1、1第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波2第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波 信道信道s(n)x(n)()ns(n)：原始输入（发射）信号，随机平稳：原始输入（发射）信号，随机平稳信道噪声（测量噪声）信道噪声（测量噪声）x(n)：接收（测量）信号，：接收（测量）信号，随机平稳随机平稳问题提出：问题提出：3第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波准则：最大后验准则。均方准则，最大似然准则，准则：最大后验准则。均方准则，最大似然准则，滤波器滤波器 h(n)()()y ns nx(n)s(n)FIR,IIR逼近（准则）逼近（准则）已知：已知：s(n)
2、,(n)的统计特性，要求：的统计特性，要求：设计线性移不变滤波器设计线性移不变滤波器 h(n),从从x(n)中恢复中恢复s(n)线性均方准则（最小二乘滤波）线性均方准则（最小二乘滤波）4第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波()()()()T11nu nu nu nM轾=-+臌uL()nu()u n2.2.横向滤波器结构横向滤波器结构5第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波iw*wT011Mwww-=wL()d n()d n()e n()()()e nd nd n=-()()()()1HT0Miid nw u ninn-*=-=w uuw6第四章第四章 维纳滤波
3、和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波假设假设 由信号由信号 与噪声与噪声 组成组成 如果如果 ，上图的系统称为滤波，上图的系统称为滤波（filteringfiltering）；）；如果如果 ，上图的系统称为预测，上图的系统称为预测（predictionprediction）；）；如果如果 ，上图的系统称为平滑，上图的系统称为平滑 （smoothingsmoothing）。）。()()()unsnvn=+()u n()s n()v n()()dns n=()()00,0d ns nnn=+()()00,0d ns nnn=+7第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波4.2 4.2 维纳
4、滤波器的离散形式维纳滤波器的离散形式时域解时域解 22()()()()()()()()()()()(),()()()ix ns nv ny ns nh i x nix nh ne ns ns nE e nE s ns n误差，平稳随机）均方误差：(n)最小均方误差准则：最小均方误差准则：2op寻求h(n)使(n)=Ee(n)取最小值（加性干扰）（加性干扰）d(n)=s(n)8第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波为此令为此令2()()2()()0()()()()()()()(),()()()()0,(inE e nEe ne nh jh jh je ns nh j x nix
5、njjh jh jE e n x njj 正交标量方程组）一、维纳一、维纳霍夫方程霍夫方程 正交性原理：正交性原理：使代价函数最小化的充要条件是使代价函数最小化的充要条件是 n 时刻的最优估计误差正交于时刻的最优估计误差正交于n 时刻滤波器的每个时刻滤波器的每个输入值，或者说正交于输入值，或者说正交于n时刻的输入信号空间。时刻的输入信号空间。9第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波推论：推论：n时刻的最优估计误差正交于时刻的最优估计误差正交于n时时刻滤波器的最优输出值刻滤波器的最优输出值0)()(00nenyE000)()(kkknxhny一、维纳一、维纳霍夫方程霍夫方程10第
6、四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波由正交方程可得：()()()()()()()()()()()0iiE e n x njEs nh i x nix njE s n x njE x ni x nj h i()()()()()iE s n x njh i E x ni x nj即：一、维纳一、维纳霍夫方程霍夫方程11第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波定义定义()()()(),()()()()()sxxxRmE s n x nms n x nRmE x n x nmx n的互相关的自相关可得可得(),sxxxiRmh iRmim（）（）维纳维纳霍夫（霍夫（Wie
