1、重庆交通大学课件1第五章第五章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识本章重点：本章重点：1 1、偶然误差的特点、偶然误差的特点2 2、评定精度的指标、评定精度的指标3 3、中误差的计算、中误差的计算4 4、误差传播定律、误差传播定律本章难点：本章难点：1 1、中误差的计算、中误差的计算2 2、误差传播定律、误差传播定律重庆交通大学课件2一、概一、概 述述1 1、误差的概念、误差的概念测量误差测量误差()=)=真值（真值（X X）-观测值（观测值（L L）从测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差，比如：在误差，比如：1)1)对同一量多次观测，其观测
2、值不相同。对同一量多次观测，其观测值不相同。2)2)观测值不等于理论值：观测值不等于理论值：三角形三角形 +180+180 闭合水准闭合水准 h0h0重庆交通大学课件32 2、测量误差的来源、测量误差的来源 测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观测者的技术水平和感官鉴别能力的局限性及仪器本身测者的技术水平和感官鉴别能力的局限性及仪器本身构造的不完善等原因，都可能导致测量误差的产生。构造的不完善等原因，都可能导致测量误差的产生。所以，测量误差主要来自以下三个方面：所以，测量误差主要来自以下三个方面：(1)(1)外界条件外界条件 主要指观测环境中气温、
3、气压、空气湿度和清主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中带有误差。带有误差。(2)(2)仪器条件仪器条件 仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来误差。误差。(3)(3)观测者的自身条件观测者的自身条件 由于观测者感官鉴别能力所限以及技由于观测者感官鉴别能力所限以及技术熟练程度不同，也会在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误术熟练程度不同，也会
4、在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误差。差。重庆交通大学课件4通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为个方面综合起来，称为观测条件观测条件。观测条件不理想。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差的根本原因。和不断变化，是产生测量误差的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为通常把观测条件相同的各次观测，称为等精度观测；等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为观测条件不同的各次观测，称为不等精度观测。不等精度观测。重庆交通大学课件51 1）系统误差）系统误差 在相同的观测条件下，对某量进行了在相同的观测条件下，对某量进行了n
5、 n次观测，次观测，如果误差如果误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，这种误差称这种误差称为系统误差。系统误差一般具有累积性。为系统误差。系统误差一般具有累积性。系统误差产生的主要原因之一，是由于仪器设备制造不系统误差产生的主要原因之一，是由于仪器设备制造不完善。例如，用一把名义长度为完善。例如，用一把名义长度为50m50m的钢尺去量距，经检定钢的钢尺去量距，经检定钢尺的实际长度为尺的实际长度为50.005 m50.005 m，则每量一尺，就带有，则每量一尺，就带有+0.005 m+0.005 m的的误差误差(“+”(“+”表示在所量距离值中应
6、加上表示在所量距离值中应加上)，丈量的尺段越多，丈量的尺段越多，所产生的误差越大。所以这种误差与所丈量的距离成正比。所产生的误差越大。所以这种误差与所丈量的距离成正比。3 3、测量误差的分类、测量误差的分类 测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统系统误差和偶然误差。误差和偶然误差。重庆交通大学课件6再如，在水准测量时，当视准轴与水准管轴不平行再如，在水准测量时，当视准轴与水准管轴不平行而产生夹角时，对水准尺的读数所产生的误差为而产生夹角时，对水准尺的读数所产生的误差为 ，它与水准仪至水准尺之间的距离，它与水准仪至水准尺之间的距离S S成正比，所以这
