1、22T 9-6 有一个弹簧振子，振幅有一个弹簧振子，振幅 周期周期 初相初相 试写出它的运动试写出它的运动方程，并作出方程，并作出,m102.0-2A,1.0sT,43图。图和图、a-tv-tx-t解：解：弹簧振子的振动是简谐振动，只要确定弹簧振子的振动是简谐振动，只要确定了三个特征量了三个特征量 ，其运动方程为：，其运动方程为：)cos(tAx和、A1.0sT则：则：)43 2(cos102.0-2tx)43 2(cos102.0-2tx)43 2(sin 10-4dtd2-txv)43 2(cos10-8dtd2-22txa弹簧振子的速度和加速度分别为：弹簧振子的速度和加速度分别为：图如下
2、：图和图、a-tv-tx-tta 图图tx 图图tv 图图A2AxvatttoAoo)43 2(cos102.0-2tx 9-7 若简谐振动运动方程为：若简谐振动运动方程为：，式中式中x的单位为的单位为m，t的单位为的单位为s。求：。求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）t=2s时的位移、速度和加速度。时的位移、速度和加速度。)4 20cos(0.10tx解解：(1)此简谐振动方程与标准简谐振动方程此简谐振动方程与标准简谐振动方程 比较，可确定了三个特征量比较，可确定了三个特征量)cos(tAx)4 20cos(0.10tx由：由：得：得：,0.1m
3、A,s 20-1,4,0.1mA,s 20-1,4则：则：0.1s2T 10Hz1T(2)t=2s时的位移、速度和加速度为：时的位移、速度和加速度为：m107.07)0.2540(cos0.1-2x-4.44m/s)0.2540(sin -2dtdxv2222m/s10-2.79)0.2540(cos-40dtdxa)4 20cos(0.10tx 9-13 有一个弹簧，当其下端挂一质量为有一个弹簧，当其下端挂一质量为m的的物体时，伸长量为物体时，伸长量为 。若使物体上下。若使物体上下振动，且规定向下为正方向。振动，且规定向下为正方向。（1）当）当t=0时，物体在平衡位置上方时，物体在平衡位置上
4、方 处，由静止开始向下运动，求运动方程；处，由静止开始向下运动，求运动方程；（2）当）当t=0时，物体在平衡位置并以时，物体在平衡位置并以 的速度向上运动，求运动方程。的速度向上运动，求运动方程。m109.8-2m108.0-20.60m/smk2102101)/(vxA解解：（：（1）三个特征量三个特征量 分别为：分别为：和、Amlmg/1-10sg/0 m10-8.00t10-210vx时，m108.0-20sin-cos0t111011110AvAAx时1旋转矢量法？旋转矢量法？)10cos(108.021tx故运动方程为：故运动方程为：（2）特征量特征量 分别为：分别为：、A22022
5、02)/(vxA-0.6m/s 00t2020vx时，m106.0-20sin-0cos0t22202220AvAx时22)2 10cos(106.022tx故运动方程为：故运动方程为：旋转矢量法？旋转矢量法？9-14 某振动质点的某振动质点的 曲线如图所示，试求：曲线如图所示，试求：（1）运动方程；）运动方程；（2）点）点P对应的相位；对应的相位；（3）到达）到达P相应位置所需时间。相应位置所需时间。x-tx(m)t(s)00.100.054.0P0.1mA3-0解解：（1）由由 x-t 曲线可直接得到：曲线可直接得到：x(m)t(s)00.100.054.0P0 0.05m0t00vx时，
6、0sin-2cos0t0000AvAAx时由由 x-t 曲线可知：曲线可知：x(m)t(s)00.100.054.0P3-424st时，)3-cos(0.10tx 则：则：245故：)3-245cos(0.10tx 运动方程为：运动方程为：1.6st（2）P点的位置是从点的位置是从A向负方向运动向负方向运动x(m)t(s)00.100.054.0P 0sin-cosAvA Ax即：即：t12-即：即：t245)3(-0（3）到达到达P点所需要的时间点所需要的时间t0.10 x0.05tPPt2AQt0.1-oxAAOtQo旋转矢量法？旋转矢量法？9-19 有一单摆，长为有一单摆，长为1.0m，
7、最大摆角为，最大摆角为50，如，如图所示。图所示。（1）求摆的角频率和周期；）求摆的角频率和周期；（2）设开始时摆角最大，）设开始时摆角最大，试写出单摆的运动方程；试写出单摆的运动方程；（3）当摆角为）当摆角为30时的角速时的角速度和摆球的线速度度和摆球的线速度。mm 解：解：单摆在摆角较小单摆在摆角较小()时，时，的变化为的变化为简谐振动简谐振动05)cos(maxt（1）单摆的角频率和周单摆的角频率和周期如下：期如下：-13.13slg2.01s2Tm（2）建立如图所示的坐建立如图所示的坐标系，则标系，则0sin-dd cos0t0max0tmax0max0t时00tcos3.1336故：
8、故：m（3）当摆角为当摆角为30时时1-s0.218mddtlv线速度为：线速度为：)cos(maxtmax)cos(t0.6)sin(-ddmaxtt)(cos-1-2maxt-1max-0.218s-0.8 9-23：如图所示，一劲度系数为如图所示，一劲度系数为k的轻弹簧，的轻弹簧，其下挂有一质量为其下挂有一质量为m1的空盘。现有一质量为的空盘。现有一质量为m2的物体从盘上方高为的物体从盘上方高为h处自由落到盘中，并和处自由落到盘中，并和盘粘在一起振动。问：盘粘在一起振动。问：（1）此时的振动周期与空）此时的振动周期与空盘作振动的周期有何不同？盘作振动的周期有何不同？（2）此时的振幅为多大