7、ner-Holf)方程或标准方程方程或标准方程求和范围（求和范围（i）随滤波器的不同取不同区间）随滤波器的不同取不同区间:0 1:0 FIRMIIR（非因果）；（因果）一、维纳一、维纳霍夫方程霍夫方程12第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波FIR 维纳滤波器维纳滤波器令令(0)(1)(1)()()(1)(1)Hhhh NX nx nx nx nN10()()()()()()()()MkTy ns nx nh nh k x nkH X nXn H()()()()()()()()()Te hs ns ns ny ns nXn Hs nH X n对对FIR结构，假设其长度为结构，假
8、设其长度为N,期望信号为期望信号为s(n)13第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波22()()()2 ()()()()ThE e nE snE s n Xn HH E X n Xn H22()()()()()()2()()()()Te ns nXn Hs nH X nsns n Xn HH X n Xn H14第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波()()()(1)()(1)(1)()(1)(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)ExnxnExnxnExnxn NExnxnExnxnExnxn NExn NxnExn NxnExn Nxn N To
9、eplitzToeplitz矩阵矩阵,N,NXN N对称半正定对称半正定()()RE X n Xn(0)(1)(1)(1)(0)(2)(1)(2)(0)xxxxxxxxxxxxxxxxxxrrrNrrrNrNrNr令令15第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波令令22()sE sn()()(0)()()(1)(1)()(1)(1)()sxsxsxPE X n s nrE x n s nrE x ns nrNE x nNs n2()2(shP HH RH 二次型问题）代入可得：代入可得：16第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波则则222d P Hd H RHPR
10、HHdHdH （）（）令令0H(0)(1)(1)(0)(0)(1)(0)(2)(1)(1)(1)(2)(0)(1)(1)xxxxxxsxxxxxxxsxxxxxxxsxrrr Nrhrrr Nrhr Nr Nrr Nh NRHP（维纳-霍夫方程）1OPHR P其解为：，且17第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波22122()222,()OPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPTTsTTsTTsTTTsHP HH RHP HH R R PP HH PH PP HH P可以看出，均方误差与滤波器的单位脉冲响应是一个可以看出，均方误差与滤波器的单位脉冲响应是一个二次函数关系。由
11、于单位脉冲响应二次函数关系。由于单位脉冲响应h(n)为为M维向量，维向量，因此均方误差是一个超椭圆抛物形曲面，该曲面有极因此均方误差是一个超椭圆抛物形曲面，该曲面有极小点存在。当滤波器工作于最佳状态时，均方误差取小点存在。当滤波器工作于最佳状态时，均方误差取得最小值。得最小值。18第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波 上式表明已知期望信号与观测数据的互相关函上式表明已知期望信号与观测数据的互相关函数及观测数据的自相关函数时，可以通过矩阵求逆数及观测数据的自相关函数时，可以通过矩阵求逆运算，得到维纳滤波器的最佳解。同时可以看到，运算，得到维纳滤波器的最佳解。同时可以看到，直接从
12、时域求解因果的维纳滤波器，当选择的滤波直接从时域求解因果的维纳滤波器，当选择的滤波器的长度器的长度M较大时，计算工作量很大，并且需要计较大时，计算工作量很大，并且需要计算算Rxx 的逆矩阵，从而要求的存贮量也很大。此外，的逆矩阵，从而要求的存贮量也很大。此外，在具体实现时，滤波器的长度是由实验来确定的，在具体实现时，滤波器的长度是由实验来确定的，如果想通过增加长度提高逼近的精度，就需要在新如果想通过增加长度提高逼近的精度，就需要在新N基础上重新进行计算。因此，从时域求解维纳滤基础上重新进行计算。因此，从时域求解维纳滤波器，并不波器，并不是一个有效的方法。是一个有效的方法。12()OPOPOPT