7、种误差按某种规律变化。成正比，所以这种误差按某种规律变化。系统误差具有明显的规律性和累积性，对测量系统误差具有明显的规律性和累积性，对测量结果的影响很大。但是由于系统误差的大小和符号结果的影响很大。但是由于系统误差的大小和符号有一定的规律，所以可以采取措施加以消除或减少有一定的规律，所以可以采取措施加以消除或减少其影响。其影响。计算改正、观测方法、仪器检校计算改正、观测方法、仪器检校/s i 重庆交通大学课件72 2）偶然误差）偶然误差 在相同的观测条件下，对某量进行了在相同的观测条件下，对某量进行了n n次观测，次观测，如如果单个误差出现的大小和符号均不一定果单个误差出现的大小和符号均不一定
8、(无规律无规律)，则则这种误差称为偶然误差，又称为随机误差。例如，用这种误差称为偶然误差，又称为随机误差。例如，用经纬仪测角时的照准误差，钢尺量距时的读数误差等，经纬仪测角时的照准误差，钢尺量距时的读数误差等，都属于偶然误差。都属于偶然误差。偶然误差，就其个别值而言，在观测前我们确实偶然误差，就其个别值而言，在观测前我们确实不能预知其出现的大小和符号。但若在一定的观测条不能预知其出现的大小和符号。但若在一定的观测条件下，对某量进行多次观测，误差列却呈现出一定的件下，对某量进行多次观测，误差列却呈现出一定的规律性，称为统计规律。而且，随着观测次数的增加，规律性，称为统计规律。而且，随着观测次数的
9、增加，偶然误差的规律性表现得更加明显。偶然误差的规律性表现得更加明显。不可避免，无法消除，有互补性不可避免，无法消除，有互补性重庆交通大学课件8粗差与多余观测粗差与多余观测1 1、粗差粗差：因读错、记错、测错造成的：因读错、记错、测错造成的错误，错误，并非误差。并非误差。2 2、多余观测多余观测：观测某未知量时进行的多于：观测某未知量时进行的多于必要观测数外的观测。必要观测数外的观测。目的：目的：发现错误，剔除粗差；发现错误，剔除粗差；提高观测质量，进行精度评定。提高观测质量，进行精度评定。多余观测为什么不多余？（为什么要进行多余观测）重庆交通大学课件9二、偶然误差的统计特性二、偶然误差的统计
10、特性 在某测区，等精度观测了在某测区，等精度观测了217217个三角形的个三角形的内角之和，得到内角之和，得到217217个三角形闭合差个三角形闭合差 i i(偶然偶然误差，也即真误差误差，也即真误差)，然后对三角形闭合差，然后对三角形闭合差 i i 进行分析。进行分析。：当观测次数很多时，偶当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。而且，观测次数越多，规律性越明显。重庆交通大学课件100.0000.00000.0020.0051“0.1680.5031090.1660.5108总和总和0.0030.009
11、20.0030.0092“0.0090.02860.0080.0235“0.0120.03780.0120.0398“0.0150.046100.0180.05512“0.0250.074160.0220.06514“0.0280.083180.0230.06915“0.0310.092200.0320.09721“0.0450.134290.0460.13830“频率频率个数个数频率频率个数个数 为负值为负值 为正值为正值误差的区间误差的区间kknknkdnkdnk重庆交通大学课件1111 -24-21-18-15-12-9-6-3 0 +3+6+9+12+15+18+21+24 dnk在一
12、定观测条件下，偶然误差在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值的绝对值不会超过一定的限值绝对值较小的误差比绝绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概对值较大的误差出现的概率大率大；绝对值相等的正误绝对值相等的正误差和负误差出现的概差和负误差出现的概率相同；率相同；偶然误差的数学偶然误差的数学期望为零，即期望为零，即0lim,0)(nEnef22221)(正态分布曲线正态分布曲线偶然误差具偶然误差具有正态分布有正态分布的特性的特性重庆交通大学课件12 第一个特性说明偶然误差的第一个特性说明偶然误差的“有界性有界性”。它说明偶它说明偶然误差的绝对值有个限值，若超过这个限值，说明观然误
13、差的绝对值有个限值，若超过这个限值，说明观测条件不正常或有粗差存在；第二个特性反映了偶然测条件不正常或有粗差存在；第二个特性反映了偶然误差的误差的“密集性密集性”，即越是靠近即越是靠近00，误差分布越密集；，误差分布越密集；第三个特性反映了偶然误差的第三个特性反映了偶然误差的对称性对称性，即在各个区间，即在各个区间内，正负误差个数相等或极为接近；第四个特性反映内，正负误差个数相等或极为接近；第四个特性反映了偶然误差的了偶然误差的“抵偿性抵偿性”，它可由第三特性导出，即它可由第三特性导出，即在大量的偶然误差中，正负误差有相互抵消的特征。在大量的偶然误差中，正负误差有相互抵消的特征。因此，当因此，
