1、第九章第九章振动学基础振动学基础 9-0 9-0 教学基本要求教学基本要求 9-1 9-1 简谐振动的规律简谐振动的规律 9-2 9-2 简谐振动的描述简谐振动的描述 9-3 9-3 简谐振动的合成简谐振动的合成 一、理解简谐振动的基本特征一、理解简谐振动的基本特征,了解研究谐振子模型的意义了解研究谐振子模型的意义.*二、能建立一维简谐振动的微分方程二、能建立一维简谐振动的微分方程,能根据给定的初始条能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程件写出一维简谐振动的运动方程,并理解其物理意义并理解其物理意义.三、理解描述简谐振动的各物理量的物理意义和决定因素三、理解描述简谐振动的各物理量的物理
2、意义和决定因素.四、理解旋转矢量法和相位差的意义四、理解旋转矢量法和相位差的意义,会用旋转矢量法分会用旋转矢量法分析和解决简谐振动问题析和解决简谐振动问题,会做振动曲线会做振动曲线.五、理解两个同方向、同频率简谐振动的合成规律五、理解两个同方向、同频率简谐振动的合成规律.*六、了解相互垂直的两个同频率简谐振动的合成六、了解相互垂直的两个同频率简谐振动的合成.预习要点预习要点注意简谐振动的规律和特点注意简谐振动的规律和特点.如何判断一个振动是如何判断一个振动是否为简谐振动？否为简谐振动？简谐振动的能量有什么特点简谐振动的能量有什么特点?简谐振动的周期由什么因素决定？如何计算一简谐简谐振动的周期由
3、什么因素决定？如何计算一简谐振动的周期？振动的周期？1.研究谐振子模型的意义何在？研究谐振子模型的意义何在？1.1.弹簧振子弹簧振子 一个劲度系数为一个劲度系数为k的的轻质弹簧的一端固定，另一端轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的物体，就构成一个固结一个可以自由运动的物体，就构成一个弹簧振子弹簧振子.2.2.弹簧振子振动的微分方程弹簧振子振动的微分方程makxF22ddtxaxmkmF 弹簧振子偏离平衡位置弹簧振子偏离平衡位置O后，仅因回复力后，仅因回复力(弹性力弹性力)和惯性而自由往返运动和惯性而自由往返运动.xo弹Fx x0dd222xtx有有弹簧振子的振动微分方程弹簧振子的振
4、动微分方程(动力学方程动力学方程)cos(tAx解微分方程得解微分方程得令令mk20dd22xmktx(1)(1)位移时间关系位移时间关系(振动方程振动方程)(2)(2)速度时间关系速度时间关系)(sin21212222ktAmmEv(4)(4)能量特征能量特征)2cos()sin(ddtAtAtxv)cos()cos(dd2222tAtAtxa(3)(3)加速度时间关系加速度时间关系x2)(cos2121222ptkAkxE2pk21kAEEE弹簧振子的总的弹簧振子的总的机械能机械能mk/2由由2k21vmE 弹簧振子在振动过程中，系统的动能和势能都随时弹簧振子在振动过程中，系统的动能和势能
5、都随时间发生间发生周期性变化周期性变化，但动能和势能的总和保持为一个常，但动能和势能的总和保持为一个常量，即系统的量，即系统的机械能守恒机械能守恒.)(sin2122tkA)(sin21222tAm)sin(dd0 tAtxv)cos(dd0222 tAtxa其中其中,Avm to2TT23T2Tvato2TT23T2T称为称为速度幅值速度幅值和和加速度幅值加速度幅值.ax总是和总是和方向相反方向相反A)(txA2 A)2cos(0 tvmxtam20)cos(Aam2 4T2T43TEoTtpEkE221kA(5)(5)振动曲线振动曲线)cos(tAxAAxT2Tto振动曲线振动曲线从图可见
6、，从图可见，动能动能和和势能势能的变化频率是的变化频率是位移位移变化变化频率的频率的2 2倍，总能量并不改变。倍，总能量并不改变。,tEktEp曲线曲线221kAE xt t2TT T23TE Ep pE Ek k0 初初相相t to o2TT T23TE3.3.简谐振动的定义简谐振动的定义4 4 简谐振动的判据简谐振动的判据(1)(1)运动的微分方程运动的微分方程(定义式定义式).).(2)(2)机械振动也可用其受力特征或运动特征判断机械振动也可用其受力特征或运动特征判断.xo弹Fx x任任一一物理量物理量x随时间随时间t的变化关系如果满足微分方程的变化关系如果满足微分方程0dd222xtx