13、sHRPHH P即即19第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波图图 期望信号、期望信号、估计值与误差信号的几何关系估计值与误差信号的几何关系()()()ooe nd nd n=-由正交方程可知：误差与输入信号矢量正交，可推得其与估计值也正交，用下图表示。几何解释：几何解释：20第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波图表明在滤波器处于最佳工作状态时，估计值加上估计偏差等于期望信号，即 d nynenoptopt()()()注意我们所研究的是随机信号，图中各矢量的几何表示应理解为相应量的统计平均或者是数学期望。再从能量的角度来看，假定输入信号和期望信号都是零均值,应
14、用正交性原理，则,因此在滤波器处于最佳状态时，估计值的能量总是小于等于期望信号的能量。dyE eopt222opt|21第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波非因果性考虑非因果性考虑 可以证明：非因果可以证明：非因果WienerWiener滤波器的性能滤波器的性能(误差误差方差性能方差性能)要优于因果要优于因果WienerWiener滤波器滤波器(参见郑南宁编参见郑南宁编数字信号处理数字信号处理)。所以，在实际。所以，在实际FIRFIR滤波器中，滤波器中，常用时延方法用可实現的因果系统逼近非因果系统。常用时延方法用可实現的因果系统逼近非因果系统。MMkkknxwny)()(0令
15、令Mki22第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波MiiMiiiMnxwMinxwny200200)()()(MiiinxwMny200)()(n 因果系统因果系统n时刻的输出可以逼近非因果系统时刻的输出可以逼近非因果系统(n-M)的输出。的输出。23第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波2),(8()(),()x nv nv nns(n)=sin(周期为 的确定信号）4nsin(（为方差的白噪声）4例例1 1：设计设计N=4N=4的的FIRFIR最佳滤波器最佳滤波器已知：已知：24第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波解：解：222211102
16、2 22 2(0)(1)(2)(3)1110(1)(0)(1)(2)22 22 2(2)(1)(0)(1)11102(3)(2)(1)(0)2 22 2111022 22 2xxxxxxxxxxxxxxxxrrrrrrrrrrrrrrrr()RE XnT（n)X82222181121(0)()sin()8821221(1)()(1sin()sin(1)08882 2xnxnrE xnnE vrE x n x nnn注：，25第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波12 2PE X121（n)s(n)=，2 20222min222min2min2min11()22(1)2(1)0,
17、0,(1126114TXopE e nH P确定），(0分贝信噪比），同样：同样：121112 2opHRP1212 2026第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波 例例 设设y(n)=x(n)+v2(n)，v2(n)是一白噪声，方差是一白噪声，方差22=0.1。期望信号。期望信号x1(n)的信号模型如图的信号模型如图(a)所示，所示，其中白噪声其中白噪声v1(n)的方差的方差21=0.27，且，且b0=0.8458。x(n)的信号模型如图（的信号模型如图（b）所示，）所示，b1=0.9458。假定。假定v1(n)与与v2(n)、x1(n)与与y(n)不相关，并都是实信号。不相
18、关，并都是实信号。设计一个维纳滤波器，得到该信号的最佳估计，设计一个维纳滤波器，得到该信号的最佳估计，要求滤波器是一长度为要求滤波器是一长度为 2 的的FIR滤波滤波器。器。27第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波图图 输入信号与观测数据的模型输入信号与观测数据的模型 解解 这个问题属于直接应用维纳这个问题属于直接应用维纳-霍夫方程的典型问题，霍夫方程的典型问题，其关键在于求出观测信其关键在于求出观测信号的自相关函数和观测信号与号的自相关函数和观测信号与期望信号的互相关函数。期望信号的互相关函数。图图 维纳滤波器的框图维纳滤波器的框图 28第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳
