1、 小波分析是当前数学中一个迅速发展的小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域新领域,它也是一种积分变换它也是一种积分变换,是一个时间和是一个时间和频率的局域变换，因而能有效地从信号中提频率的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析或信号进行多尺度细化分析,解决了解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题变换不能解决的许多困难问题.本章简单介绍本章简单介绍小波变换的基本理论和应用小波变换的基本理论和应用.本章将本章将Fourier变换记为变换记为()()(),fFf t F FR表示实数表示实数,Z表
2、示整数表示整数,N表示正整数表示正整数.1()()()dL Rf tf tt 表示绝对可积函数构成的空间表示绝对可积函数构成的空间,22()()()dL Rf tf tt 表示平方绝对可积函数构成的空间表示平方绝对可积函数构成的空间,对对 2,(),f gL R,()()df gf t g tt 表示空间表示空间 中的内积中的内积,是是 的共轭的共轭.2()L R()g t()g t4.1 4.1 小波变换的背景小波变换的背景自从自从1822年年Fourier发表发表热传导解析理论热传导解析理论以来，以来，Fourier变换一直是在信号处理等工程应用变换一直是在信号处理等工程应用领域中得到广泛
3、使用且极其有效的一种分析手段领域中得到广泛使用且极其有效的一种分析手段 Fourier变换和逆变换将研究的内容从时域变换到变换和逆变换将研究的内容从时域变换到频域频域,也就是从一个空间变换到另一个空间也就是从一个空间变换到另一个空间,这种这种研究思想和方法是重大的创新研究思想和方法是重大的创新.如果把如果把 f(t)理解为信号的描述理解为信号的描述,Fourier变换和变换和逆变换的表达式逆变换的表达式()()d,i tff t ettR 1()()d,2i tf tfeR 说明说明,信号的信号的 Fourier 变换能给出信号的频率特性变换能给出信号的频率特性,即其频谱分析即其频谱分析.由于
4、由于Fourier变换和逆变换具有很好变换和逆变换具有很好 的对称性的对称性,使得信号的重构很容易进行使得信号的重构很容易进行.特别是后来特别是后来 离散离散Fourier变换变换(DFT)的发展的发展,以及以及 1965 年提出的年提出的快速快速Fourier变换变换(FFT)与计算机技术相结合与计算机技术相结合,使使 得得Fourier变换的应用更加广泛和有效变换的应用更加广泛和有效,在科学技在科学技 术的各个领域发挥过重要作用术的各个领域发挥过重要作用.但是但是Fourier变换仅适用于确定性的平稳信号变换仅适用于确定性的平稳信号.从定义可以看出从定义可以看出,为了应用为了应用Fouri
5、er变换去研究一个变换去研究一个 信号的频谱特性信号的频谱特性,必须获得在整个时域必须获得在整个时域 t 中信号的全部信息中信号的全部信息.由于由于 即即Fourier变换变换 1,i te 的积分核在任何情形下的模都是的积分核在任何情形下的模都是1,所以信号所以信号f(t)的的 频谱频谱 的任一频点值都是由的任一频点值都是由 f(t)在整个时间域在整个时间域 ()f 上的贡献决定的上的贡献决定的;反之反之,信号信号f(t)在任一时刻的状态在任一时刻的状态也是由频谱也是由频谱 在整个频域在整个频域 上的贡献上的贡献 ()f 决定的决定的.所以在时域中所以在时域中Fourier变换没有任何分辨能
6、变换没有任何分辨能力力,通过有限频段上的通过有限频段上的 不能获得信号不能获得信号f(t)在任何在任何 ()f 有限时间间隔内的频率信息有限时间间隔内的频率信息.因为一个信号在某个时因为一个信号在某个时刻的一个小的邻域中发生了变化刻的一个小的邻域中发生了变化,那么整个频域都要那么整个频域都要 受到影响受到影响.这就是说这就是说,Fourier变换在时域没有局域特变换在时域没有局域特性性.同样地分析可见同样地分析可见,在频域上在频域上Fourier变换也没有局变换也没有局域特性域特性 为研究信号在局部时间范围的频域特征为研究信号在局部时间范围的频域特征,1946年年Gabor提出了著名的提出了著
