1、实验二 MATLAB中的极限、微分和积分运算 Nanjing University of Posts and Telecommunications一、实验目的熟悉熟悉MATLAB软件中关于极限、微分运算和不定软件中关于极限、微分运算和不定积分、定积分的基本命令，掌握利用积分、定积分的基本命令，掌握利用MATLAB软软件进行求极限和微分运算的方法。掌握利用件进行求极限和微分运算的方法。掌握利用MATLAB软件进行求不定积分、定积分等积分运软件进行求不定积分、定积分等积分运算的方法。算的方法。Nanjing University of Posts and Telecommunications二、相
2、关知识在微积分中，我们曾经学习了求函数的极限、微分和不定在微积分中，我们曾经学习了求函数的极限、微分和不定积分和定积分的运算，那时我们根据微积分的原理，学习积分和定积分的运算，那时我们根据微积分的原理，学习了一整套各种各样的方法，其中包括了许多技巧，现在了一整套各种各样的方法，其中包括了许多技巧，现在我我们尝试用软件来解决这样的问题。们尝试用软件来解决这样的问题。Nanjing University of Posts and TelecommunicationsMATLAB提供的命令函数提供的命令函数limit()可以完成极限运可以完成极限运算，其调用格式如下：算，其调用格式如下：limit(
3、F,x,a,left)该命令对表达式该命令对表达式F求极限，独立变量求极限，独立变量x从左边趋于从左边趋于a，函数中除，函数中除F外的参数均可省略，外的参数均可省略，left可换可换成成right。举例如下：。举例如下：极限运算极限运算Nanjing University of Posts and Telecommunications例例1：求极限：求极限 。解：可用以下程序完成：解：可用以下程序完成：clear F=sym(1+a/x)x)limit(F,x,inf,left)xxxaS)1(limNanjing University of Posts and Telecommunicati
4、ons结果为结果为exp(a)。其中，语句。其中，语句F=sym(1+a/x)x)表示定义符表示定义符号表达式号表达式也也可用以下的语句来完成：可用以下的语句来完成：xxa1Nanjing University of Posts and Telecommunicationsclear;syms x%这里是把这里是把x先说明成符号。先说明成符号。F=(1+a/x)x%这里的定义形式和前面不同。这里的定义形式和前面不同。limit(F,x,inf,left)%这里的这里的x本身就是符号，因本身就是符号，因 此不需要单引号。此不需要单引号。Nanjing University of Posts an
5、d TelecommunicationsMATLAB提供的函数提供的函数diff()可以完成对给定函数求可以完成对给定函数求导函数的运算，其调用格式如下：导函数的运算，其调用格式如下：diff(fun,x,n)其意义是求函数其意义是求函数fun关于变量关于变量x的的n阶导数，阶导数，n为为1时时可省略。这里的可省略。这里的fun用上例的后一种方式来定义较用上例的后一种方式来定义较为妥当。我们看下面的例：为妥当。我们看下面的例：导函数的运算导函数的运算Nanjing University of Posts and Telecommunications例例2：求函数：求函数 的一阶和三阶导数。的一
6、阶和三阶导数。2ln1xyx解：可用以下程序完成：解：可用以下程序完成：clear;syms x y=log(x+2)/(1-x);dy=diff(y,x)dy3=diff(y,x,3)pretty(dy3)这里用到的另一个函数：这里用到的另一个函数：pretty()，其功能是使它作，其功能是使它作用的表达式更符合数学上的书写习惯。用的表达式更符合数学上的书写习惯。Nanjing University of Posts and TelecommunicationsMATLABMATLAB提供的命令函数提供的命令函数int()int()可以完成积分运算，其调用可以完成积分运算，其调用格式有如下几
7、种：格式有如下几种：int(fun)int(fun)计算函数计算函数fun关于默认变量的不定积分关于默认变量的不定积分int(fun,x)int(fun,x)计算函数计算函数funfun关于变量关于变量x x的不定积分的不定积分int(fun,x,a,b)int(fun,x,a,b)计算函数计算函数funfun关于变量关于变量x x从从a a到到b b的定积分的定积分我们通过例子来学习具体的用法：我们通过例子来学习具体的用法：积分运算积分运算Nanjing University of Posts and Telecommunications 例例1：计算不定积分：计算不定积分 。53()4xx