7、 其中其中 是系统固有性质是系统固有性质决定的常数决定的常数,则此物理量作则此物理量作简简谐运动谐运动.2T周期周期21T频率频率)cos(tAx)(cosTtA振动往复一次所需时间振动往复一次所需时间.)cos(TtAT22角频率角频率,T都表示简谐运动的周期性，反映振动的都表示简谐运动的周期性，反映振动的快慢快慢.kmT2弹簧振子固有周期弹簧振子固有周期mk2由由物体不再作简谐振动。物体不再作简谐振动。2 T 当当 角不是很小时，角不是很小时，gl 2T TG GGcosGcos GsinGsin 单摆单摆 sinmgft lx sin xlgmfatlg 22dtdl mgl 例例:质量
8、为质量为m长度为长度为l的均匀细棒，绕的均匀细棒，绕O点作小角度摆点作小角度摆动动.求振动周期求振动周期.重力矩重力矩sin21mglMJM 22ddtJsin21dd22mgltJ“”“”表示力矩与逆时针表示力矩与逆时针张角张角方向方向相反相反.解解:当当 5时时,sin02dd22Jmgltlg gmO令令lg2320dd222t得到得到振动微分方程振动微分方程231mlJ 023dd22lgtglT3222由由表明棒作角简谐振动表明棒作角简谐振动 符合简谐振动微分方程的振动体称为谐振子，它符合简谐振动微分方程的振动体称为谐振子，它是振动学的研究基础是振动学的研究基础.弹簧振子、无阻尼弹簧
9、振子、无阻尼LC振荡电路振荡电路等是典型的经典谐振子模型，依据量子物理研究微观等是典型的经典谐振子模型，依据量子物理研究微观谐振子可揭示其能量量子化谐振子可揭示其能量量子化.预习要点预习要点简谐振动的振幅和初相位由哪些因素决定简谐振动的振幅和初相位由哪些因素决定?如何确如何确定它们的数值？定它们的数值？注意相位在描述振动中的特殊而重要的作用注意相位在描述振动中的特殊而重要的作用.1.注意领会旋转矢量表示及研究谐振动的方法注意领会旋转矢量表示及研究谐振动的方法.A1.振幅振幅质点在振动过程中离开平衡位置的质点在振动过程中离开平衡位置的最大位移最大位移的绝对值的绝对值.表征了系统的能量，由初始条件
10、决定表征了系统的能量，由初始条件决定.maxxA),cos(tAx 由由cos0Ax)sin(tAv0t时时,sinA0v有有2200vxA,22A020vx得得2.2.相位相位)cos(tAx在在 中，中，称为振动的相位称为振动的相位.tAxAv/tan0000 xv（1 1），存在一一对应的关系；即其决存在一一对应的关系；即其决定质点在时刻的定质点在时刻的t的的位置和速度位置和速度(即时刻即时刻t的运动状态的运动状态).).xtv（2 2）初相位初相位 描述质点描述质点初始初始时刻的运动状态时刻的运动状态(初初位置位置 和初速度和初速度 .已知初始条件已知初始条件 也可确定初相也可确定初相
11、.)0(t0v0 x00vx,上式可求得上式可求得 在在 区间内两个解，应进一步区间内两个解，应进一步由由 的符号判定的符号判定 和和 的符号后选定其中的符号后选定其中的一个解的一个解.2,000vx,cossin 表示两个相位之差表示两个相位之差.对于两个对于两个同同频率的简谐运动，频率的简谐运动，相位差表示它们间相位差表示它们间步调步调上的上的差异差异.)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12 两个两个同同频率的简谐运动相位差都等于其初相差而与频率的简谐运动相位差都等于其初相差而与时间无关时间无关.1.1.相位差相位差2.2.超前和落后超前和落后 若若 ，则则x2比
12、比x1较早达较早达到正最大，到正最大，称称x2比比x1超前超前(或或x1比比x2落后落后).).012 3.3.同相和反相同相和反相 当当 =2k，(k=0,1,2,)，两振动步调相同，两振动步调相同，称称同相同相.当当=(2k+1)，(k=0,1,2,)，两振动步调相反，两振动步调相反，称称反相反相.OA1-A1A2-A2x1x2Tt同相同相两同相振动的振动曲线两同相振动的振动曲线 x2TxOA1-A1A2-A2x1t反相反相两反相振动的振动曲线两反相振动的振动曲线振动系统本身性质振动系统本身性质初始条件初始条件 2 3 一质点作简谐振动，振动方程为x=Acos(t+)，当时间t=T/2（T