7、名的Gabor变换变换,之后又进一步发之后又进一步发展为窗口展为窗口Fourier变换变换,也称短时也称短时Fourier变换变换(STFT).STFT弥补了弥补了Fourier变换的一些不足变换的一些不足,已在许多领域已在许多领域获得了广泛的应用获得了广泛的应用.但是但是,由于由于STFT的时的时-频窗口大频窗口大小和形状固定小和形状固定,与时间和频率无关，所以并没有很好与时间和频率无关，所以并没有很好地解决时频局部化问题地解决时频局部化问题,这对于分析时变信号来说这对于分析时变信号来说是不利的是不利的.高频信号一般持续时间很短高频信号一般持续时间很短,而低频信号而低频信号持续时间较长持续时
8、间较长,因此因此,我们期望对于高频信号采用小我们期望对于高频信号采用小时间窗时间窗,对于低频信号则采用大时间窗进行分析对于低频信号则采用大时间窗进行分析 在进行信号分析时，这种变时间窗的要求同在进行信号分析时，这种变时间窗的要求同STFT 固定时窗的特性是矛盾的固定时窗的特性是矛盾的,STFT无法满足无法满足这种需要此外，在进行数值计算时，人们希望这种需要此外，在进行数值计算时，人们希望将基函数离散化，以节约计算时间及存储量但将基函数离散化，以节约计算时间及存储量但Gabor基无论怎样离散，都不能构成一组正交基，基无论怎样离散，都不能构成一组正交基，因而给数值计算带来了不便因而给数值计算带来了
9、不便 小波变换的思想来源于伸缩与平移方法小波变换的思想来源于伸缩与平移方法,在小在小波变换的系统理论发展起来以前波变换的系统理论发展起来以前,其基本思想已经其基本思想已经在许多领域的应用中有所体现在许多领域的应用中有所体现 在在1910年年Haar提出的规范正交基应该是小波分提出的规范正交基应该是小波分析的最早萌芽析的最早萌芽.1938年年,Littlewood-Paley 对对 Fourier级数按二进制频率成分进行分组级数按二进制频率成分进行分组.1965年年,Galderon发现再生公式发现再生公式,它的离散形式已接近小波展开它的离散形式已接近小波展开.1981年，年，Stormberg
10、对对Haar系进行了改进系进行了改进,证明了小波函证明了小波函数的存在性小波概念的真正出现应该是在数的存在性小波概念的真正出现应该是在1984年年,当时法国地球物理学家当时法国地球物理学家Morlet在分析地震数据时提在分析地震数据时提出将地震波按一个确定函数的伸缩平移系展开出将地震波按一个确定函数的伸缩平移系展开.然然后数学家后数学家Meyer对对Morlet提出的方法进行系统研究提出的方法进行系统研究,并与其他一些人的工作联合奠定了小波分析的基础并与其他一些人的工作联合奠定了小波分析的基础.小波变换克服了小波变换克服了Fourier变换和窗口变换和窗口Fourier变变换的缺点换的缺点,在
11、时域和频域同时具有良好的局域化性在时域和频域同时具有良好的局域化性质质,被誉为被誉为“数学显微镜数学显微镜”.1987年年,法国数学家法国数学家Mallat与与Meyer合作合作,将计将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中析中,提出了多分辨分析的概念提出了多分辨分析的概念,统一了在此之前的统一了在此之前的所有具体正交小波基的构造所有具体正交小波基的构造,并且提出相应的分解并且提出相应的分解与重构快速算法与重构快速算法.随后随后Mallat将多分辨分析用于图将多分辨分析用于图象处理象处理,取得了巨大成功取得了巨大成功.小波变换是泛函分析、
12、调和分析和数值分析小波变换是泛函分析、调和分析和数值分析等数学分支发展的综合结晶，作为一种数学理论等数学分支发展的综合结晶，作为一种数学理论和方法在科学技术领域引起了越来越多的关注和和方法在科学技术领域引起了越来越多的关注和重视重视.小波分析的应用是与小波分析的理论研究小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的紧密地结合在一起的.对于处理性质随时间稳定不对于处理性质随时间稳定不变的信号变的信号,理想工具仍然是理想工具仍然是Fourier分析分析.但是在实但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的际应用中的绝大多数信号是非稳定的,而特别适用而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析于非稳
