1、2-4-1 功和功率 功是度量能量转换的基本物理量，它反映了力功是度量能量转换的基本物理量，它反映了力对空间的累积作用。对空间的累积作用。功的定义：在力在力 的作用下，的作用下，物体发生了位移物体发生了位移 ，则，则把力在位移方向的分力与把力在位移方向的分力与位移位移 的乘积称为功。的乘积称为功。FrrxyzO1rrFFrFrFWcos国际单位制单位：焦耳（J）abFrd变力做功元功：rFWddbabarFrFWdcosd合力的功：rFFFrFWbanbadd21banbabarFrFrFddd21n21WWWW结论：合力对质点所做的功等于每个分力对质点合力对质点所做的功等于每个分力对质点做功
2、之代数和做功之代数和。在直角坐标系在直角坐标系Oxyz中中 kFjFiFFzyxk zj yi xr zFyFxFkzj yi xkFjFiFrFWzybaxbazyxbaddddddd在自然坐标系中在自然坐标系中 nntteFeFFte srdd ttsstsstnnttbasFeseFeFrFW00ddd功率是反映做功快慢程度的物理量。功率是反映做功快慢程度的物理量。功率：平均功率：tWP瞬时功率：tWtWPtddlim0单位：单位：W=Js-1vFtrFtWPdddd设作用在质量为设作用在质量为2kg的物体上的力的物体上的力F=6t N。如。如果物体由静止出发沿直线运动，在头果物体由静止
3、出发沿直线运动，在头2 s内这力做了内这力做了多少功？（这里假设力沿位移的方向）多少功？（这里假设力沿位移的方向）ttmFa326taddvtttad3ddv两边积分：两边积分：ttt00d3dvv223tvtxddvtttxd23dd2 v20420249d236dttttxFWJ362-4-2 动能和动能定理 质点因有速度而具有的对外做功本领。质点因有速度而具有的对外做功本领。2k21vmE 单位：单位：J设质量为设质量为m的质点在力的作的质点在力的作用下沿曲线从用下沿曲线从a点移动到点移动到b点点rFWddrdFab1质点动能定理质点动能定理sFdcos)dd(sert)(21dd212
4、221vvvvvvmmWW质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。1k2k21222121EEmmWvvvvvdddddcosdmstmsFWtmmaFddcostv2质点系的动能定理质点系的动能定理 iFiF内一个由一个由n个质点组成的质点系，考察第个质点组成的质点系，考察第i个质点。个质点。质点的动能定理：质点的动能定理：iiEE1k2k内外iiWW对系统内所有质点求和对系统内所有质点求和 niiniiEE11k12kniniiiWW11外内1k2kEE外内WW 质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和质点系动能的增量等于作用于系统
5、的所有外力和内力做功之代数和。内力做功之代数和。内力做功可以改变系统内力做功可以改变系统的总动能。的总动能。例例2 如图所示，用质量为如图所示，用质量为m0 的铁锤把质量为的铁锤把质量为m 的钉的钉子敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的子敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入深度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入1cm深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完全相同，问第二次能把钉子敲入多深？全相同，问第二次能把钉子敲入多深？设铁锤敲打钉子前的设铁锤敲打钉子前的速度为速度为v0，敲打后
6、两，敲打后两者的共同速度为者的共同速度为vvv0)(00mmmmmm000vvxO1s2s铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻力大小为：力大小为：kxFf由动能定理，由动能定理，有：有：2102021d2101ksxkxmsv0vv,0mmsssxkxm11d21020v设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为S，则有，则有212121)(21ksssk21212)(sss112sss化简后化简后第二次能敲入的深度为：第二次能敲入的深度为：cm41.0cm1)12(211sss（1）重力的功）重力的功bzazxyzOa