13、为周期）时，质点的速度为 (A)-A sin (B)A sin (C)-A cos (D)A cos B)22cos(tTA)32cos(tTAs2.1scm/9.20)cos(tAxxOAtMP 可见，旋转矢量的长度可见，旋转矢量的长度A、角速度角速度 和和t=0时与时与x轴轴的夹角的夹角 分别代表投影点分别代表投影点简简谐振动的三个特征量：振幅、谐振动的三个特征量：振幅、角频率和初相位角频率和初相位.如图，一长度为如图，一长度为A的矢量的矢量 绕其始端绕其始端O以恒角速度以恒角速度A沿逆时针方向转动，其矢端沿逆时针方向转动，其矢端M在在Ox轴上的投影点轴上的投影点P将以将以O为平衡位置做为
14、平衡位置做简谐振动简谐振动.任一时刻旋转矢量与任一时刻旋转矢量与x轴的夹角轴的夹角 为投影点简谐为投影点简谐振动的相位振动的相位.规定规定 沿逆时针方向转动，则相位沿逆时针方向转动，则相位tAt便唯一确定了投影点作简谐振动在时刻便唯一确定了投影点作简谐振动在时刻t的运动状态的运动状态.所以，作匀速转动的矢量，所以，作匀速转动的矢量，其矢端在过其始端的其矢端在过其始端的直线直线(x轴轴)上的投影的运动就是上的投影的运动就是简谐振动简谐振动.A简谐振动简谐振动旋转矢量旋转矢量t+T振幅振幅初相初相相位相位圆频率圆频率谐振动周期谐振动周期半径长半径长初始角坐标初始角坐标角坐标角坐标角速度角速度旋转周
15、期旋转周期如图为旋转矢量法如图为旋转矢量法AM t)cos(0tAxPM0Ox0A自自Ox轴的原点轴的原点O作一矢量，作一矢量，使其模等于振幅使其模等于振幅A，使使A绕点绕点O作逆时针的匀角速转动作逆时针的匀角速转动。看矢量看矢量A的矢端的矢端M0 t00,Mtt 0,tM矢量矢量A在在Ox轴上投影轴上投影)cos(0 tAx恰是沿恰是沿Ox轴作简谐运动的物体在轴作简谐运动的物体在t时刻相对于原点时刻相对于原点O的位移。的位移。因此，旋转矢量因此，旋转矢量A的矢端的矢端M在在Ox轴上的投影点轴上的投影点P的运的运动，可表示物体在动，可表示物体在Ox轴上的简谐运动。矢量轴上的简谐运动。矢量A以角
16、以角速度速度 旋转一周，相当于物体在旋转一周，相当于物体在x轴上作一次完全振轴上作一次完全振动。动。txoxA t+旋转矢量法旋转矢量法与与振振动曲线法动曲线法相对照相对照旋转矢量本身并不作简谐运动，而是利旋转矢量本身并不作简谐运动，而是利用矢量端点在用矢量端点在Ox轴上的投影点的运动，轴上的投影点的运动，来形象地展示简谐运动的规律。来形象地展示简谐运动的规律。注意：注意：x轴正方轴正方向竖直向上。向竖直向上。利用旋转矢量法，可以很容易地表示两个简利用旋转矢量法，可以很容易地表示两个简谐振动的位相差，即两个旋转矢量之间的夹角。谐振动的位相差，即两个旋转矢量之间的夹角。矢量在参考圆上的不同位置代
17、表了质点的不矢量在参考圆上的不同位置代表了质点的不同振动状态同振动状态。例：例：一物体沿一物体沿X X作谐振动振幅作谐振动振幅A=20cm,A=20cm,周期周期T=4s,t=0T=4s,t=0时物体的位移为时物体的位移为-10-10cmcm且向且向 X X轴轴负向运动。负向运动。求：（求：（1 1）t=1s t=1s 时物体的位移；时物体的位移；（2 2）何时物体第一次运动到）何时物体第一次运动到x=10cmx=10cm处；处；（3 3）再经多少时间物体第）再经多少时间物体第二次运动到二次运动到x=10cmx=10cm处；处；2A 0 0 X XO O解：解：如图，如图，320 )322co
18、s(2.0 tx)(.)cos(.mx173032220 2A 0 0 X XO O322A （1 1）t=1s t=1s 时物体的位移；时物体的位移；（2 2）何时物体第一次运动到）何时物体第一次运动到x=10cmx=10cm处；处；（3 3）再经多少时间物体第二次运动到）再经多少时间物体第二次运动到x=10cmx=10cm处；处；)322cos(2.0 tx)322cos(2.0 tx)(342/32st st22 X XO O试用旋转矢量法求这两个谐振动的初相差。试用旋转矢量法求这两个谐振动的初相差。以及两个质点第一次通过平衡位置的时刻。以及两个质点第一次通过平衡位置的时刻。解：解：设两
19、质点的谐振动方程分别为设两质点的谐振动方程分别为 1010A A1 1 2020A A2 2)2cos()2cos(202101 tTAxtTAx410 20430 两质点沿两质点沿X X轴作同方向轴作同方向,同振幅同振幅A A振动振动.其周其周期为期为5 5s,s,当当t=0t=0时时,质点质点1 1 在在 处向处向X X轴负方轴负方向运动向运动,而质点而质点2 2在在-A A处，处，A22例：例：质点质点1 1第一次经过平衡位置的时刻第一次经过平衡位置的时刻质点质点2 2第一次经过平衡位置的时刻第一次经过平衡位置的时刻8581 Tt4542 Tt4)/2(tTtX XO O 1010A A