13、定信号的工具就是小波分析.小波分析的应小波分析的应用领域十分广泛，包括信号分析和图象处理、语音用领域十分广泛，包括信号分析和图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断等方面识别与合成、医学成像与诊断等方面.4.2 4.2 窗口窗口Fourier变换简介变换简介 窗口窗口Fourier变换是在变换是在 Fourier 变换的框架内变换的框架内,将非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加将非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加,通过在时域上加上窗口来实现短时性通过在时域上加上窗口来实现短时性.通常选择在通常选择在有限区间外恒等于零或迅速趋于零的钟形函数有限区间外恒等于零或迅速趋于零的钟形函数g(t
14、)作为窗函数作为窗函数,用平移滑动的窗函数用平移滑动的窗函数g(t-t t)与信号与信号f(t)相乘相乘,有效地抑制了有效地抑制了t=t t 邻域以外的信号邻域以外的信号,在在t t 附近附近开窗开窗,通过平移来覆盖整个时间域通过平移来覆盖整个时间域.再进行再进行Fourier变换变换,所得的结果反映了所得的结果反映了t=t t 时刻附近的频谱信息时刻附近的频谱信息,从而产生了时域局部化的作用从而产生了时域局部化的作用.定义定义4.1 设函数设函数 122()(),(),gL RL RtgL R 则称则称 的的Fourier变换变换 ()()f t g tt t()()di tf t g te
15、t t t 为为f(t)的的窗口窗口Fourier变换变换,也称也称f(t)的的Gabor变换变换,记记为为 其中其中g(t)称为称为时窗函数时窗函数.(,),fG t t以下总是取时窗函数以下总是取时窗函数g(t)满足满足+2-()d1.g tt 根据根据Fourier变换的反演公式变换的反演公式,有有 1()()(,)d,2i tff t g tGe t t t t 于是于是 21()()(,)()d,2i tff tg tGeg t t ttt tt 从而从而 +2-()()df tg ttttt +-1d(,)()d.2i tfGeg t t ttt tt 因为因为 +22-()d()
16、d1,g tg ttttttt所以所以+-1()d(,)()d,2i tff tGeg t t ttt tt 这就是这就是窗口窗口Fourier变换的反演公式变换的反演公式.定义定义4.2 设设g(t)是时窗函数是时窗函数,称称 +2*-()dtt g tt 为为时窗中心时窗中心,称称 1+22*2-()()dtttg tt 为为时窗半径时窗半径.于是时窗函数于是时窗函数g(t)的窗口为的窗口为 窗口窗口 *,tt tt 的宽度为的宽度为2 t.下面讨论时窗函数下面讨论时窗函数g(t-t t)的时窗中心的时窗中心*tt t和时窗半径和时窗半径.tt t+22*-()d()()dtt g ttu
17、g uut ttttt+22*-()d()d,u g uug uuttttt 1+22*2-()()dtttg ttttttt t 1+22*2-()()dutg uut tt t 1+22*2-()()d.utg uut 由此可见由此可见,时窗中心在平移时窗中心在平移,而时窗半径不变而时窗半径不变.定义定义4.3 设设g(t)是时窗函数是时窗函数,称称 ()()gG 为为频窗函数频窗函数,并且称并且称+2*-+2-()d()dGG 是是频窗中心频窗中心,称称1+22*2-+2-()()d()dGG 是是频窗半径频窗半径.当频窗函数是当频窗函数是 时时,类似地可以推导出类似地可以推导出()G
