小结：1、空间向量的坐标运算；、空间向量的坐标运算；2、利用向量的坐标运算判断空间几何关、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键：系的关键：首先要选定单位正交基，进而确定各向量首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。
