1、1第第4篇篇 波动与光学波动与光学2 机械振动：机械振动：物体位置在某一值附近来回往复的变化物体位置在某一值附近来回往复的变化iQHEr等等等等1 简谐振动的描述简谐振动的描述 广义振动：广义振动：一个物理量在某一定值附近往复变化一个物理量在某一定值附近往复变化 该物理量的运动形式称振动该物理量的运动形式称振动 物理量：物理量：3共振共振(简谐振动）简谐振动）振动振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动无阻尼自由谐振动振动的形式振动的形式:4重要的振动形式是重要的振动形式是 简谐振动简谐振动(S
2、HV)simple harmonic vibration物理上：物理上：一般运动是多个简谐振动的合成一般运动是多个简谐振动的合成数学上：数学上：付氏级数付氏级数 付氏积分付氏积分也可以说，也可以说，SHV是振动的基本模型是振动的基本模型或说，或说，振动的理论建立在振动的理论建立在SHV的基础上的基础上注意：注意：以机械振动为例说明振动的一般性质以机械振动为例说明振动的一般性质51）谐振动表达式）谐振动表达式0222xtxddtAxcos从对象的运动规律出发从对象的运动规律出发（电学规律电学规律 力学规律等）力学规律等）SHV的标准形式的标准形式T小结小结2）动力学方程）动力学方程 S H V
3、的判据的判据6二二.简谐振动的描述简谐振动的描述tAxcostAtxsindd2costAxtAta22cosddcos2tAa1.解析描述解析描述72.曲线描述曲线描述ToxtAAaA2tAxcos2costAcos2tAa8t3.旋转矢量描述旋转矢量描述用匀速圆周运动用匀速圆周运动 几何地描述几何地描述 S H V规定规定xoAAA tAxcosx端点端点在在x轴上的投影式轴上的投影式逆时针转逆时针转以角速度以角速度)cos(tAxt9tAxcos1）直观地表达振动状态直观地表达振动状态优点优点tx0Axt当振动系统确定了振幅以后，当振动系统确定了振幅以后，表述振动的关键就是表述振动的关键
4、就是相位相位，即，即表达式中的余弦函数的表达式中的余弦函数的综量综量)(t而旋转矢量图而旋转矢量图可可直观地显示该综量直观地显示该综量分析解析式分析解析式可知可知用图代替了文学的叙述用图代替了文学的叙述10 x如如 文学叙述说，文学叙述说，t 时刻弹簧振子质点时刻弹簧振子质点 在正的端点在正的端点Ax 0t旋矢与轴夹角为零旋矢与轴夹角为零123t 质点经二分之一振幅质点经二分之一振幅处向负方向运动处向负方向运动xoA意味意味A意味意味2Ax 011A 质点过平衡位置向负方向运动质点过平衡位置向负方向运动343t5Axt同样同样432 0向负方向运动向负方向运动x12xoAA2Ax 00 x 0
5、2或或2Ax 0 xoxAAA6786780 向正向运动向正向运动13cos2coscos2tAatAtAxxaAAA2由图看出：速度超前位移由图看出：速度超前位移加速度超前速度加速度超前速度2称两振动称两振动同相同相2）方便地方便地比较振动步调比较振动步调位移与加速度位移与加速度称两振动称两振动反相反相0若若143）方便计算）方便计算用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算例：质量为例：质量为m的质点和劲度系数为的质点和劲度系数为k的弹簧的弹簧 组成的弹簧谐振子组成的弹簧谐振子 t=0时，质点过平衡位置且向正方向运动时，质点过平衡位置且向正方向运动求：物体运动到负
6、的二分之一振幅处时求：物体运动到负的二分之一振幅处时 所用的所用的最短时间最短时间150ttt67mk67xo解：设解：设 t 时刻到达末态时刻到达末态由已知画出由已知画出t=0 时刻的旋矢图时刻的旋矢图再画出末态的旋矢图再画出末态的旋矢图由题意选蓝实线所示的位矢由题意选蓝实线所示的位矢设始末态位矢夹角为设始末态位矢夹角为 因为因为得得繁复的三角函数的运算用匀速繁复的三角函数的运算用匀速圆周运动的圆周运动的一个一个运动关系求得运动关系求得162 简谐振动的能量简谐振动的能量 如，弹簧谐振子如，弹簧谐振子kmx0 x系统机械能守恒系统机械能守恒以弹簧原长为势能零点以弹簧原长为势能零点ckxm22
7、2121)(cos21)(sin2122222tkAtmAkm22222212121mAkxm221kA17小号发出的波足以把玻璃杯振碎小号发出的波足以把玻璃杯振碎181940年华盛顿的塔科曼大桥建成年华盛顿的塔科曼大桥建成同年同年7月的一场大风引起桥的共振月的一场大风引起桥的共振,桥桥被摧毁。被摧毁。(视频再现桥塌过程视频再现桥塌过程)194 简谐振动的合成简谐振动的合成一一.振动方向相同振动方向相同 振动频率相同的振动频率相同的 两个两个SHV的合成的合成二二.振动方向相同振动方向相同 振动频率相同振动频率相同 振幅相同振幅相同 相邻相位相邻相位差相同差相同 的的N个个SHV的合成的合成三