18、相应的频窗中心和频窗半径为相应的频窗中心和频窗半径为 *,.因此频窗中心在平移因此频窗中心在平移,频窗半径不变频窗半径不变.在时在时-频坐标系中频坐标系中,时窗时窗和频窗共同作用形成时和频窗共同作用形成时-频频窗窗,右图是通过时右图是通过时-频窗进行频窗进行 时时-频局部化的几何直观描述频局部化的几何直观描述.窗口窗口Fourier变换把时域上的信号变换把时域上的信号f(t)映射到映射到时时-频域平面频域平面 中的一个二维函数中的一个二维函数(,)t t(,).fG t t一个常用的窗口函数是一个常用的窗口函数是Gauss函数函数 24()(,0),2tabg tea ba 其中其中a,b使得
19、使得 +2-()d1.g tt 易见时窗中心易见时窗中心 并且时窗半径并且时窗半径 +2*-()d0,tt g tt 1+22*2-()()d.tttg tta 相应的频窗函数相应的频窗函数 因此可以计因此可以计2()(),aGgbe 算出频窗中心算出频窗中心 频窗半径频窗半径 所以时所以时 *0,1.2 a-频窗面积为频窗面积为 222.t Heisenberg测不准原理测不准原理:存在常数存在常数C 0,使得使得 ,tC 称为窗口称为窗口Fourier 变换的变换的Heisenberg不等式不等式.Heisenberg不等式表明窗口不等式表明窗口Fourier变换的时变换的时窗半径和频窗半
20、径窗半径和频窗半径,一个减小必然引起另一个的一个减小必然引起另一个的增大增大,不能同时减小不能同时减小.窗口窗口Fourier变换的窗函数选定以后变换的窗函数选定以后,其时其时-频频窗就固定不变了窗就固定不变了,这样就限制了窗口这样就限制了窗口Fourier变换变换的实际应用的实际应用.为了提取高频分量的信息为了提取高频分量的信息,时窗应该时窗应该尽量地窄尽量地窄,而允许频窗适当地宽而允许频窗适当地宽;对于低频分量对于低频分量,时窗则应适当加宽时窗则应适当加宽,以保证至少能包含一个周期的以保证至少能包含一个周期的过程过程,频窗应当尽量缩小频窗应当尽量缩小,保证有较高的频率分辨率保证有较高的频率
21、分辨率.4.3 4.3 连续小波连续小波变换变换虽然窗口虽然窗口Fourier变换已经具备了平移的功能变换已经具备了平移的功能,但是但是 的变化不改变窗口的大小与形状的变化不改变窗口的大小与形状,不具备伸不具备伸缩性缩性.通过引进使时间变量可变的参数到窗口函数通过引进使时间变量可变的参数到窗口函数之中之中,代替代替Fourier变换中不衰减的正交基变换中不衰减的正交基 从从 ,i te 而创立了小波变换而创立了小波变换.定义定义4.4 设设 满足条件满足条件 21()(),L RL R 2()d,C 则称则称 为为基本小波基本小波或或小波母函数小波母函数.称称()t,1()(,0)a btbt
22、a bR aaa 为由基本小波为由基本小波 生成的生成的连续小波连续小波或或小波基函数小波基函数,()t 其中其中a和和b为参数为参数,分别是伸缩因子和平移因子分别是伸缩因子和平移因子.连续小波连续小波 的作用与窗口的作用与窗口Fourier变换中变换中,()a bt 的的 作用类似作用类似,其中其中b与与t t 一样都起着时一样都起着时()i tg te t t 间平移的作用间平移的作用,而而a在连续小波变换中是一个尺度在连续小波变换中是一个尺度参数参数,它既能改变窗口的大小与形状它既能改变窗口的大小与形状,同时也能改同时也能改变连续小波的频谱结构变连续小波的频谱结构.常用的基本小波常用的基
23、本小波:Haar小波小波 1,01/2()1,1/210,ttt 其其他他Morlet小波小波 2020(),5.titteet 墨西哥草帽小波墨西哥草帽小波(Marr小波小波)2221()1,.2tttet 定义定义4.5 设设 为由基本小波为由基本小波 生成的连生成的连,a b()t 续小波续小波.对对 称称 2(),fL R ,1(,),()da btbW fa bff ttaa 为为f(t)的的连续小波变换连续小波变换.连续小波变换具有如下一些连续小波变换具有如下一些主要性质主要性质.(1)线性性质线性性质 设设 k1,k2是任意常数是任意常数,则则 2,(),f gL R 1212(