19、滤波和卡尔曼滤波波根据题意，画出这个维纳滤波器的框图，如图所示。根据题意，画出这个维纳滤波器的框图，如图所示。用用H1(z)和和H2(z)分别表示分别表示x1(n)和和x(n)的信号模型，那么滤的信号模型，那么滤波器的输入信号波器的输入信号x(n)可以看作是可以看作是v1(n)通过通过H1(z)和和H(z)级联后的输出，级联后的输出，H1(z)和和H(z)级联后的等效系统用级联后的等效系统用H(z)表示，输出信号表示，输出信号y(n)就等于就等于x(n)和和v2(n)之和。因此求出之和。因此求出输出信号的自相关函数矩阵输出信号的自相关函数矩阵Ryy和输出信号与期望信号的和输出信号与期望信号的互
20、相关矩阵互相关矩阵Ryd是解决问题的关键。相关函数矩阵由相关是解决问题的关键。相关函数矩阵由相关函数值组成，函数值组成，已知已知x(n)与与v2(n)不相关，那么不相关，那么 2 2()()()yyxxv vrmrmrm29第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波(1)求出期望信号的方差。根据图求出期望信号的方差。根据图(a)，期望信号的，期望信号的时间序列模型所对应的差分时间序列模型所对应的差分方程为方程为 x1(n)=v1(n)-b0 x1(n-1)这里，这里，b0=0.8458,由于由于x1(n)的均值为零，其方差与自的均值为零，其方差与自相关函数在零点的值相等相关函数在零
21、点的值相等。11122122210 111122210(0)()()2()(1)(1)xxxRE x nE v nb v n x nb x nb 122212200.270.948611(0.8458)dxb 30第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波(2)计算输入信号和输出信号的自相关函数矩阵。根据自计算输入信号和输出信号的自相关函数矩阵。根据自相关函数、功率谱密度和时间序列信号模型的等价关系，已知相关函数、功率谱密度和时间序列信号模型的等价关系，已知时间序列信号模型，时间序列信号模型，就可以求出自相关函数。这里，信号的模就可以求出自相关函数。这里，信号的模型型H(z)可以通
22、过计算得到。可以通过计算得到。12111()()()(10.8458)(10.9458)H zH z H zzz 这是一个二阶系统，所对应的差分方程为这是一个二阶系统，所对应的差分方程为 x(n)+a1x(n-1)+a2x(n-2)=v1(n)式中，式中，a1=-0.1，a2=-0.8。由于。由于v1(n)、v2(n)的均值为零，因此，的均值为零，因此，x(n)的均值为的均值为0。将方程两边同乘以。将方程两边同乘以x*(n-m)，并取数学期望，得，并取数学期望，得 rxx(m)+a1rxx(m-1)+a2rxx(m-2)=0 m0(1)rxx(0)+a1rxx(1)+a2rxx(2)=21 m
23、=0(2)31第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波对方程（对方程（1）取）取m=1,2，得到，得到 rxx(1)+a1rxx(0)+a2rxx(1)=0(3)rxx(2)+a1rxx(1)+a2rxx(0)=0(4)方程方程(2)、(3)、(4)联立求解，得联立求解，得 222122222211211 0.80.27(0)11(1)1 0.8(1 0.8)(0.1)0.1(1)0.511 0.8xxxxxaraaaara 至此，至此，输入信号的自相关矩阵输入信号的自相关矩阵Rxx可以写出：可以写出：(0)(1)1 0.5(1)(0)0.5 1xxxxxxxxxxrrRrr 3
24、2第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波v2(n)是一个零均值的白噪声，它的自相关函数是一个零均值的白噪声，它的自相关函数矩阵呈对角形，矩阵呈对角形，且且 ，2 222(0)v vr 2 22 22 22 22 2(0)(1)0.1 0(1)(0)00.1v vv vv vv vv vrrRrr 因此，输出信号的自相关因此，输出信号的自相关Ryy为为 2 22 22 22 2(0)(1)(1)(0)(1)1.1 0.5(1)(0)(1)(0)(0)0.5 1.1xxv vxxv vyyyyyyyyyyxxv vxxv vrrrrrrRrrrrrr 33第四章第四章 维纳滤波和卡
25、尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波(3)计算输出信号与期望信号的互相关函数矩阵。计算输出信号与期望信号的互相关函数矩阵。由于两个信号都是实信号，故由于两个信号都是实信号，故 ryd(m)=Ey(n)d(n-m)=Ey(n)x1(n-m)=E(x(n)+v2(n)x1(n-m)=Ex(n)x1(n-m)m=0,1 根据系统根据系统H2(z)的输入与输出的关系，有的输入与输出的关系，有 x1(n)-b1x(n-1)=x(n)推出推出 x1(n)=x(n)+b1x(n-1)这样这样 ryd(m)=Ex(n)x1(n-m)=Ex(n)(x(n-m)+b1x(n-1-m)=rxx(m)+b1rxx(m-1)3