7、brgm),(aaazyxa初始位置初始位置),(bbbzyxb末了位置末了位置baabrFWdkzj yi xkmgbadddbabazzmgzmgd 重力做功仅取决于质点的始、末位置重力做功仅取决于质点的始、末位置z za a和和z zb b，与质点经过的具体路径无关。与质点经过的具体路径无关。（2）万有引力做功万有引力做功 设质量为设质量为M的质点固的质点固定，另一质量为定，另一质量为m的质点的质点在在M 的引力场中从的引力场中从a a点运点运动到动到b b点。点。rermmGF20barrrrermmGWd20rrrerdcosddrrdrrd crdMabarbrbarrrrmGmr
8、rmGmWba11d020 万有引力做功只与质点的始、末位置有关，而万有引力做功只与质点的始、末位置有关，而与具体路径无关。与具体路径无关。（3）弹性力的功）弹性力的功x2bOx1mxamFx由胡克定律：由胡克定律：ikxF2121dddxxxxxkxi xikxxFW22212121kxkxW 弹性力做功只与弹簧的起始和末了位置有关，弹性力做功只与弹簧的起始和末了位置有关，而与弹性变形的过程无关。而与弹性变形的过程无关。做功与路径无关，只与始末位置有关的力。做功与路径无关，只与始末位置有关的力。保守力沿任何闭合路径做功等于零。保守力沿任何闭合路径做功等于零。0drF设保守力沿闭合路径设保守力
9、沿闭合路径acbda做功做功abcd按保守力的特点：按保守力的特点：因为：因为：所以：所以：adbacbWWbdaacbWW0acbacbbdaacbWWWWW保守力做的功与势能的关系：物体在保守力场中物体在保守力场中a、b两点的势能两点的势能Epa与与 Epb之差，等之差，等于质点由于质点由a点移动到点移动到b点过程中保守力所做的功点过程中保守力所做的功Wab。abbabaWrFEEdppppp)(EEEWabab 由物体的相对位置所确定的系统能量称为由物体的相对位置所确定的系统能量称为势能势能（E Ep p）（1）势能是一个系统的属性。）势能是一个系统的属性。（2）（3）势能的零点可以任意
10、选取。）势能的零点可以任意选取。设空间设空间rO点为势能的零点，则空间任意一点点为势能的零点，则空间任意一点 r的势能为：的势能为：orrorFrErErEd)()()(ppp 空间某点的势能空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力做的功。点移动到势能零点时保守力做的功。mghE p（地面（地面（h=0=0）为势能零点）为势能零点）2p21kxE（弹簧自由端为势能零点）（弹簧自由端为势能零点）rmmGE0p（无限远处为势能零点）（无限远处为势能零点）保守力功与势能的积分关系：pEW保守力功与势能的微分关系：pddEWzFyFxFrFWzyxdddddz
11、zEyyExxEEddddpppp所以：所以：xEFxpyEFypzEFzpkzEjyEixEFppp保守力的矢量式：保守力沿各坐标方向的分量，在数值上等于系保守力沿各坐标方向的分量，在数值上等于系统的势能沿相应方向的空间变化率的负值，其方向统的势能沿相应方向的空间变化率的负值，其方向指向势能降低的方向。指向势能降低的方向。结论：12ppEEW保内1k2kEE外内WW质点系的动能定理：质点系的动能定理：非保内保内内WWW其中其中1k2kEEWWW非保内保内外 1p1k2p2kEEEEWW非保内外pkEEE机械能12EEWW非保内外 质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保质点系机械能的增量等于
12、所有外力和所有非保守内力所做功的代数和。守内力所做功的代数和。质点系的功能原理0外W如果如果0非保内W，pkEEE恒量 当系统只有保守内力做功时，质点系的总机当系统只有保守内力做功时，质点系的总机械能保持不变。械能保持不变。机械能守恒定律 注意：（1 1）机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于）机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于非惯性系。这是因为惯性力可能做功。非惯性系。这是因为惯性力可能做功。（2 2）在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性）在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机械能不一定守恒。这是因为外力的功与参系中机械能不一定守恒。这是因为外力的功与参考系的选择有关。对一个参考
13、系外力功为零，但考系的选择有关。对一个参考系外力功为零，但在另一参考系中外力功也许不为零。在另一参考系中外力功也许不为零。例例3 传送带沿斜面向上运行速度为传送带沿斜面向上运行速度为v=1m/s，设物料无，设物料无初速地落到传送带下端的质量为初速地落到传送带下端的质量为m=50 kg/s，并被输送，并被输送到高度到高度h=5 m处，求配置的电动机所需功率。（忽略处，求配置的电动机所需功率。（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量损失）一切由于摩擦和碰撞造成的能量损失）hv解：解：在在t 时间内，质量为时间内，质量为mt 的物料落到皮带的物料落到皮带上，并获得速度上，并获得速度v。t内内系统动能的增量