24、)(,)(,)(,).Wk fk ga bk W fa bkW ga b(2)平移性质平移性质设设 则则 2(),fL R 00()(,)()(,).W f tta bW f ta bt(3)尺度法则尺度法则 设设 则则 2(),fL R 1()(,)()(,),0.W fta bW f tab 与窗口与窗口Fourier变换类似变换类似,在小波变换中在小波变换中,也可也可称称 是窗函数是窗函数,小波变换的时小波变换的时-频窗表现了小频窗表现了小,()a bt 波变换的时波变换的时-频局部化能力频局部化能力.设设 是小波函是小波函2()L R 数数,时窗中心时窗中心 时窗半径时窗半径 频窗中心
25、频窗中心 和和频窗频窗*,t,t*半径半径 分别为分别为 +2,*-+2,-()d,()da ba btttttt 1+22*2,-+2,-()()d,()da ba bttttttt +2,*-+2,-()d,()da ba b 1+22*2,-+2,-()()d.()da ba b 小波变换中的窗函数小波变换中的窗函数 是由是由 的平移和的平移和,()a bt()t 缩放得来的缩放得来的,分别记对应于分别记对应于 的有关量为的有关量为:时窗时窗 ,()a bt 中心中心 时窗半径时窗半径 频窗中心频窗中心 频窗半径频窗半径 *,t,t *,.*11,.tatbta taa 虽然虽然 的时窗
26、和频窗的时窗和频窗,()a bt 的中心与宽度随着的中心与宽度随着a,b 在变化在变化,但是在时但是在时-频面上频面上,窗口的面积窗口的面积不变不变,这是因为这是因为 1222222.ta tta定理定理4.1 设设 为基本小波为基本小波,则有则有()t 2(),fL R 连续小波变换的反演公式连续小波变换的反演公式 2111()d(,)d.tbf tbW fa baCaaa 4.4 4.4 二进小波变换和离散小波变换二进小波变换和离散小波变换 在数字计算中在数字计算中,要把连续小波及其变换离散化要把连续小波及其变换离散化.一般对小波变换进行二进制离散一般对小波变换进行二进制离散,即取即取a为
27、离散值为离散值 2,0,1,2,jjaj 而而b仍取为连续的值仍取为连续的值.这种离散化的小波和相应的小这种离散化的小波和相应的小波变换叫做二进小波和二进小波变换波变换叫做二进小波和二进小波变换.如果在一定如果在一定条件下条件下,b也取为离散的值也取为离散的值,则得到离散小波和相应则得到离散小波和相应的离散小波变换的离散小波变换.定义定义4.6 设设 为基本小波为基本小波,记记 ()t,0,sRs1().sttss 对对 定义小波变换为定义小波变换为 2(),fL R 1()()()d,ssxtW fxfxf ttss 其中其中s为尺度因子为尺度因子.如果取如果取 则定义则定义4.6中小波变换
28、与中小波变换与 ()(),h tt 中连续小波变换的关系为中连续小波变换的关系为 1()sgn()(,).shW fxs W fs xs 定义定义4.7 设设 为基本小波为基本小波.如果存在常数如果存在常数()t,(0),A BAB 使得使得 2 2,kk ZAB 则称则称 是一个是一个二进小波二进小波.如果如果 是一个二进小是一个二进小()t()t 波波,对对 其在其在x位置和尺度位置和尺度 的小的小 2(),fL R 2()jjZ 波变换为波变换为 22()(),jjWfxfx 称序列称序列 为为二进小波变换二进小波变换.2()jj ZWfWfx 为了得到二进小波变换的反演公式为了得到二进
29、小波变换的反演公式,需要给需要给出下面重构小波的概念出下面重构小波的概念.定义定义4.8 设设 为二进小波为二进小波.如果函数如果函数 ()t 21()(),L RL R 满足满足(2)(2)1,jjj 则称则称 为为重构小波重构小波.()t 对给定的二进小波对给定的二进小波 可以验证满足可以验证满足 (),t 2()()(2)jj 的函数的函数 就是一个对应于就是一个对应于 的的 21()()L RL R ()t 重构小波重构小波,并且并且 211 2,kk ZBA 即即 也是一个二进小波也是一个二进小波.()t 定理定理4.2 设设 为基本小波为基本小波,是一个对应是一个对应 ()t()t
