1、第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动第第5 5章章 教学基本要求教学基本要求第第5章章 刚体的转动刚体的转动第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动第第5 5章章 教学基本要求教学基本要求 一一、理解理解描写刚体定轴转动的物理量，并描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系；掌握角量与线量的关系；二二、理解理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理；绕定轴转动的转动定理；三三、理解理解角动量概念，掌握质点在平面内运角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题；动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题；能运用以上规律分析和解决
2、包括质点和刚体能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题。的简单系统的力学问题。四、理解四、理解刚体定轴转动的转动动能概念，能刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律。守恒定律。第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 刚体刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体。：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体。（1）刚体是任意两质点间距离保持不变的）刚体是任意两质点间距离保持不变的特殊质点组特殊质点组。（2）刚体是一种理想模型。）刚体是一种理想模型。注意注意
3、第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的运动形式：刚体的运动形式：平动、转动平动、转动。平动：平动：若刚体中所有点若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始连线总是平行于它们的初始位置间的连线位置间的连线。第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动平动的特点平动的特点（1）刚体中各质点的运动情况相同）刚体中各质点的运动情况相同BAvvBAaa（2）刚体的平动可归结为质点运动。）刚体的平动可归结为质点运动。第第5 5章章 刚体的转动刚
4、体的转动5 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动。动。转动又分定轴转动和非定轴转动转动又分定轴转动和非定轴转动。刚体的平面运动刚体的平面运动 第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 刚体的一般运动刚体的一般运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动x一、刚体转动的角速度和角加速度一、刚体转动的角速度和角加速度z参考平面参考平面)(t)()(ttt角位移角位移)(t 角坐标角坐标约定约定r沿逆时针方向转
5、动沿逆时针方向转动 r沿顺时针方向转动沿顺时针方向转动 tttddlim0角速度矢量角速度矢量 方向方向:右手右手螺旋方向螺旋方向参考轴参考轴第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动角加速度：角加速度：ddt1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；2）任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同；3）运动描述仅需一个坐标运动描述仅需一个坐标。,a,v定轴转动的定轴转动的特点特点 刚体刚体定轴定轴转动（一转动（一维转动）的转动方向可维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表以用角速度的正负来表示。示。000 在在
6、冲击冲击等问题中等问题中L常量常量第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 53 3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律 有许多现象都可以有许多现象都可以用角动量守恒来说明用角动量守恒来说明.自然界中存在多种守恒定律自然界中存在多种守恒定律2 动量守恒定律动量守恒定律2能量守恒定律能量守恒定律2角动量守恒定律角动量守恒定律2电荷守恒定律电荷守恒定律2质量守恒定律质量守恒定律2宇称守恒定律等宇称守恒定律等花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 53 3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律例例3：质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆，
