1、4.1 4.1 函数和它的表示法函数和它的表示法4.1.1 4.1.1 变量与函数变量与函数观察思考：观察思考：1 1.这一天中，这一天中，4 4时的气温是时的气温是 ，1414时的气温是时的气温是_.2.随着随着 的变化而变化。（气温、时间）的变化而变化。（气温、时间）1020气温气温时间时间动脑筋动脑筋1.图图4-1是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线，是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线，它反映了该地某一天的气温它反映了该地某一天的气温T（）是如何随时间是如何随时间t的变化而变化的，的变化而变化的，你能从图中得到哪些信息？你能从图中得到哪些信息？3.当时间当时
2、间t取定一个值时，温度取定一个值时，温度T有有 （唯一或不唯一）的值（唯一或不唯一）的值与它对应。与它对应。唯一唯一4-1边长边长x1234567.面积面积S.观察思考：观察思考：1.正方形的边长越正方形的边长越 ，面积就越大。，面积就越大。1491625362 2.当正方形的边长当正方形的边长x分别取分别取1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，.时，时，正方形的面积正方形的面积S分别是多少？试填写下表。分别是多少？试填写下表。492.当边长当边长x取定一个值时，面积取定一个值时，面积S有有 （唯一（唯一或不唯一）的值与它对应。或不唯一）的值与它对应。唯一唯一长长3.说明在这一过程中，随着边
3、长说明在这一过程中，随着边长x的变化，相应的变化，相应 的面的面积积S也随之也随之 .变化变化4.在这一过程中，面积在这一过程中，面积s与边长与边长x 之间满足的关系之间满足的关系式是式是 .S=x23.某城市居民用的天然气，某城市居民用的天然气，1m3收费收费2.88元，使用元，使用 x(m3)天然气应缴纳的费用天然气应缴纳的费用y(元元)为为 y=2.88 x 当当x=10时，缴纳的费用为多少？时，缴纳的费用为多少？思考：思考：1._ 随着随着_ 的变化而变化的变化而变化;2.当当x=10时，时，y=（元）；（元）；当当x=20时，时，y=_（元）（元）28.857.6使用天然气缴纳的费用
4、使用天然气缴纳的费用所用天然气的体积所用天然气的体积3.当所用天然气的体积当所用天然气的体积x取定一个值时，使用天然气缴取定一个值时，使用天然气缴纳的费用纳的费用y有有 （唯一或不唯一）的值与它对应。（唯一或不唯一）的值与它对应。唯一唯一 在某一变化过程中，取值会在某一变化过程中，取值会发生变化发生变化的量称的量称为为变量变量，取值，取值固定不变固定不变的量称为的量称为常量常量（或（或常数常数）.结论结论问题问题1：问题问题2：边长边长x1234567.面积S14916253649.问题问题3：某城市居民用的天然气，：某城市居民用的天然气，1 m3 收费收费2.88元，使用元，使用x（m3）天
5、）天 然气应缴纳的费用然气应缴纳的费用y（元）为（元）为 y=2.88 x.上述问题中：上述问题中：变量有：变量有：常量有：常量有：时间时间t，气温气温T，正方形的边长正方形的边长x，面积面积S使用天然气的体积使用天然气的体积x，应缴纳的费用应缴纳的费用y使用每一方米天然气应交纳使用每一方米天然气应交纳2.88元，元，2.88是是常量常量.2.圆柱的底面半径圆柱的底面半径r不变，圆柱的体积不变，圆柱的体积V与圆柱的高度与圆柱的高度h的关的关系式系式 是是V=r2h；指出下列关系式中的变量与常量。指出下列关系式中的变量与常量。1.球的表面积球的表面积S与球的半径与球的半径r的关系式是的关系式是S