26、4第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波将将m=0,m=1代入上式代入上式,得得 ryd(0)=rxx(0)+b1rxx(-1)=1-0.94580.5=0.5272ryd(1)=rxx(1)+b1rxx(0)=0.5-0.94581=-0.4458 因此，输出信号与期望信号的互相关因此，输出信号与期望信号的互相关Ryd为为(0)0.5272(1)0.4458ydydydrRr 求出输出信号自相关的逆矩阵求出输出信号自相关的逆矩阵,并乘以并乘以Ryd,就可以得到就可以得到维纳滤波器的最佳解维纳滤波器的最佳解Wopt:1122(0)(1)(0)(1)1(0)(1)(1)(0)(1
27、)(0)1.14560.52080.5208 1.1456yyrrrrRrrrrrr 35第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波11.14560.5208 0.52720.83600.4580.78530.54281.1456optyyydWR R 可以计算出该维纳滤波达到最佳状态最小可以计算出该维纳滤波达到最佳状态最小值值E|e(n)|2min：22*Tminopt|()|()0.83600.94860.52720.44580.75830.1579dydE e nRW 36第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波2.3 离散维纳滤波器的离散维纳滤波器的 z 域解
28、域解标准方程：标准方程：双边双边Z Z变换变换一、非因果一、非因果IIR 维纳滤波器维纳滤波器37第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波假设信号和噪声不相关，即假设信号和噪声不相关，即rsv(m)=0，则，则 Sxs(z)=Sss(z)Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)则有则有 opt()()()()()()xsssxxssvvSzSzHzSzSzSz 当噪声为当噪声为0时，信号全部通过；当信号为时，信号全部通过；当信号为0时，时，噪声噪声全部被抑制掉，因此维纳滤波确有滤除噪声的能力。全部被抑制掉，因此维纳滤波确有滤除噪声的能力。把信号的频谱用把信号的频谱用Pss(ej)
29、表示，噪声的频谱用表示，噪声的频谱用Pvv(ej)表示，那么非因果的维纳滤波器的表示，那么非因果的维纳滤波器的传输函数传输函数Hopt(ej)的幅频特性的幅频特性如图所示如图所示。38第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波jopt1(e)10H Pss(ej)0,Pvv(ej)=0 Pss(ej)0,Pvv(ej)0 Pss(ej)=0,Pvv(ej)0 图图 非因果维纳滤波器的传输函数的幅频特性非因果维纳滤波器的传输函数的幅频特性 39第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波 然而实际的系统都是因果的。对于一个然而实际的系统都是因果的。对于一个因果系统，不能直接
30、转入频域求解的原因是因果系统，不能直接转入频域求解的原因是由于输入信号与期望信号的互相关序列是一由于输入信号与期望信号的互相关序列是一个因果序列，如果能够把因果维纳滤波器的个因果序列，如果能够把因果维纳滤波器的求解问题转化为非因果问题，求解方法将大求解问题转化为非因果问题，求解方法将大大简化。那么怎样把一个因果序列转化为一大简化。那么怎样把一个因果序列转化为一个非因果序列呢个非因果序列呢？因果情况处理思路：因果情况处理思路：40第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波标准方程：标准方程：v(n)x(n)S(n)信道信道s(n)h(n)s(n)IIR一般情况下直接求解比较困难。但如
31、果滤波器输入一般情况下直接求解比较困难。但如果滤波器输入是白噪声，则维纳是白噪声，则维纳-霍夫方程容易求解；而任何平稳霍夫方程容易求解；而任何平稳随机信号可变换为等效的白噪声过程，故借助谱分解随机信号可变换为等效的白噪声过程，故借助谱分解定理可找到一种简单解决方法。定理可找到一种简单解决方法。二、因果二、因果IIR IIR 维纳滤波器维纳滤波器41第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波 回顾前面讲到的时间序列信号模型，假设回顾前面讲到的时间序列信号模型，假设x(n)的信号模型的信号模型B(z)已知（如图已知（如图(a)所示），求出信号模所示），求出信号模型的逆系统型的逆系统B-