14、当n n无限增大时，偶然误差的算术平均值应趋于无限增大时，偶然误差的算术平均值应趋于零。零。本章的主要内容就是在观测值具有大量偶然误差本章的主要内容就是在观测值具有大量偶然误差的情况下如何求得最接近观测对象真值的值及如何评的情况下如何求得最接近观测对象真值的值及如何评定其精度高低的方法。定其精度高低的方法。重庆交通大学课件13测量成果中都不可避免地测量成果中都不可避免地含有误差，在测量工作中，含有误差，在测量工作中，是使用是使用“精度精度”来判断观测来判断观测成果质量好坏的。所谓精度，成果质量好坏的。所谓精度，就是指误差分布的密集或离就是指误差分布的密集或离散程度。误差分布密集，误散程度。误差
15、分布密集，误差就小，精度就高；反之，差就小，精度就高；反之，误差分布离散，误差就大，误差分布离散，误差就大，精度就低。精度就低。三、评定精度的标准三、评定精度的标准xy精度较高精度较高精度较低精度较低重庆交通大学课件141、中误差、中误差中误差的定义：中误差的定义：mn 76.4,86.2 mm乙甲（n n为有限个数时的标准差）为有限个数时的标准差）nn22221方差的定义：方差的定义：nEDnlim)()(2标准差的定义：标准差的定义：+50+2-4-1-7+6乙组乙组-3-1-2+2+5甲组甲组真误差真误差134562134562例例:XLnEDnlim)()(22问题：真值X不知道时怎么
16、办？如何计算m？重庆交通大学课件15算术平均值（最或然值，最或是值）算术平均值（最或然值，最或是值）12 nllllxnn 1122,nnXlXlXl 设某量的真值为，设某量的真值为，n个观测值为，其相应的个观测值为，其相应的真误差为：真误差为：12,.nlll12,n 将等式两端分别相加并除以将等式两端分别相加并除以n n，则：，则：lXXxnn由偶然误差的第四特性可得，当时，由偶然误差的第四特性可得，当时，即：即：n 0nxX重庆交通大学课件16观测值的该正数观测值的该正数观测值的改正数观测值的改正数v v是是算术平均值与观测值之差算术平均值与观测值之差，即，即1122,nnvx l vx
17、 lvx l 将等式两端分别相加，得：将等式两端分别相加，得：vnxl 0v lxn即一组等精度观测值的改正值之和恒等于零即一组等精度观测值的改正值之和恒等于零1vvmn 用改正数计算中误差公用改正数计算中误差公式（白塞尔公式）：式（白塞尔公式）：nm重庆交通大学课件17)()()(2211xXvxXvxXvnn)()(xXnxXnvnxX)(22nvvv222221222121312()2()nnnXxnnn 222)(nxX1nvvnnvv1vvmn nm各各式式相相加加平方求和平方求和nnlXlXlX2211111111lxvlxvlxv重庆交通大学课件18课堂练习课堂练习 在相同的观测
18、条件下，对某直线进行了五次测量，测量结果分别在相同的观测条件下，对某直线进行了五次测量，测量结果分别为为:117.255,117.258,117.246,117.261,117.250:117.255,117.258,117.246,117.261,117.250。求该直线边长。求该直线边长的观测值中误差。的观测值中误差。次数次数观测值观测值(m)改正数改正数V(mm)VV计算过程计算过程1117.2552117.2583117.2464117.2615117.250 lxnvxl1466.0415 1vvmmmn-1-48-74586.270116644916146117.254重庆交通大学
19、课件192、容许误差、容许误差mm23 或容 定义定义 由偶然误差的特性可知，在由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。值就是容许（极限）误差。区别误差和错误的界限区别误差和错误的界限中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。%7.99)33(%5.95)22(%3.68)(mmPmmPmmP重庆交通大学课件203、相对误差、相对误差 相对误差相对误差K K是中误差的绝对值是中误差的绝对值m m与相应观测值与相应观测值 D D之比，通
20、常以分子为之比，通常以分子为1 1的分式来表示，称其为的分式来表示，称其为相对（中）误差。即相对（中）误差。即:NmDDmK11 :重庆交通大学课件21 对于能直接观测的量对于能直接观测的量(如角度、距离、高差等如角度、距离、高差等)，经过多，经过多次观测后，便可通过真误差或改正数计算出观测值的中误差，次观测后，便可通过真误差或改正数计算出观测值的中误差，作为评定观测值精度的标准。但在实际工作中，某些未知量作为评定观测值精度的标准。但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来根据一定
21、的函数关系计算出来(间接观测值），这些未知量即间接观测值），这些未知量即为观测值的函数。例如，在水准测量中，两点间的高差为观测值的函数。例如，在水准测量中，两点间的高差h=a-b，则则h是直接观测值是直接观测值a和和b的函数；在角度测量中，水平角的函数；在角度测量中，水平角=b-a，则水平角，则水平角就是直接观测值就是直接观测值a和和b的函数等等。的函数等等。本节所要讨论的就是在直接观测值中误差为已知的情况本节所要讨论的就是在直接观测值中误差为已知的情况下，如何求观测值函数值（间接观测值）中误差的问题。阐下，如何求观测值函数值（间接观测值）中误差的问题。阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系