6、=4r2；3.以固定的速度以固定的速度v0向上抛一个小球，小球的高度向上抛一个小球，小球的高度h与小球运与小球运动时间动时间t 的关系式是的关系式是h=v0-4.9t2；随堂练习随堂练习变量变量:S,r;常量常量:4,。变量变量:V,h;常量常量:,r 变量变量:h,t;常量常量:v0,-4.9。根据以上根据以上3 3个问题思考个问题思考 ：（请同学们分组交流）：（请同学们分组交流）（1 1）以上每个变化过程中都有几个变量？）以上每个变化过程中都有几个变量？（2 2）变量之间是怎样在变化的？）变量之间是怎样在变化的？（3 3）给其中一个变量取定一个值，另一个变量有几个值与之相对应？）给其中一个
7、变量取定一个值，另一个变量有几个值与之相对应？问题问题1：问题问题2：边长边长x1234567.面积S14916253649.问题问题3：某城市居民用的天然气，：某城市居民用的天然气，1 m3 收费收费2.88元，使用元，使用x（m3）天然气应缴纳的费用天然气应缴纳的费用y（元）为（元）为y=2.88 x.探究探究两个变量两个变量一个变量随另一个变量的变化而变化一个变量随另一个变量的变化而变化有唯一的一个值与它对应有唯一的一个值与它对应 一般地一般地,在一个变化过程当中有两个变量，例如在一个变化过程当中有两个变量，例如x和和y，对于对于x的每一个值的每一个值,y都有都有唯一唯一的一个值与它的一
8、个值与它对应对应,我们就说我们就说x是自变量，是自变量，y是因变量，此时是因变量，此时y是是x的的函数函数，记作，记作y=f(x)。注意：注意：1.函数研究的对象是：两个变量之间的对应关系。函数研究的对象是：两个变量之间的对应关系。3.自变量是先改变的量，随之改变的量是因变量自变量是先改变的量，随之改变的量是因变量，自变量与因变量，自变量与因变量 也是相对的。也是相对的。2.两个变量之间的对应关系是指：变量两个变量之间的对应关系是指：变量x取每一个值，变量取每一个值，变量y都有都有 唯一的一个值（存在并且唯一）与它相对应。唯一的一个值（存在并且唯一）与它相对应。1.每个同学购书一本，每本单价每
9、个同学购书一本，每本单价2元，则购书总金额元，则购书总金额y(元元)与学生与学生n(个个)之间的函数关系式为之间的函数关系式为 。y=2n2.y比比x的两倍还多的两倍还多1，则，则y关于关于x的函数关系式的函数关系式为为 。y=2x+1 5x-y=1 xy=3(x+1)y=2 x=y2y=5x+1y=x3y=12xy=x例例1.写出下列函数关系式：写出下列函数关系式：例例2.请把下列式子表示成请把下列式子表示成y关于关于x的函数：的函数：思考：这些函数中思考：这些函数中的自变量的自变量x的取值的取值有要求吗？有要求吗？对于函数y=来说，自变量x取任意实数都有对应的因变量y吗？若没有，则此函数中
10、自变量x的取值范围应为 。x3x0例例3.请请指出下列函数中自变量指出下列函数中自变量x的取值范的取值范围。围。y=5x+1y=y=12xxx可取任意实数x-1x0自变量自变量X的取值范围应该的取值范围应该如何确定？分类进行讨论如何确定？分类进行讨论问题问题1：问题问题2：边长边长x1234567.面积S14916253649.问题问题3：某城市居民用的天然气，：某城市居民用的天然气，1 m3 收费收费2.88元，使用元，使用x（m3）天）天 然气应缴纳的费用然气应缴纳的费用y（元）为（元）为 y=2.88 x注意：在实际问题中，自变量的取值还要使实际问题有意义。注意：在实际问题中，自变量的取
11、值还要使实际问题有意义。说出下列实际问题中自变量的取值范围：说出下列实际问题中自变量的取值范围：（0t24）（x0）（x0）结论结论自变量的自变量的取值范围取值范围2.2.使实际问题有意义使实际问题有意义1.1.使表达式有意义使表达式有意义(1)当表达式为整式时，自当表达式为整式时，自变量应取一切实数；变量应取一切实数；(2)当表达式中含有分母当表达式中含有分母时，自变量应满足分母不时，自变量应满足分母不为零；为零；(3)当表达式是某代数式当表达式是某代数式的偶次方根时，自变量应的偶次方根时，自变量应满足被开方数为非负数；满足被开方数为非负数；(4)当表达式为上述几种形当表达式为上述几种形式组