30、 的重构小波的重构小波.对对 则有则有二进小波变换的反二进小波变换的反2(),fL R 演公式演公式 22()().jjjf xW fx 下面考虑下面考虑离散小波变换离散小波变换(DWT).设设 为基本小波为基本小波,在由在由 生生()t 001,0.ab ()t 成的连续小波成的连续小波 ,1()(,0)a btbta bR aaa 中中,取取 可得可得 000,mmaabnb am nZ 2,000(),mmm ntaa tnb 称函数族称函数族 为为离散小波离散小波.,m nm n Z 定义定义4.9 设设 为基本小波为基本小波,为相为相 ()t ,m nm n Z 应的离散小波应的离散
31、小波.对对 离散小波变换离散小波变换定义为定义为 2(),fL R 2,000(D),()d.mmm nm nffaf ta tnbt 4.5 4.5 多分辨分析多分辨分析 首先给出首先给出 空间中的一些几何概念空间中的一些几何概念.2()L R设设 为为 的子集的子集,定义集合定义集合 为为:2()VL R 2()L RV存在存在 使得使得2(),fL R ,nn NfV 2()fVL R 1/22lim()()d0,nnftf tt 称称 是是V 在在 中的闭包中的闭包.V2()L R如果对任意的如果对任意的 以及任意的以及任意的 ,fgV,a bR 都有都有 则称则称V 是是 的子空间的
32、子空间.,afbgV 2()L R设设V 是是 的子空间的子空间.对任意的对任意的 2()L R 2,(),nn NfVfL R 如果如果 1/22lim()()d0,nnftf tt 那么那么 则称则称V 是是 的闭子空间的闭子空间.,fV 2()L R设设V 是是 的子空间的子空间,如果存在如果存在 满足满足2()L R ,nn ZfV (1)即即 是规范的是规范的;1/22()d1,nfttnZ nn Zf(2)内积内积,()()d0,nmnmffft fttn mZ nm 即即 是正交的是正交的;nn Zf(3)存在存在 使得使得 即即 ,fV ,nn ZaR ()(),nnnf ta
33、 ft 1/22,lim()()d0,n mnnk mnkf ta fttk mN 则称则称 是空间是空间V的一个的一个规范正交基规范正交基.nn Zf 定义定义4.10 设设 是空间是空间 中的闭子空中的闭子空jj ZV 2()L R间列间列.如果满足如果满足(1)单调性单调性:1,;jjVVjZ (2)逼近性逼近性:20,();jjj Zj ZVVL R (3)伸缩性伸缩性:1()(2)();jjf tVftVjZ (4)平移不变性平移不变性:()()(,);jjf tVf tnVj nZ (5)Riesz基的存在性基的存在性:存在存在 使得使得 0,V ()n Ztn 是是 的规范正交基
34、的规范正交基,0V则称则称 是空间是空间 中的一个中的一个多分辨分析多分辨分析 jj ZV 2()L R或或多尺度分析多尺度分析,其中其中 称为称为尺度函数尺度函数.多分辨分析的条件多分辨分析的条件(3)伸缩性表明伸缩性表明,闭子空闭子空例如例如 0(2)|()().jjVftf tVjZ jj ZV 间列间列 由其中的任意一个空间完全决定由其中的任意一个空间完全决定.构成构成 的规范正交基的规范正交基,记记jV 2,()22 (,).jjj nttnj nZ 多分辨分析的思想就是先在多分辨分析的思想就是先在 的某个子空的某个子空2()L R间中建立基底间中建立基底,然后利用简单的伸缩与平移变
35、换然后利用简单的伸缩与平移变换,把子空间的基底扩充到把子空间的基底扩充到 中中.2()L R定理定理4.3 设设 是空间是空间 中的一个多中的一个多 jj ZV 2()L R分辨分析分辨分析,为尺度函数为尺度函数,则则 222()jjn ZtnjZ 定理定理4.4 设设 是空间是空间 中的一个多中的一个多 jj ZV 2()L R分辨分析分辨分析,为尺度函数为尺度函数.如果存在如果存在 使使 ,kk ZhZ 得得 并且并且 2,kkh 1(),22kkthtk 对对 定义函数定义函数 为为 1(1),kkkgh ()t 1(),22kktgtk 令令 则则 2,()22(,),jjj nttn