7、可绕过其中心的均匀细杆，可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动。当细杆静止于并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动。当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率水平位置时，有一只小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为 l/4 处处,并背离点并背离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬行。设小虫与细杆爬行。设小虫与细杆的质量均为的质量均为m。问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小。问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行虫应以多大速率向细杆端点爬行?0v220)4(1214lmmllmvl0712 v 解：解：小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞中小虫与细杆的碰撞视为完全非
8、弹性碰撞，碰撞中碰撞前后系统角动量守恒。碰撞前后系统角动量守恒。exinMM忽略忽略exM第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 53 3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律由杆和小虫组成的系统由杆和小虫组成的系统内力矩为零内力矩为零（包括虫对（包括虫对杆的压力和杆对虫的支杆的压力和杆对虫的支持力矩和相互的摩擦力持力矩和相互的摩擦力矩），矩），外力矩外力矩包括杆和包括杆和小虫的重力矩，杆的重小虫的重力矩，杆的重力矩为零。力矩为零。由角动量定由角动量定理得：理得：tJtJtLMddd)(ddd只有小虫的重力矩只有小虫的重力矩第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 53 3 角动量角动量
9、角动量守恒定律角动量守恒定律由角动量定理得：由角动量定理得：trmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22即：即：考虑到：考虑到：t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlgtJtJtLMddd)(dddmg第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 53 3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律例例4：一杂技演员一杂技演员 M 由距水平跷板高为由距水平跷板高为 h 处自由下落处自由下落到跷板的一端到跷板的一端A，并把跷板另一端的演员，并把跷板另一端的演员N 弹了起来。弹了起来。设跷板是匀质的，长度为设跷板是匀质的，长度为l，质量为，质量为 ，跷板可绕中部跷板可绕中部
10、支撑点支撑点C 在竖直平面内转动，演员的质量均为在竖直平面内转动，演员的质量均为m。假定。假定演员演员M落在跷板上，与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞。落在跷板上，与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞。问演员问演员N可弹起多高可弹起多高?ll/2CABMNh解：解：碰撞前碰撞前 M 落落在在 A点的速度点的速度1 2M(2)ghm第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 53 3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律ll/2CABMNh刚碰撞瞬间刚碰撞瞬间N与板是在与板是在一起运动的，所以碰一起运动的，所以碰撞后的瞬间撞后的瞬间,M、N具具有相同的线速度：有相同的线速度：2MNlu把把M、N和跷板作为一
11、个系统，内力矩（包括和跷板作为一个系统，内力矩（包括M、N与跷板间相互的摩擦力、压力和支持力产生的力矩）与跷板间相互的摩擦力、压力和支持力产生的力矩）不影响角动量守恒；不影响角动量守恒；外力矩外力矩（包括（包括M、N和跷板的和跷板的重力矩）重力矩）为零为零，角动量守恒角动量守恒。在本题中也可以按照。在本题中也可以按照打击碰撞问题处理，打击碰撞问题处理，exinMM忽略忽略exM角动量也守恒。角动量也守恒。第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 53 3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律22M21121222mllmlmuJlmvlmmghmmllmlm)6()2(621222122M
12、v解得解得演员演员 N 以以 u 起起跳跳,达到的高度达到的高度hmmmglguh2222)63(82ll/2CABMNh计算角动量时注意：计算角动量时注意：角动量是矢量，但是角动量是矢量，但是定轴转动时按标量计定轴转动时按标量计算，规定一个正方向算，规定一个正方向即可。如图所示。即可。如图所示。NMLL,rrMN第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 4 力矩的功力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理力的空间累积效应力的空间累积效应 力的功，动能，动能定理。力的功，动能，动能定理。力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应 力矩的功，转动动能，力矩的功，转动动能，动能定理。动能
13、定理。第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 4 力矩的功力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理dAdFrdAdM21dAM有限过程力矩的功为：有限过程力矩的功为：一、力矩作功一、力矩作功 dAdddPMMtt二、力矩的二、力矩的功率功率orvFxvFoxrtFrdd由元功的定义可得：由元功的定义可得：cosFdscosF drtdF stdFr第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 4 力矩的功力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理三、三、转动动能转动动能221iiikmEv22221)(21Jrmiii设系统共有设系统共有 N 个质元：个质元：z O