12、合而成时，应首先求式组合而成时，应首先求出式子各部分中自变量的出式子各部分中自变量的取值范围，然后求出它们取值范围，然后求出它们解集的公共部分；解集的公共部分；做一做做一做求下列函数表达式中自变量求下列函数表达式中自变量x的取值范围：的取值范围：;325)5(;321)4(;32)3(;13)2(;12)1(xxyxyxyxyxy解解:（1）圆柱的体积圆柱的体积 ，自变量，自变量r的取值范围的取值范围 是是r 0.Vr 24（2）当当r=5时，时，；当当r=10 时，时，.V3425100(cm)V34100400(cm)图图4-2例例4.如图如图4-2，已知圆柱的高是，已知圆柱的高是4cm，
13、底面半径是，底面半径是r（cm），当圆当圆柱的底面半径柱的底面半径r由小变大时，圆柱的体积由小变大时，圆柱的体积V（）是是r的函数的函数.（1）用含）用含r 的代数式来表示圆柱的体积的代数式来表示圆柱的体积V，指出自变量，指出自变量r 的取值的取值范围范围.（2）当）当r=5，10时，时，V是多少是多少（结果保留结果保留）？3cm举举例例1.指出下列变化过程中，哪个变量随着另一个变量指出下列变化过程中，哪个变量随着另一个变量的变化而的变化而变化？变化？（1）一辆汽车以）一辆汽车以80 km/h 的速度匀速行驶，行驶的路程的速度匀速行驶，行驶的路程s（km）与行驶时间与行驶时间t（h）；（2）圆
14、的半径）圆的半径r和圆面积和圆面积S满足：满足：（3）银行的存款利率）银行的存款利率P与存期与存期t.2Sr；解：（解：（1）路程）路程s（km）随行驶时间随行驶时间t（h）的变化而变化，的变化而变化，因此，因此，路程是时间的函数路程是时间的函数。练习练习（3）银行的存款利率）银行的存款利率P随存期随存期t的变化而变化，的变化而变化，因此，存款利率是存期的函数因此，存款利率是存期的函数。（2）圆面积）圆面积S随圆的半径随圆的半径r的变化而变化，的变化而变化，因此，因此，圆面积是半径的函数圆面积是半径的函数。2.如图，如图，A港口某天受潮汐的影响，港口某天受潮汐的影响，24小时内港小时内港 口水
15、深口水深h（m）随时间随时间t（时时）的变化而变化的变化而变化.（1）水深水深h是时间是时间t的函数吗？的函数吗？答：是答：是.（2）当当t分别取分别取4，10，17时，时，h是多少？是多少？答：答：当当t=4时，时，h=5；当当t=10时，时，h=7；当当t=17时，时，h=5.归纳小结：归纳小结：函数的定义函数的定义 什么叫常量，什么叫变量？自变量与因变量呢？什么叫常量，什么叫变量？自变量与因变量呢？自变量的取值范围如何确定？自变量的取值范围如何确定？作业：课本作业：课本p116 A组组1.2题题1.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量与所挂物体的质量x(kg)有如下关系：有如下关系：x kg 0123.y cm1212.51313.5.(1)请写出弹簧总长请写出弹簧总长y（cm）与所挂物体的质量）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式；之间的函数关系式；(2)当当x=0时，时，y的值是多少？它的实际意义是什么？的值是多少？它的实际意义是什么？(3)当挂物重当挂物重10kg时，弹簧的总长是多少？时，弹簧的总长是多少？解解:（1）y=12+0.5x；（2）y=12，它的实际意义是没有挂物体；它的实际意义是没有挂物体；（3）当）当x=10时，时，y=12+0.5x=12+0.510=17（cm）
