1、313 空间向量空间向量运算的坐标表示运算的坐标表示1了解空间向量基本定理、意义及其表示了解空间向量基本定理、意义及其表示2理解空间向量的正交分解、长度公式、夹角公式和空间理解空间向量的正交分解、长度公式、夹角公式和空间两点间距离公式两点间距离公式3掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量表示其他向量能用向量的坐标运算解决简单几何体中的问题能用向量的坐标运算解决简单几何体中的问题4.预习并自主完成书上例题。预习并自主完成书上例题。1设设 i，j，k 是空间三个两两垂直的向量，那么对空间任是空间三个两两垂直的向量，那么对空间任一
2、向量一向量 p，存在一个，存在一个_，使得，使得_，我们称我们称_为向量为向量 p 在在 i，j，k 上的分向量上的分向量2空间向量基本定理空间向量基本定理如果三个向量如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量不共面，那么对空间任一向量 p，存在唯一的有序实数组存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得，使得 p_.有序实数组有序实数组(x，y，z)pxiyjzk xi，yj，zk xa+yb+zc 3如果三个向量如果三个向量 a，b，c 不共面，那么所有空间向量所不共面，那么所有空间向量所组组成的集合就是成的集合就是p|pxaybzc，x，y，zR这个集合可看这个集合可看作是由作是由
3、 a，b，c 生成的，我们把生成的，我们把_叫做空间的一个叫做空间的一个基底基底，_ 都叫做基向量都叫做基向量 空间任何空间任何_都可构成空间的一个基底都可构成空间的一个基底4设设 e1，e2，e3 为有公共起点为有公共起点 O 的三个两两相互垂直的单的三个两两相互垂直的单位向量，称它们为位向量，称它们为_a，b，c a，b，c 三个不共面的向量三个不共面的向量单位正交基底单位正交基底5在空间选定一个单位正交基底在空间选定一个单位正交基底e1，e2，e3，以，以 e1，e2，e3的公共起点的公共起点 O 为为_，分别以，分别以 e1，e2，e3 的方向为的方向为 x 轴，轴，y 轴，轴，z 轴
4、的轴的_建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系 Oxyz.那么对于空间任意一个那么对于空间任意一个向量向量 p，一定可以把它平行移动，使它的起，一定可以把它平行移动，使它的起点点_，得到一个向量得到一个向量_由空间向量分解定理可知，存在有序实由空间向量分解定理可知，存在有序实数组数组x，y，z，使得，使得_我们把我们把_称作向称作向量量p 在单位正交基底在单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标，记作下的坐标，记作_原点原点 正方向正方向 与原点与原点O重合重合 pxe1ye2ze3 x，y，z p(x，y，z)设设i，j，k是空间向量的一个单位正交基底，是空间向量的一个单位正交基底，a3i2j
5、k，b2i4j2k，则向量，则向量 a，b 的坐标分别是的坐标分别是_，_.(3,2,1)(2,4,2)6一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的向线段的_7设设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则，则ab_；ab_；a_；ab_；ab_；ab_.终点坐标减去始点坐标终点坐标减去始点坐标(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1，a2，a3)a1b1a2b2a3b3a1b1，a2b2，a3b3(R)a1b1a2b2a3b30cos,|a ba bab1 1223 322222212312
6、3;a ba ba baaabbb2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。cos,1 a b与 abcos,1 a b与 abcos,0 a bab思考：当思考：当 及及 时，时，的夹角在什么范围内？的夹角在什么范围内？1cos,0 a b,10cos a b题型1 空间向量的坐标运算例1：已知 a(2，1，2)，b(0，1,4)，求 ab；ab；ab；(2a)(b)；(ab)(ab)自主解答：ab(20，11，24)(2,2,2)；ab(20，11，24)(2,0,6)；ab20(1)(
7、1)(2)47；(2a)(b)2(ab)2(7)14；(ab)(ab)22(2)02(6)8.思维突破：思维突破：计算时注意运算法则和公式的灵活应用计算时注意运算法则和公式的灵活应用例例2已知、，求：已知、，求：（1）线段的中点坐标和长度；）线段的中点坐标和长度；(3,3,1)A(1,0,5)BAB解：设是的中点，则解：设是的中点，则(,)M x y zAB113()(3,3,1)1,0,52,3,222 OMOAOB点的坐标是点的坐标是.M32,32222,(1 3)(03)(5 1)29.A BdOABM（2）到两点距离相等的点的）到两点距离相等的点的坐标满足的条件。坐标满足的条件。、AB
8、(,)P x y z,x y z解：点到的距离相等，解：点到的距离相等，则则(,)P x y z 、AB222222(3)(3)(1)(1)(0)(5),xyzxyz化简整理，得化简整理，得46870 xyz即到两点距离相等的点的坐标满即到两点距离相等的点的坐标满足的条件是足的条件是 、AB(,)x y z46870 xyz并求并求MN，DC的坐标的坐标题型题型2 坐标表示空间向量坐标表示空间向量例例2：已知已知 PA 垂直于边长为垂直于边长为 1 的正方形的正方形 ABCD 所在的平面，所在的平面，M，N 分别是分别是 AB，PC 的中点，并且的中点，并且 PA AD.建立直角坐标系建立直角
9、坐标系 思维突破：思维突破：空间直角坐标系建立的关键是寻找三条两两互空间直角坐标系建立的关键是寻找三条两两互相垂直的直线相垂直的直线例例3如图，在正方体中，如图，在正方体中，求与所成的角的余弦值。，求与所成的角的余弦值。1111ABCDABC D11B E11114ABD F1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则Oxyz(2)求求cosBA1，CB1的值的值题型题型3 3 空间向量的夹角、距离公式的应用空间向量的夹角、距离公式的应用例例3：已知如图已知如图 3110，在直三棱柱，在直
10、三棱柱 ABCA1B1C1 的底的底面面ABC 中，中，CACB1，BCA90，棱，棱 AA12，点，点 N 是是A1A 的中点的中点(1)求求 BN 的长；的长；图 3110【变式与拓展】3已知 a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值是()C课堂小结：课堂小结：1.基本知识：基本知识：（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；）向量的长度公式与两点间的距离公式；（2）两个向量的夹角公式。）两个向量的夹角公式。2.思想方法：用向量计算或证明几何问题思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。证明。