14、irivimPNimmmm,.,.,21Nirrrr.,.,2112,.,.iN ，其动能为：，其动能为：im221iikimEv2221iirm取质元取质元系统的总动能为：系统的总动能为：结论：结论：绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半。惯量与其角速度平方乘积的一半。第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 4 力矩的功力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理21dAM四、刚体绕定轴转动的动能定理四、刚体绕定轴转动的动能定理21dAM 结论：结论：合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚合外力矩对绕定轴转
15、动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量体转动动能的增量。11dddJt 五、刚体的机械能五、刚体的机械能kpEEE22211122JJk21=kEE21dJ 第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 4 力矩的功力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理CmghJE221刚体的机械能：刚体的机械能：ch0PECimihMMM总外力重力2121kkMMdEE外力重力（）2121()ppMdEE 重力一个不太大的刚体的重力势能和它的一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集中在质心时所具有的势能全部质量集中在质心时所具有的势能一样。一样。刚体重力势能：刚体重力势能：iipghmECi
16、imghmhmmg质心的势能质心的势能由刚体定轴转动的转动定理：由刚体定轴转动的转动定理：2121MdEE外力第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 4 力矩的功力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理刚体的机械能守恒刚体的机械能守恒21=C2CEJmgh 0外M结论：结论：对含有刚体和质点复杂系统，若外对含有刚体和质点复杂系统，若外力不做功，且内力都是保守力，则系统机力不做功，且内力都是保守力，则系统机械能守恒。械能守恒。第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 4 力矩的功力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理vovoompTR圆圆锥锥摆摆子子弹弹击击入
17、入杆杆ov以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能机械能不不守恒守恒。角动量守恒；角动量守恒；动量动量不不守恒；守恒；以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能机械能不不守恒守恒。圆锥摆系统圆锥摆系统动量动量不不守恒；守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能守恒机械能守恒。讨讨 论论子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 4 力矩的功力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理质质 量：量：Pm角动量：角动量：JL 动量定理：动量定理：2121ttFdtmmdtPdF角动量定理：角动量定理：12
18、21JJMdtttdtdLM 动量守恒：动量守恒：0,Fm恒矢量质点运动与刚体定轴转动对照表质点运动与刚体定轴转动对照表质点运动质点运动刚体定轴转动刚体定轴转动m转动惯量：转动惯量：mdmrJ2力：力：F力矩：力矩：MrF第二定律：第二定律：amF转动定律：转动定律：MJ动动 量：量：角动量守恒：角动量守恒：恒矢量JM,0力力 的的 功：功：AF dr力矩的功：力矩的功：AMd动动 能：能：212m转动动能：转动动能：221J动能定理：动能定理：转动动能定理：转动动能定理：22211122Amm22211122AJJ第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 4 力矩的功力矩的功 刚体绕定轴转动的
19、动能定理刚体绕定轴转动的动能定理oRhmmm2022121JJ 和和 、分别分别为圆盘终了和起始时的角为圆盘终了和起始时的角坐标和角速度坐标和角速度。0,0000TTddAMdF RRF例例1：一质量为一质量为 、半径为、半径为 R 的圆盘，可绕一垂直通的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动。过盘心的无摩擦的水平轴转动。圆盘上绕有轻绳，一圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为端挂质量为m 的物体。问物体在静止下落高度的物体。问物体在静止下落高度 h 时，时，其速度的大小为多少其速度的大小为多少?设绳的质量忽略不计。设绳的质量忽略不计。m 解解 拉力拉力 对圆盘做功，对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的