22、的定律，称为述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律，称为误误差传播定律差传播定律。四、误差传播定律四、误差传播定律重庆交通大学课件221 1、一般函数的中误差、一般函数的中误差令令 的系数为的系数为 ，(3)式为：式为：ixiixFf由于由于 和和 是一个很小的量，可是一个很小的量，可代替代替上式中的上式中的 和和 ：nnxxFxxFxxF2211(3)代入代入(2)(2)得得ixidxdz对对(1)(1)全微分：全微分：nndxxFdxxFdxxFdZ2211(2)设有函数：),(21nxxxFZ为独立观测值为独立观测值ix设设 有真误差有真误差 ，函数，函数 也产生真误差也产生真误差
23、ixixZ(1)重庆交通大学课件23)()(22)(11)()2()2(22)2(11)2()1()1(22)1(11)1(knnkkknnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf对对Z观测观测了了k次，次，有有k个式个式(4)对对(4)式中的一个式子取平方：（式中的一个式子取平方：（i，j=1n且且ij）jijinnxxffxxffxxffxfxfxf2223131212122222221212(5)对对K K个个(5)(5)式取总和：式取总和：njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(6)重庆交通大学课件24njijijijinnxxffxfxfxf1,222
24、222212122(6)(6)(6)式两边除以式两边除以K K，得，得(7)(7)式：式：(7)njijijijinnKxxffKxfKxfKxfK1,222222212122由偶然误差的抵偿性知：由偶然误差的抵偿性知：0limnxxjinKxfKxfKxfKnn22222221212即即22222221212xnnxxzmfmfmfm(8)重庆交通大学课件2522222221212xnnxxzmfmfmfm(8)考虑考虑 ，代入上式，得中误差关系式：，代入上式，得中误差关系式：iixFf2222222121nnZmxFmxFmxFm上式为一般函数的中误差公式，也称为上式为一般函数的中误差公式
25、，也称为误差传播定律误差传播定律。重庆交通大学课件26 通过以上误差传播定律的推导，我们通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结出求可以总结出求观测值函数中误差的步骤观测值函数中误差的步骤：1.1.列出函数式；列出函数式；2.2.对函数式求全微分；对函数式求全微分；3.3.套用误差传播定律，写出中误差式。套用误差传播定律，写出中误差式。2222222121nnZmxFmxFmxFm重庆交通大学课件27 1 1）倍数函数的中误差）倍数函数的中误差 设有函数式设有函数式 (x (x为观测值，为观测值，K K为为x x的系数的系数)全微分全微分 得中误差式得中误差式xxZKmmKmKdxdZKxZ2
26、2例：例：量得量得 地形图上两点间长度地形图上两点间长度 =168.5mm =168.5mm 0.2mm,0.2mm,计算该两点实地距离计算该两点实地距离S S及其中误差及其中误差m ms s：l1000:1m2.0m5.168m2.0mm2002.01000100010001000SmmddlSlSlS解：列函数式解：列函数式 求全微分求全微分 中误差式中误差式2 2、几种常用函数的中误差、几种常用函数的中误差 重庆交通大学课件282 2）线性函数的中误差）线性函数的中误差 设有函数式设有函数式 全微分全微分 中误差式中误差式nnxkxkxkZ2211nndxkdxkdxkdz2211222
27、2222121nnZmkmkmkm例：设有某线性函数例：设有某线性函数 其中其中 、分别为独立观测值，它们的中误差分分别为独立观测值，它们的中误差分 别为别为 求Z的中误差 。314121491144xxxZ321xxxmm6,mm2,mm3321mmmZm314121491144dxdxdxdzmm6.1623214121492144233222211xxxZmfmfmfm解：对上式全微分：解：对上式全微分：由中误差式得：由中误差式得：重庆交通大学课件29由于等精度观测时，由于等精度观测时，代入上式：，代入上式：得得mmmmn21nmmnnmX221 由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中