36、j nZ ,j nj n Z 构成构成 的规范正交基的规范正交基.2()L R称定理称定理4.4中的中的 为为正交小波函数正交小波函数,()t ,j nj n Z 为为正交小波基正交小波基.下面给出一个多分辨分析的例子下面给出一个多分辨分析的例子.例例4.1(Haar小波小波)取取 的闭子空间的闭子空间 为为:2()L R0V0fV 2(),fL R 在每一区间在每一区间(n,n+1)上上,f(t)为常数为常数.定义定义(0,1)区间上的特征函数为区间上的特征函数为 (0,1)1,(0,1),()0,.tt 其其他他记记 于是于是 是闭子空间是闭子空间 (0,1)()(),tt ()n Ztn
37、 0V的规范正交基的规范正交基.利用定义利用定义4.10中的伸缩性给出空间中的伸缩性给出空间 可以可以,jV验证定义验证定义4.10中的其他条件满足中的其他条件满足,于是得到一个于是得到一个多分辨分析多分辨分析.基于多分辨分析框架可以得到了基于多分辨分析框架可以得到了Mallat分解分解与重构算法与重构算法,Mallat 算法在小波变换中的地位相算法在小波变换中的地位相当于快速当于快速Fourier变换变换(FFT)在在 Fourier 变换中的变换中的地位地位.4.6 4.6 Mallat分解与重构算法分解与重构算法,()(),j nj nj nj nnnctdt设设 是空间是空间 中的一个
38、多分辨分析中的一个多分辨分析,jj ZV 2()L R 为尺度函数为尺度函数.对任意的对任意的 有惟一的级数表示为有惟一的级数表示为 11,jjfV 11,1,()()jjnjnnftct 其中其中 和和 分别由分别由,()j nt,()j nt 和和给出给出.从而从而,1,1,(),(),j njljlj nl Zcctt ,1,1,(),(),j njljlj nl Zdctt 1,1,(),()jnj lj ljnl Zcctt ,1,(),().j lj ljnl Zdtt 经过计算可得经过计算可得Mallat分解算法分解算法2,1,1,2lnj njll Zj njllnl Zcch
39、dcg 和和重构算法重构算法1,2,2.jnj lnlj lnll Zl Zcchdg其中其中 和和 由由 给出给出.kk Zh kk Zg 小波变换的概念可以从一维推广到二维，用小波变换的概念可以从一维推广到二维，用于图像的小波分解与重建于图像的小波分解与重建.双正交样条小波双正交样条小波(Biorthogonals,简称简称bior)在在 信号与图像的分解与重构方面有重要的应用信号与图像的分解与重构方面有重要的应用.这类这类 小波通过使用两个双正交的小波小波通过使用两个双正交的小波 和和 组成小波对，组成小波对，一个用于分解，另外一个用于重构一个用于分解，另外一个用于重构.用于分析用于分析
40、 信号信号s(x)的小波系数的小波系数,()()d,j kj kcs xxx 用于合成信号用于合成信号,.j kj kj ksc 阶数阶数Nr和和Nd分别为：分别为：Nr=1,Nd=1,3,5;Nr=2,Nd=2,4,6,8;Nr=3,Nd=1,3,5,7,9;Nr=Nd=4;Nr=6,Nd=8.过过MATLAB实现实现.一个图像作小波分解后一个图像作小波分解后,得到一系列不同分辨得到一系列不同分辨率的子图像率的子图像,不同的子图像对应不同的频率不同的子图像对应不同的频率.高分高分辨率也即高频的子图像上大部分点的数值接近零辨率也即高频的子图像上大部分点的数值接近零,表现图像的最主要部分是低频部
41、分表现图像的最主要部分是低频部分.所以可以利用所以可以利用小波分解去掉图像的高频部分只保留低频部分小波分解去掉图像的高频部分只保留低频部分,就就可以对图像进行压缩可以对图像进行压缩.利用二维小波变换可以利用二维小波变换可以 并通并通窗口窗口Fourier变换变换本章内容总结本章内容总结连续小波变换连续小波变换二进小波变换二进小波变换离散小波变换离散小波变换线性性质线性性质平移性质平移性质尺度法则尺度法则小波变换小波变换多分辨分析多分辨分析Mallat分解算法分解算法 重构算法重构算法本章的重点本章的重点3.多分辨分析多分辨分析2.二进小波变换与离散小波变换二进小波变换与离散小波变换1.连续小波变换的定义及其性质连续小波变换的定义及其性质4.Mallat分解与重构算法分解与重构算法