8、xdxclearcleary=sym(x5+x3-sqrt(x)/4)y=sym(x5+x3-sqrt(x)/4)int(y)int(y)pretty(ans)pretty(ans)解：可以用下面的程序完成：解：可以用下面的程序完成：Nanjing University of Posts and Telecommunications例例2：计算定积分：计算定积分 。120(1)xxedxxclearclearsyms xsyms xy=(xy=(x*exp(x)/(1+x)2;exp(x)/(1+x)2;int(y,0,1)int(y,0,1)解：可以用下面的程序实现计算：解：可以用下面的程序
9、实现计算：Nanjing University of Posts and Telecommunications例例3：计算二重积分：计算二重积分 ，其中，其中D为曲为曲 线线 和和 所围成的区域。所围成的区域。2()Dxy dxdy2yx2xy所以，计算该积分的所以，计算该积分的MATLABMATLAB程序为：程序为：clearclearsyms x ysyms x yf=xf=x*x+y;x+y;int(int(f,y,xint(int(f,y,x*x,sqrt(x),x,0,1)x,sqrt(x),x,0,1)2,01xyxx解：区域解：区域D可用不等式表示为：可用不等式表示为：Nanji
10、ng University of Posts and Telecommunications例例4：被积曲面：被积曲面S为球面为球面 在第一卦限部在第一卦限部分的外则，计算曲面积分分的外则，计算曲面积分 。2221xyzSIxyzdxdy21122001xxyxy dydx 解：先把问题转化为二重积分，积分区域为解：先把问题转化为二重积分，积分区域为x，y平面内的平面内的第一象限部分。具体的计算公式为：第一象限部分。具体的计算公式为：Nanjing University of Posts and Telecommunications然后计算该二次积分，程序如下：然后计算该二次积分，程序如下：cl
11、earsyms x y zz=sqrt(1-x2-y2)f=x*y*zI=int(int(f,y,0,sqrt(1-x2),x,0,1)Nanjing University of Posts and Telecommunications 这里我们看到，所有的积分计算都是利用函这里我们看到，所有的积分计算都是利用函数数intint完成的，当我们遇到二重积分、三重积分和完成的，当我们遇到二重积分、三重积分和曲线、曲面积分时需要先化为相应的累次积分，曲线、曲面积分时需要先化为相应的累次积分，再用再用intint来完成积分的计算。来完成积分的计算。Nanjing University of Posts
12、 and Telecommunications综合实验综合实验1.定积分近似计算的定积分近似计算的Monte Carlo方法方法msabHdxxfba)()(Nanjing University of Posts and Telecommunicationsa=0;b=1;m=1000;s=0;H=exp(1);%s设置为落在曲边梯形内的点数设置为落在曲边梯形内的点数for i=1:m xi=rand();yi=H*rand();if yia)l=l+1;m(:,l)=a,b,c;end endendmNanjing University of Posts and Telecommunicat
13、ions考察考察c-b=1时的勾股数，将前面程序略加修改可得时的勾股数，将前面程序略加修改可得到下表：到下表：a35791113151719b41224406084112144180c51325416185113145181可以证明，此时勾股数的通项可表示为可以证明，此时勾股数的通项可表示为122,22,12,22uuuuucbaNanjing University of Posts and Telecommunicationsc-b=2的情况留着自己讨论，现在给出的情况留着自己讨论，现在给出c-b=3时的勾时的勾股数，可以得到下表股数，可以得到下表a915212733394551b123672120180252336432c153975123183255339435a/3357911131517b/341224406084112144c/351325416185113145此表与此表与c-b=1时相同，为什么？时相同，为什么？