20、动由刚体绕定轴转动的动能定理可得能定理可得，拉力，拉力 的力矩所作的功为：的力矩所作的功为：TFTFoTFNFPTFPm第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 4 力矩的功力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理202TT2121dd00JJFRRF物体由静止开始下落物体由静止开始下落0,000v解得解得ghm2)2(mm2mmmgh2vTAmghF h由质点动能定理得：由质点动能定理得：TTFFoTFNFPTFPmRv2201122Amm vv0TdmghRF第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 4 力矩的功力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 该题
21、可以由转动定理加牛顿运动定律求解：该题可以由转动定理加牛顿运动定律求解：212tRFJm RmaFmgtaRgMmma2mmmghah242oTFNFPTFPm第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 4 力矩的功力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理例例2:一长为一长为 l ,质量为质量为 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由转动。自由转动。一质量为一质量为 、速率为、速率为 的子弹射入竿内距支点为的子弹射入竿内距支点为 处，使竿的偏转角为处，使竿的偏转角为30。问子弹的初速率为多问子弹的初速率为多少少?vamm 解解 把子弹和竿看作一个系把子弹和竿看作一个系统。子弹射入竿的过程
22、系统统。子弹射入竿的过程系统角动量守恒，所以有：角动量守恒，所以有：)31(22malmamvoamv302233malmamv第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 4 力矩的功力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理oamv30mamalmmalmg6)3)(2)(32(22v222)31(21malm)30cos1(2lgm)30cos1(mga 射入竿后，以子弹、细杆和射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统地球为系统，机械能守恒，机械能守恒。2233malmamv第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 5 经典力学的成就和局限性经典力学的成就和局限性 17 世纪牛顿力学构
23、成了体系世纪牛顿力学构成了体系。可以说，。可以说，这是物理学第一次伟大的综合这是物理学第一次伟大的综合。牛顿建立。牛顿建立了两个定律，一个是运动定律，一个是万了两个定律，一个是运动定律，一个是万有引力定律，并发展了变量数学微积分，有引力定律，并发展了变量数学微积分，具有解决实际问题的能力具有解决实际问题的能力。他开拓了天体。他开拓了天体力学这一科学，海王星的发现就充分显示力学这一科学，海王星的发现就充分显示了这一点了这一点。第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 5 经典力学的成就和局限性经典力学的成就和局限性4、相对论质能关系、相对论质能关系2mcE vmptpFamF,dd20k21vmE
24、 cv202kcmmcE3、相对论动能、相对论动能一、经典力学只适用于处理物体的低速运动一、经典力学只适用于处理物体的低速运动（）cv1、质点高速运动时伽利略变换为洛伦兹变换所代替、质点高速运动时伽利略变换为洛伦兹变换所代替2201cmmv2、质点高速运动时的相对论性质量、质点高速运动时的相对论性质量第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 5 经典力学的成就和局限性经典力学的成就和局限性 牛顿力学具有内在随机性牛顿力学具有内在随机性：应用牛顿定律可解的问：应用牛顿定律可解的问题只是线性的，在自然界中只是一些特例，普遍存在的题只是线性的，在自然界中只是一些特例，普遍存在的问题都是非线性的。问题都
25、是非线性的。现在知道，只要确定论的系统稍微现在知道，只要确定论的系统稍微复杂一些，它就会表现出随机行为，运动对初始条件特复杂一些，它就会表现出随机行为，运动对初始条件特别敏感，存在混沌现象。目前关于混沌的研究已涉及到别敏感，存在混沌现象。目前关于混沌的研究已涉及到生物学、天文学、社会学等领域。生物学、天文学、社会学等领域。二、确定性与随机性二、确定性与随机性 确定性确定性：已知物体初始运动状态及所受的力，应用：已知物体初始运动状态及所受的力，应用牛顿定律可以确定运动物体任意时刻的运动状态和确定牛顿定律可以确定运动物体任意时刻的运动状态和确定的运动轨迹。初始运动状态的微小变化只能引起运动轨的运动
26、轨迹。初始运动状态的微小变化只能引起运动轨迹的微小变动。海王星的发现是牛顿力学确定论成功的迹的微小变动。海王星的发现是牛顿力学确定论成功的典范。典范。第第5 5章章 刚体的转动刚体的转动5 5 经典力学的成就和局限性经典力学的成就和局限性三、三、能量的连续性与能量量子化能量的连续性与能量量子化 经典物理中，宏观物体的能量是连续变化的，但经典物理中，宏观物体的能量是连续变化的，但近代物理的理论证明，能量的量子化是微观粒子的重近代物理的理论证明，能量的量子化是微观粒子的重要特性要特性。普朗克提出一维振子的能量普朗克提出一维振子的能量)3,2,1(nnhE 爱因斯坦认为光子能量爱因斯坦认为光子能量h 量子力学指出，物体（微观粒子）的位置和动量量子力学指出，物体（微观粒子）的位置和动量相互联系，但不能同时精确确定，并且一般作不连续相互联系，但不能同时精确确定，并且一般作不连续的变化的变化。