20、1 1 2020A A2 2:已知已知简谐振动曲线简谐振动曲线x t,试写出此试写出此振动的运动方程振动的运动方程 解解：由图可以看出由图可以看出00cos Ax sT23137 mA1.0 T 221cos0 0sin00 Av)cos(.3210 tx 320 由题意由题意(解析法解析法)1srad22 0 32 otx-0.050.13137此题也可用此题也可用旋转矢量法旋转矢量法求解。求解。解解：由图可以看出由图可以看出mA1.0)cos(.3210 tx 320 otx-0.050.13137 2A 0 xO预习要点预习要点注意两个同方向同频率简谐振动的合振动规律注意两个同方向同频率
21、简谐振动的合振动规律.分分振动之间的相位差与合振动振幅有什么关系？振动之间的相位差与合振动振幅有什么关系？1.了解两个互相垂直的简谐振动的合成了解两个互相垂直的简谐振动的合成.11A1xxO21xxx22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAxAx2x2A2 两个两个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成后仍为简谐运动后仍为简谐运动，角速度不变角速度不变.1.当当212k时时,)210(,k21AAA合振动振幅合振动振幅最大最大.oxt2.当当1212）（k时时,),2,1,0
22、(k|A|AA21合振动振幅合振动振幅最小最小.oxt3.3.一般情况一般情况2121AAAAA一般情况一般情况为其它任意值，则：为其它任意值，则：)(2121AAAAA 上述结果说明上述结果说明两个振动的相位差两个振动的相位差对合振动起着对合振动起着重要作用。重要作用。合成振动合成振动t2TT23T2Txo)cos(.)cos(.5110060531005021 txtx例例 已知两个同方向振动分别为：已知两个同方向振动分别为：(1)求合振动的振幅和初相位；求合振动的振幅和初相位；31xx 32xx (2)另有一同方向的振动另有一同方向的振动 ，问问 为何值时为何值时 的振幅为最大？的振幅为
23、最大？为何值时，为何值时，的振幅最小？的振幅最小？)cos(.tx100703m1092.8)5153cos(06.005.0206.005.0cosAA2AAA222212221 12211221111368)5023.2(tgcosAcosAsinAsinAtg 解解(1)cos(.)cos(.5110060531005021 txtxm12.0AAA31 m01.0AAA32 )0k(5353k2 )0k(565)1k2()12(2 当当 时，时，与与 合成合成振幅最小。振幅最小。2x3x (2)当当 时，时，与与 合成振幅最大。合成振幅最大。1x3x k21x1A3AAo5/33Aox
24、2AA56 例例 两条谐振动的曲线如图所示，两条谐振动的曲线如图所示，求合振动方程。求合振动方程。解解 由谐振动曲线可写由谐振动曲线可写出两个分振动方程：出两个分振动方程：cm)t2cos(5xcm)2t2cos(35x21 由图知，由图知，2t(s)x(cm)-05535I-0.5 343今用今用旋转矢量法旋转矢量法来求合振动：来求合振动：cm10AAA2221 合振幅合振幅合振动的初相位由图可见合振动的初相位由图可见：cmtx)342cos(10cmA52 cmA351Ax221AA )22cos(21 tTAA)cos(11tAx)cos(22tAy两式消去两式消去t，合振动合振动分振动分振动)(sin)cos(212221122221AAxyAyAx为为椭圆椭圆轨迹方程，顺时针运行轨迹方程，顺时针运行.xAAy12为直线方程为直线方程.讨论讨论1.21同相位同相位2.2/1212221AyAx为标准椭圆方程，逆时针运行为标准椭圆方程，逆时针运行.yx1A2AOxy1A2AO3.|12反相位反相位xAAy12xy1A2AO4.2/31212221AyAx为标准椭圆方程，逆时针运行为标准椭圆方程，逆时针运行.xy1A2AO为直线方程为直线方程.