32、1(z)，并将并将x(n)作为输入，那么逆系统作为输入，那么逆系统B-1(z)的输出的输出(n)为白噪声，白化滤波器（如图为白噪声，白化滤波器（如图(b)所示）。所示）。图图 x(n)的时间序列信号模型及其白化滤波器的时间序列信号模型及其白化滤波器(a)(b)42第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波（1 1）若滤波器的输入是白噪声时）若滤波器的输入是白噪声时20()():x nw n2()()()xxwwwrmrmm 2200()()()()()(),0sxwwwwiiR mhi Rm ihim ih mm 21()(),0swwh nRnn对应传递函数：对应传递函数：()(
33、)swswSzSz表示取的因果部分（极点在单位园内）21()()swwH zSz43第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波（2 2）若滤波器的输入是平稳随机信号时）若滤波器的输入是平稳随机信号时则则x(n)x(n)可看作是由白噪声可看作是由白噪声w(n)w(n)激励一个线性移不变系激励一个线性移不变系统的输出统的输出)zB zzN（D（1()B z()Gz白化白化信号模型信号模型滤波器滤波器w(n)w(n)y(n)y(n)w(n)w(n)x(n)x(n)b(n)b(n)20,s(n)s(n)1()()()CHzGzB zB(z)B(z)为有理分式，为有理分式，N(z),D(z)
34、N(z),D(z)为最小为最小相位多项式相位多项式问题转化为求问题转化为求 的问题的问题(),()B zGz44第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波111()()()()()()()()()()()()()()()()swswsxsxRns nwnSzS z W zRns nxns nwnbnSzS z W zB z 1()()()sxswSzSzB z即由（由（1 1）221()11()()()sxswwwSzGzSzB z21()1()()()sxCwSzHzB zB z11()()2ncCh nHz zdzj 其中其中211(),()()()()()wxxsxsxB z
35、SzSzSzB zB z可由的谱分解得到可由进行因果、逆因果分解得到45第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波 具体思路如图所示。用白噪声作为待求的维纳滤具体思路如图所示。用白噪声作为待求的维纳滤波器的输入，设定波器的输入，设定1/B(z)为信号为信号x(n)的白化滤波器的的白化滤波器的传输函数，那么维纳滤波器的传输函数传输函数，那么维纳滤波器的传输函数G(z)的关系为的关系为()()()G zH zB z 因此，维纳滤波器的传输函数因此，维纳滤波器的传输函数H(z)的求解转化为的求解转化为G(z)的求解。的求解。图图 维纳滤波解题思路维纳滤波解题思路 2、46第四章第四章 维
36、纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波假设待求维纳滤波器的单位脉冲响应为假设待求维纳滤波器的单位脉冲响应为g(n)，期望信号，期望信号d(n)=s(n)，系统的输出信号，系统的输出信号y(n)=s(n)，g(n)是是G(z)的逆的逆Z变换，变换，则输出则输出信号可表示为信号可表示为()()()()()()ky ns nng ng knk 47第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波222*22*ss|()|()()()|()|()()()()()()()()()()(0)|()|()()(kkkkkskE e nE s ng knkE s nEg k g rnknrEg knk
37、s ng knk s nrg kg k rkg k *22ss2)()()|(0)()skksskkrkrkrrg k 48第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波 可以看出，均方误差的第一项和第三项都是非负可以看出，均方误差的第一项和第三项都是非负数数,要使均方误差为最小，当且仅当要使均方误差为最小，当且仅当 ()()0srkg k -k 因此因此g(n)的最佳值为的最佳值为 opt2()()srkgk -k 对上式两边同时做对上式两边同时做Z变换，得到变换，得到 opt2()()sSzGz 49第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波这样，非因果维纳滤波器的最佳