8、三.振动方向相同振动方向相同 频率略有差别的频率略有差别的 振幅相等的振幅相等的 两个两个SHV的合成的合成四四.两个垂直方向谐振动的合成两个垂直方向谐振动的合成五五.谐振分析谐振分析20 当一个物体同时参与几个谐振动时当一个物体同时参与几个谐振动时 就需考虑振动的合成问题就需考虑振动的合成问题 本节只讨论满足线性叠加的情况本节只讨论满足线性叠加的情况 本节所讨论的本节所讨论的同频率同频率的谐振动合成结果的谐振动合成结果 是波的是波的干涉和偏振光干涉干涉和偏振光干涉的重要基础的重要基础 本节所讨论的本节所讨论的不同频率不同频率的谐振动合成结果的谐振动合成结果 可以给出重要的可以给出重要的实际实
9、际应用应用21一一.振动方向相同振动方向相同 振动频率相同的振动频率相同的 两个两个SHV的合成的合成21xxcos(cos(21AA)21tt线性叠加线性叠加21xxxxo1A12A2A0t结果：结果：仍是谐振动仍是谐振动振动频率仍是振动频率仍是 振动的振幅振动的振幅cos2212221AAAAA（双光束干涉的理论基础）（双光束干涉的理论基础）22cos2212221AAAAA 若若021AAA21AAA反相反相，合振动，合振动减弱减弱同相同相，合振动，合振动加强加强特殊结果：特殊结果：若若21AA 若若两振动同相两振动同相两振动反相两振动反相12AA 0A可能的最强振动可能的最强振动“振动
10、加振动振动加振动”不振不振动动23二二.振动方向相同振动方向相同 振动频率相同振动频率相同 振幅相同振幅相同 相邻相位差相同相邻相位差相同 的的N个个SHV的合成的合成 taxcos1)cos(2tax)2cos(3tax)1(cosNtaxN24xaARN2sin2aR 2sin2RA2sin2sinNaNxxxxx321线性相加线性相加用旋矢法求解用旋矢法求解由图得由图得25xaR2sin2sinNaA 一般情况一般情况特例特例1）2k,2,1,0kaNaA aa主极大主极大A2）2kNNk,0的倍数的整数的倍数的整数0A极小极小263）)12(kN,2,1,0kRA2次极大次极大（多光束
11、干涉的理论基础）（多光束干涉的理论基础）特例特例1）2k,2,1,0kaNaA aa主极大主极大A2）2kNNk,0的倍数的整数的倍数的整数0A极小极小27例：例：三个同频率三个同频率 同振幅同振幅A0 同方向的同方向的SHV相邻相位差为相邻相位差为 /2 求：合振幅求：合振幅A解：解：画旋矢图画旋矢图/3/3/3/30AA由图很容易得到由图很容易得到 A=2A0或将已知条件代入公式或将已知条件代入公式2sin2sin0NAA 得出结果（请自解）得出结果（请自解）28三三.振动方向相同振动方向相同 频率略有差别的频率略有差别的 振幅相等的振幅相等的 两个两个SHV的合成的合成 拍拍分振动：分振
12、动：tAxtAx202101coscos21线性相加：线性相加：ttAxxx2cos2cos22121021结论：结论：合成已不再是谐振动合成已不再是谐振动 但考虑到但考虑到 1 2 可以用可以用 谐振动表达式等效，加深认识。谐振动表达式等效，加深认识。29ttAxxx2cos2cos22121021分析：分析：2121221则则tA2cos2210较较t2cos21随时间变化缓慢随时间变化缓慢将合成式写成谐振动形式将合成式写成谐振动形式ttAxcos)(tAtA2cos2)(210309tx1 2tx2 1=1-2 tx合振动可看做是振幅缓变的谐振动合振动可看做是振幅缓变的谐振动合成振动如图
13、示合成振动如图示表达式为表达式为ttAx2cos2cos22121031|21vvv拍 拍拍 合振动的周期性的强弱变化叫做合振动的周期性的强弱变化叫做拍拍 拍频拍频 单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频测未知频率的一种方法测未知频率的一种方法tAtA2cos2)(210由式由式得得222211演示演示两音叉拍两音叉拍32四四.两个垂直方向谐振动的合成两个垂直方向谐振动的合成1.同频率的谐振动合成同频率的谐振动合成21)cos()cos(2211tAytAx线性相加：线性相加：)cos()cos(2211tAtAyx轨迹方程是椭圆轨迹方程是椭圆即，合成的一
14、般结果是椭圆即，合成的一般结果是椭圆3312 不同，椭圆形状、旋向也不同。不同，椭圆形状、旋向也不同。=3/2 =5/4 =7/4 =/2 =/4PQ =0yx =3/4（-3/4）（-/2）（-/4）34例例1 用旋矢法作图用旋矢法作图tAxcos1)4cos(2tAyxxyy1A2A1A2A350a)SHV21tgAAb)xyxyo1A2A0振动方向旋转振动方向旋转2c)2xy正椭圆正椭圆若若21AA（偏振光干涉的理论基础）（偏振光干涉的理论基础）例例2 特殊结果特殊结果圆圆36 2.频率比是简单的正整数频率比是简单的正整数nmnm,21，合成轨迹为合成轨迹为稳定的闭合曲线稳定的闭合曲线李萨如图李萨如图 yxA1A20-A2-A1达达到到最最大大的的次次数数达达到到最最大大的的次次数数yxyxyx 例如左图：例如左图：23 yx 应用：应用：测定未知频率测定未知频率演示垂演示垂直合成直合成第第19章结束章结束