14、：系统动能的增量：0212kvtmEi重力做功：重力做功：ghtmW电动机对系统做的功：电动机对系统做的功：tP由动能定理：由动能定理：221vtmghtmtPW2475W58.92150222ghmPv例例4 一长度为一长度为2l的匀质链条，平衡地悬挂在一光的匀质链条，平衡地悬挂在一光滑圆柱形木钉上。若从静止开始而滑动，求当链条滑圆柱形木钉上。若从静止开始而滑动，求当链条离开木钉时的速率（木钉的直径可以忽略）离开木钉时的速率（木钉的直径可以忽略）解：解：设单位长度的质量为设单位长度的质量为l 2lOOCC始末两态的中心分别为始末两态的中心分别为C和和C机械能守恒：机械能守恒：2221222v
15、lglllg l解得解得lgv例例5 5 计算第一、第二宇宙速度计算第一、第二宇宙速度已知：地球半径为已知：地球半径为R，质量，质量为为m0，卫星质量为，卫星质量为m。要使。要使卫星在距地面卫星在距地面h高度绕地球高度绕地球作匀速圆周运动，求其发作匀速圆周运动，求其发射速度。射速度。解：解：设发射速度为设发射速度为v1，绕地球的运动速度为，绕地球的运动速度为v。机械能守恒：机械能守恒：hRmmGmRmmGm020212121vvRm0m由万有引力定律和牛顿定律：由万有引力定律和牛顿定律：hRmhRmmG220v解方程组，得：解方程组，得：hRGmRGm0012v20RmmGmg gRRGm0代
16、入上式，得：代入上式，得：)2(1hRRgRvRh 131sm109.7gRv2.第二宇宙速度第二宇宙速度宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度（1）脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或至少）脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或至少 等于零。等于零。由机械能守恒定律：由机械能守恒定律：021pk022EERmmGmv解得：解得：13102sm102.11222vvgRRGm（2）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。两个或两个以上的物体在运动中两个或两个以上的物体在运动中发生极其短暂的相互作用，使物体的发生极其短暂的
17、相互作用，使物体的运动状态发生急剧变化，这一过程称运动状态发生急剧变化，这一过程称为为碰撞碰撞。1m1m2m2m1m10v20v1v2vxO动量守恒动量守恒2211202101vvvvmmmm完全弹性碰撞：完全弹性碰撞：碰撞后物体系统的机械能没有损失。碰撞后物体系统的机械能没有损失。非弹性碰撞：非弹性碰撞：碰撞后物体系统的机械能有损失。碰撞后物体系统的机械能有损失。完全非弹性碰撞：完全非弹性碰撞：碰撞后物体系统的机械能有损失，碰撞后物体系统的机械能有损失，且碰撞后碰撞物体结合成一体，以同一速度运动。且碰撞后碰撞物体结合成一体，以同一速度运动。1.完全弹性碰撞完全弹性碰撞 22221122022
18、10121212121vvvvmmmm2211202101vvvvmmmm210110212221202102112)(2)(mmmmmmmmmmvvvvvv(1)如果如果m1=m2，则，则v1=v20，v2=v10，即两物体，即两物体在碰撞时速度发生了交换。在碰撞时速度发生了交换。(2)如果如果v20=0,且且 m2 m1,则则v1=-v10,v2=02完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 21202101mmmmvvv由动量守恒定律由动量守恒定律完全非弹性碰撞中动能的损失完全非弹性碰撞中动能的损失 22122022101(21)2121()vvvmmmmE)(2)(212201021mmmmvv牛顿的碰撞定律：牛顿的碰撞定律：在一维对心碰撞中，碰撞后两物在一维对心碰撞中，碰撞后两物体的分离速度体的分离速度 v2 2-v1 1 与碰撞前两物体的接近速度与碰撞前两物体的接近速度 v1010-v2020 成正比，比值由两物体的材料性质决定成正比，比值由两物体的材料性质决定。3非弹性碰撞非弹性碰撞201012vvvve e 为恢复系数为恢复系数 e=0，则，则v2=v1，为完全非弹性碰撞。，为完全非弹性碰撞。e=1，则分离速度等于接近速度，为完全弹性碰撞。则分离速度等于接近速度，为完全弹性碰撞。一般非弹性碰撞一般非弹性碰撞：0 e 1