9、？）此时的振幅为多大？m1khm2 解：（解：（1）空盘和物体落入其中的周期分别为：空盘和物体落入其中的周期分别为：m1khm2周期为：周期为：2T21211 mmkmkkmmTkmT212211122 22 解：（解：（2）取新系统的平衡位置为坐标原点取新系统的平衡位置为坐标原点O：m1khm2x0Oxl1l2初始位移初始位移x0为空盘时的平衡位置相对于粘上物体为空盘时的平衡位置相对于粘上物体以后系统平衡位置的位移以后系统平衡位置的位移210-llx gkmmgkm211-gkm2-初始速度初始速度v0为物体粘在盘上的共同速度为物体粘在盘上的共同速度0212)(vmmvmvmmmv)(212
10、0ghmmm2)(212故系统振动的振幅为：故系统振动的振幅为：22020)(vxA)g(21212mmkhkgm 9-24 如图所示，劲度系数为如图所示，劲度系数为k的轻弹簧系一质的轻弹簧系一质量为量为m1的物体，在水面上作振幅为的物体，在水面上作振幅为A的简谐振的简谐振动。有一质量为动。有一质量为m2的粘土从高度为的粘土从高度为h处自由下处自由下落，正好在落，正好在(a)物体通过平衡位置时，物体通过平衡位置时，(b)物体物体在最大位移处时，落在物体上。分别求：在最大位移处时，落在物体上。分别求：kox12mh（1）振动周期有何变化？）振动周期有何变化？（2）振幅有何变化？）振幅有何变化？解
11、：解：（1）弹簧简谐振动的弹簧简谐振动的固有周期只与弹簧的劲度固有周期只与弹簧的劲度系数和振子的质量有关。系数和振子的质量有关。kox12mh弹簧的周期为：弹簧的周期为：2T211 mmkmkbakmmTkmTbbaa21122 22abTT 故：故：kox12mh（2）(a)系统振动的振幅系统振动的振幅和物体经过平衡位置时的和物体经过平衡位置时的速度有关：速度有关：vmmvm)(211粘土在平衡位置落至物体粘土在平衡位置落至物体前后，水平方向动量守恒前后，水平方向动量守恒粘土落至物体前后，系统的机械能分别守恒粘土落至物体前后，系统的机械能分别守恒2212212)(2121 2121vmmAk
12、vmkAAmmmA)(211AA 故：故：kox12mh（2）(b)系统振动的振幅和系统振动的振幅和物体经过平衡位置时的速物体经过平衡位置时的速度有关：度有关：vmmvm)(211在最大位移处粘土落至物体在最大位移处粘土落至物体前后，水平方向动量守恒前后，水平方向动量守恒0)(211mmvmvAA 故：故：9-25 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐振动，其最大加速度为作简谐振动，其最大加速度为 。求：。求：0.10kgm101.0-2-2s4.0m（1）振动的周期；振动的周期；（2）物体通过平衡位置时的总能量与动能；物体通过平衡位置时的总能量与动能；（3）物体在何处其动能和势
13、能相等；物体在何处其动能和势能相等；（4）当物体的位移为振幅的一半时动能、势当物体的位移为振幅的一半时动能、势能各占总能量的多少？能各占总能量的多少？解：（解：（1）振动的周期：振动的周期：2T2maxAamax2aAAamax（2）当系统处于平衡状态时，由机械当系统处于平衡状态时，由机械能守恒可知系统的总能量和动能相等能守恒可知系统的总能量和动能相等221mvEEk2221mAmax21mAaJ102.0-3（3）设振子在设振子在x0处动能和势能相等，则处动能和势能相等，则EEEPk21220212121kAkx220Axm107.07-3（4）当物体位移的大小为振幅的一半时当物体位移的大小
14、为振幅的一半时221kxEP势能为：势能为：2)21(21AkE41动能为：动能为：PkE-EE E43 9-30 两个同频率简谐振动两个同频率简谐振动1和和2的振动曲线的振动曲线如图所示，求：如图所示，求：（1）两简谐振动的运动方程两简谐振动的运动方程x1和和x2；（2）在同一图中画出两简谐振动的旋转矢量；在同一图中画出两简谐振动的旋转矢量；（3）若两简谐振动叠加，求合振动的运动方程。若两简谐振动叠加，求合振动的运动方程。tTxo1051212m)10(1.0-2 解：解：图中可以直接得到振动的振幅和周期，图中可以直接得到振动的振幅和周期，可以通过初始条件确定两个简谐振动的出相位可以通过初始
15、条件确定两个简谐振动的出相位（1）由振动曲线可知，由振动曲线可知，振幅为：振幅为：0.1mA周期为：周期为：2sTT2tTxo1051212m)10(1.0-2tTxo1051212m)10(1.0-20sin-0cos11101110AvAx2-1旋转矢量法？旋转矢量法？0 00t1010vx时，曲线曲线1：)2-0.1cos(1tx 曲线曲线1的运动方程为：的运动方程为：tTxo1051212m)10(1.0-2 0sin-2cos222022220AvAAx32旋转矢量法？旋转矢量法？0 50t2020vx时，曲线曲线2：)3 0.1cos(2tx曲线曲线2的运动方程为：的运动方程为：（2）由振动曲线可以画出旋转矢量图由振动曲线可以画出旋转矢量图tTxo1051212m)10(1.0-22A2A1Aox（3）合振动的运动方程为：合振动的运动方程为：tTxo1051212m)10(1.0-2)cos(21tAxxx)-cos(212212221AAAAA0.052mtTxo1051212m)10(1.0-222112211coscossinsinarctanAAAA12-268)arctan(-0.合振动的运动方程为：合振动的运动方程为：)12-0.052cos(tx