28、误由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了差缩小了 倍。倍。n 函数式函数式 全微分全微分 中误差式中误差式 nnnnnllllx12111lnnlnlnddddx1211121221211222nnnnxmmmm算术平均值的中误差式算术平均值的中误差式 对某观测量进行多次观测对某观测量进行多次观测(多余观测多余观测)取平均，取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。是提高观测成果精度最有效的方法。重庆交通大学课件303 3）和或差函数的中误差）和或差函数的中误差 函数式：函数式：全微分：全微分：中误差式：中误差式：nxxxZ21ndxdxdxdz2122221nZmmmm当等精度观测
29、时：当等精度观测时：上式可写成：上式可写成：mmmmmn321nmmZ例：测定例：测定A、B间的高差间的高差 ，共连续测了，共连续测了9站。设测量站。设测量 每站高差的中误差每站高差的中误差 ，求总高差，求总高差 的中的中 误差误差 。解：解：ABhmm2mhmABh921hhhhABmm692nmmh重庆交通大学课件31观测值函数中误差公式汇总 观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式函数式 函数的中误差函数的中误差一般函数一般函数倍数函数倍数函数 和差函数和差函数 线性函数线性函数 算术平均值算术平均值 ),(21nxxxFZ2222222121nnZmxFmxFmxFmx
30、xZKmmKmKxZ22nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmkm nnnnnllllx12111nmmX重庆交通大学课件32下面让我们来看几个例题吧下面让我们来看几个例题吧重庆交通大学课件33按三角形的闭合差求测角中误差按三角形的闭合差求测角中误差已知对某已知对某n个三角形的内角进行了同精度观测，并求得个三角形的内角进行了同精度观测，并求得它们的闭合差分别为，求观测三角形它们的闭合差分别为，求观测三角形内角时的测角中误差内角时的测角中误差12,nm三角形闭合差的中误差：三角形闭合差的中误差：mnn 123180 3mm33mmn 菲列罗公式菲列罗
31、公式重庆交通大学课件34水准测量中，已知每站高差的中误差为，设每站水准测量中，已知每站高差的中误差为，设每站高差均为等精度观测，求每公里高差中误差和水高差均为等精度观测，求每公里高差中误差和水准路线为准路线为公里的高差中误差公里的高差中误差m站kmm12nhhhhhmn m 站设每站水准路线长为设每站水准路线长为s，则，则nS，即，即ns，代入上式得：，代入上式得：hSmms站1Skm1kmmms 站则水准路线为则水准路线为km的高差中误差为：的高差中误差为：hkmSmm 重庆交通大学课件35 例例 某一段距离共丈量了六次，结果如表下所示，求算术平均某一段距离共丈量了六次，结果如表下所示，求算
32、术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。测测次次 观测值观测值/m 观测值观测值改正数改正数v/m m vv 计计 算算 123456平平均均148.643148.590148.610148.624148.654148.647 m628.148 nlL148.628 1 nvvm-15+38+18+4-26-19 0 v 1 nnvvM2251444324166763613046163046 mm7.24 )16(63046 mm1.10 DMK m628.148m0101.0 147161 重庆交通大学课件36例：某建筑场地已划定为长
33、方形，独立地测定其长和宽分别为例：某建筑场地已划定为长方形，独立地测定其长和宽分别为a=30.000m、b=15.000m,其中误差分别为其中误差分别为ma=0.005m、mb=0.003m，求该场地面积，求该场地面积A及其中误差及其中误差mA。mabAmbaA000.30,000.15baAab222222013725.0mmambmbaAmmA117.01 1、列出函数关系式，并求函数值、列出函数关系式，并求函数值A=aA=ab=450.000mb=450.000m2 22 2、求函数对各观测值的偏导函数、求函数对各观测值的偏导函数3 3、列出函数的真误差表达式、列出函数的真误差表达式4
34、4、转换为中误差表达式并求其值、转换为中误差表达式并求其值 解：显然这是一个任意函数。解：显然这是一个任意函数。重庆交通大学课件37设有函数设有函数 z=3x-y+2l 10其中：其中：x=2l+5,y=3l-6已知已知 l 的中误差为的中误差为 ml,计算函数计算函数z的中误差的中误差 mz。解法解法1.mx=2ml ,my=3ml mz2=9mx2+my2+4ml2=49ml2 mz=7ml重庆交通大学课件38解法解法2.z=3x-y+2l 10，x=2l+5,y=3l-6z=6l+15-3l+6+2l 10 =5l+11 所以：所以：mz=5ml两种方法，两样结果，哪里错了？两种方法，两样结果，哪里错了？