38、解为这样，非因果维纳滤波器的最佳解为 optopt2()()1()()()sGzSzHzB zB z 因为因为s(n)=s(n)*(n)，且，且x(n)=(n)*b(n)，根据相，根据相关卷积定理，得关卷积定理，得到到 rxs(m)=rs(m)*b(-m)对上式两边做对上式两边做Z变换，得到变换，得到 Sxs(z)=Ss(z)B(z-1)因此因此 1()()()xssSzSzB z 50第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波根据根据x(n)的信号模型，得到非因果的维纳滤波器的信号模型，得到非因果的维纳滤波器的复频域的复频域最佳解的一般表达式最佳解的一般表达式 opt21()()
39、11()()()()xsxsxxSzSzHzB z B zSz 假定信号与噪声不相关，即当假定信号与噪声不相关，即当Es(n)v(n)=0时，有时，有 rxs(m)=E(s(n)+v(n)*s(n+m)=rss(m)rxx(m)=E(s(n)+v(n)*(s(n+m)+v(n+m)=rss(m)+rvv(m)对上边两式做对上边两式做Z变换，得到变换，得到 Sxs(z)=Sss(z)Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)51第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波1()()()sssSzSzB z 信号和噪声不相关时，非因信号和噪声不相关时，非因果维纳滤波器的复果维纳滤波器的复频
40、域最佳解和频率响应分别为频域最佳解和频率响应分别为 xsssxxssvvSzSzHzSzSzSzopt()()()()()()jjoptjj(e)()(e)(e)(e)()()ssssssvvssvvSPHSSPP 52第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波滤波器的最小均方误差滤波器的最小均方误差E|e(n)|2min的计算，的计算，22min2|()|()|(0)ssskrkE e nr 根据围线积分法求逆根据围线积分法求逆Z变换的公式变换的公式，rss(m)用下式表示用下式表示:11()()d2jmssssCrmSz zz 得出得出 11(0)()d2jssssCrSz z
41、z 53第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波由复卷积定理由复卷积定理*11d()()()2jCnzx n y nX z Yzz 取取y(n)=x(n)，有有 211d|()|()2jCnzx nX z X zz 因此因此 211d|()|()()2jsssCnzrkSz Szz 21min211d|()|()()()2jsssCzE e nSzSz Szz 54第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波12min211()()11d|()|()2j()()1d()()()2jsssssCssoptssCSz SzzE e nSzB zB zzzSzHz Szz 因
42、为实信号的自相关函数是偶函数，即因为实信号的自相关函数是偶函数，即rss(m)=rss(-m)，因此因此 Sss(z)=Sss(z-1)假定信号与噪声不相关，假定信号与噪声不相关，Es(n)v(n)=0，则则 21min()1d|()|()()2j()()()1d2j()ssssssCxxssvvCxxSzzE e nSzSzSzzSz SzzSzz 55第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波 若维纳滤波器是一个因果滤波器，若维纳滤波器是一个因果滤波器，要求要求 g(n)=0 n0 则滤波器的输出信号则滤波器的输出信号 0()()()()()()ky ns nng ng knk
43、 估计误差的均方值估计误差的均方值 E|e(n)|2=E|s(n)-y(n)|2 得到得到 222200()1|()|(0)()|()|sssskkrkE e nrg krk 因果维纳滤波器的求解因果维纳滤波器的求解56第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波要使均方误差取得最小值，要使均方误差取得最小值，当且仅当当且仅当 2opt2()0()00()()ssrnngnnrnu n 令令 0optopt2()()()()1()ZT()()nnsssnnsSzrn u n zrn zGzgnSz 57第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波opt21()1()()xs
44、SzGzB z 所以因果维纳滤波器的复频域最佳解为所以因果维纳滤波器的复频域最佳解为 optopt21()()11()()()()xsGzSzHzB zB zB z 58第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波维纳滤波的最小均方误差为维纳滤波的最小均方误差为 22min20*212121|()|()|(0)1(0)()()()11d(0)()()2j()()11d()2j()()1()2jsssksssskssssCxsxsssCssCrkE e nrrrk u k rkzrSzSzzSzSzzSzB zB zzSz 1optd()()xszHz Szz 59第四章第四章 维纳滤
45、波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波 比较可以看出因果维纳滤波器的最小均方误差与非因果维比较可以看出因果维纳滤波器的最小均方误差与非因果维纳滤波器的最小均方误差的形式相同，但公式中的纳滤波器的最小均方误差的形式相同，但公式中的Hopt(z)的的表达式不同。表达式不同。前面已经导出，前面已经导出，对于非因果情况，对于非因果情况，22min2|()|()|(0)ssskrkE e nr 对于因果情况，对于因果情况，22min20|()|()|(0)ssskrkE e nr 比较两式，它们的第二项求和域不同，因为因果情况比较两式，它们的第二项求和域不同，因为因果情况下下,k=0+，因此可以说明非因果情
46、况的因此可以说明非因果情况的E|e(n)|2min一定一定小于等于因果情况小于等于因果情况E|e(n)|2min。在具体计算时。在具体计算时,可以选择可以选择单位圆作为积分曲线，单位圆作为积分曲线，应用留数定理，应用留数定理，计算积分函数在单计算积分函数在单位圆内的极点的留数来得到。位圆内的极点的留数来得到。60第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波因果维纳滤波器设计的一般步骤：因果维纳滤波器设计的一般步骤：(1)根据观测信号根据观测信号x(n)的功率谱求出它所对应的信号的功率谱求出它所对应的信号模型的传输函数，即采用谱分解的方法得到模型的传输函数，即采用谱分解的方法得到B(z
47、)。具。具体方法为体方法为Sxx(z)=2B(z)B(z-1)，把单位圆内的零极点分，把单位圆内的零极点分配给配给B(z)，单位圆外的零极点分配给，单位圆外的零极点分配给B(z-1)，系数分配，系数分配给给2。(2)求求 的的Z反变换，取其因果部分再做反变换，取其因果部分再做Z变换，变换，即舍掉单位圆外的极点，得即舍掉单位圆外的极点，得 (3)计算计算Hopt(z)，E|e(n)|2min。xsSzB z1()()xsSzB z1()()61第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波例例 已知已知 10.36()(10.8)(10.8)ssSzzz 信号和噪声不相关，即信号和噪声不
48、相关，即rsv(m)=0，噪声，噪声v(n)是零均值、是零均值、单位功率的白噪声（单位功率的白噪声（2v=1，mv=0)，求，求Hopt(z)和和E|e(n)|2min。解解 根据白噪声的特点得出根据白噪声的特点得出Svv(z)=1，由噪声和信，由噪声和信号不相关，号不相关，得到得到 rxx(m)=rss(m)+rvv(m)。对上式两边做对上式两边做Z变换，并代入已知条件，对变换，并代入已知条件，对x(n)进行功率谱分解进行功率谱分解:11211()()()0.361(10.8)(10.8)1.6(10.5)(10.5)()()(10.8)(10.8)xxssvvSzSzSzzzzzB z B
49、 zzz 62第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波考虑到考虑到B(z)必须是因果稳定的系统，得到连必须是因果稳定的系统，得到连 12110.5(),1.610.8zB zz (1)首先分析物理可实现情况，应用公式（首先分析物理可实现情况，应用公式（2.3.38）:1opt2111()111 0.80.36()()()1.6(1 0.5)(1 0.8)(1 0.5)xsSzzHzB zB zzzz 令令 F(z)的极点为的极点为0.8和和2，考虑到因果性、稳定性，仅取，考虑到因果性、稳定性，仅取单位圆内的极点单位圆内的极点zi=0.8，f(n)为为F(z)的的Z反变换。用反变换
50、。用Res表示留数，应用留数定理，有表示留数，应用留数定理，有 110.360.36(),()(10.8)(10.5)(10.8)(10.5)F zF zzzzz 63第四章第四章 维纳滤波和卡尔曼滤维纳滤波和卡尔曼滤波波11110.80.36()Re,0.8(10.8)(10.5)0.36(0.8)0.6 0.8(10.8)(10.5)nnnzf nszzzzzzz 取因果部分，取因果部分，f+(n)=0.60.8nu(n)11opt1110.6()Z()Z0.60.8()10.810.80.631()1.6(10.5)10.8810.5nFzfnu nzzHzzzz 64第四章第四章 维纳
