1、弹塑性力学与有限元 力与应力的概念q主要内容一点的应力状态 主应力与应力张量不变量 最大剪应力（主剪应力）偏应力张量（应力张量的分解）八面体应力应力分析应力的Mohr圆平衡微分方程iij jplni iij i jplll弹塑性力学与有限元应力分析q八面体应力11cos(,)3ln x 21cos(,)3ln y 31cos(,)3ln z 八面体平面：通过某点做平面，该平面的法线与三个应力主轴夹角相等。设在这一点取 坐标轴与三个应力主轴一致，则等斜面法线的三个方向余弦为：321,弹塑性力学与有限元应力分析moctIlll131321312323222211q八面体应力.)()()(21323
2、22213122octoctoctT232Joct八面体面上的应力向量可分解为两个分量：1)垂直于八面体面的分量，即正应力 ，它与应力球张量有关，或者说与 有关；moct1I2)沿八面体面某一切向的分量，即剪应力 ，与应力偏张量的第二不变量 有关。232Joct2J弹塑性力学与有限元应力分析q应力的Mohr圆321O3P1P2PM图 3-3在 平面上，三点中的任意两点为直径端点，可作出三个Mohr圆，如右图所示.其半径为：),(),(),(000332211PPP.,231131323232121222222PPPPPP称为主剪应力，最大剪应力.321、max弹塑性力学与有限元应力分析q应力的
3、Mohr圆3s2s1sO3P1P2PM图 3-4mO 由右图可见，若在已知应力状态上叠加一个静水压力，其效果仅使三个 Mohr圆一起沿 轴平移一个距离，该距离等于所叠加的静水应力，并不改变Mohr圆的大小。轴的位置与屈服及塑性变形无关，决定屈服与塑性变形的只是Mohr圆本身的大小。弹塑性力学与有限元应力分析3s2s1sO3P1P2PM图 3-4mO若将轴平移到 ，并使OmOO)(32131则：,333223111sPOsPOsPOmmm移轴后的三向Mohr圆正是描述应力偏张量的三向Mohr圆，如右图所示。q应力的Mohr圆弹塑性力学与有限元应力分析q平衡微分方程微分平行六面体微分平行六面体 z
4、yxijij,弹塑性力学与有限元应力分析q平衡微分方程1.在x=0的面上，应力是 x、xy、xz 2.在x=dx面上的应力 3.由x方向的平衡dxxdxxdxxxzxzxyxyxx、dxdzdxdzdyydydzdydzdxxyxyxyxxxx0Xdxdydzdxdydxdydzzzxzxzx0Xzyxzxyxx弹塑性力学与有限元应力分析2222220()0()0()xyxxzyxyyzzyzxzuXxyztvYxyztwZxyzt平衡（运动）微分方程（平衡（运动）微分方程（Navier方程）方程）2,20()iij jiuXtq平衡微分方程弹塑性力学与有限元应力分析123123123xxyx
5、zyxyyzzxzyzlllXlllYlllZij jilXq平衡微分方程静力边界条件nXAxyz弹塑性力学与有限元1）请完成教材第6971页的习题：2.1；2.2；2.6；2.7（d）。q作业：应力分析弹塑性力学与有限元应变分析弹塑性力学与有限元 弹塑性力学与有限元q主要内容应变分析应变位移关系（几何方程）一点的应变状态 应变张量主应变偏应变张量（应变张量的分解）八面体应变应变协调方程（连续性方程、相容方程）弹塑性力学与有限元q本章学习要点：理解变形体内部任意一点处应变状态的基本概念；掌握计算物体内任一点、任意微分面上的主应变及应变主方向的计算公式；理解Cauchy方程和Saint Vena
6、nt的物理意义，熟练掌握这两个基本方程。应变分析弹塑性力学与有限元位移由于外部因素如载荷或温度变化,物体内部各点空间位置发生的变化；如果各点的位移完全相同，物体发生刚体平移；如果各点的位移不同，但各点间的相对距离保持不变，物体发生刚体转动等刚体移动；应变分析q应变位移关系弹塑性力学与有限元应变分析连续体内如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化，则物体发生了变形，这时的位移是变形体位移。此物体被称为有变形或有应变。物体发生位移，应变由位移得到。对物体中足够小的区域，认为该区域的应变是均匀的。q应变位移关系弹塑性力学与有限元应变分析线应变线段的伸长和缩短 剪应变方向的相对改变，即线段之间夹角改变
7、线应变或正应变是指线段的相对伸长量，以线段伸长为正；剪应变以直角的缩小为正。q应变位移关系zyx,yzxzxy,lllx090ABABllCC900 xyzABABllxyz弹塑性力学与有限元q应变位移关系(几何方程)应变分析 设由变形体中取出一个微小六面体（见右图投影），在研究微小六面体的变形时，采用的分析方法是将六面体的各面投影到直角坐标系的各个坐标平面上，研究这些平面投影的变形，并根据这些投影的变形规律来判断整个平行六面体的变形。弹塑性力学与有限元q应变位移关系(几何方程)应变分析 设A点的位移是 u，w，它们是坐标的函数，因此有：),(1zyxfu),(2zyxfw 而B点的坐标为（x
8、+dx，y，z），因此B点在x方向的位移为：),(11zydxxfu弹塑性力学与有限元根据泰勒级数展开式，可得：2212111),(!21),(),(dxxzyxfdxxzyxfzyxfu略去高阶项后得到：dxxuuu1由于 则AB在x轴上的投影的伸长量为 ，则有：dxxuuu1dxAB xudxuux1q应变位移关系(几何方程)应变分析同理可得平行于 y 轴和 z 的边长的正应变，因此有：弹塑性力学与有限元xuxyvyzwz当 大于零时，表示线段伸长，反之表示缩短。zyx，q应变位移关系(几何方程)应变分析下面研究六面体的剪应下面研究六面体的剪应变，即各直角的改变。变，即各直角的改变。xzA
9、ABBwudxxuudxxwwCoC角应变用 表示，其值为 和 之和，即：zxzxB 弹塑性力学与有限元q应变位移关系(几何方程)应变分析dxxwwwBB 1B点与A点沿Z 轴方向的位移之差为:xuxwdxxudxdxxwtg1xw同理可得：zu所以有剪应变：xwzuzx弹塑性力学与有限元q应变位移关系(几何方程)应变分析 同理可得另外两个剪应变 ,即有剪应变的表达式:yzxy，xvyuxyywzvyzxwzuzx说明：剪应变的正负号说明：剪应变的正负号表示夹角变大表示夹角变小),(0),(0zyxjizyxjiijij弹塑性力学与有限元所以，正应变和剪应变的表达式为：xwzuzwywzvyv
10、xvyuxuzxzyzyxyx，可知：如果可知：如果已知位移分已知位移分量可以很简量可以很简单的求出应单的求出应变分量；反变分量；反之，则问题之，则问题比较复杂。比较复杂。q应变位移关系(几何方程)应变分析弹塑性力学与有限元应变分析q一点的应变状态 三个方向线元的应变决定该点的应变状态，取与坐标轴相平行的三个方向。xwzuzwywzvyvxvyuxuzxzyzyxyx，弹塑性力学与有限元应变分析)(2121)(2121)(2121xwzuzvywyuxvzxzxyzyzxyxy 则应变张量为：zzyzxyzyyxxzxyxijijjiijij2 通常称为“工程剪应变”zxyzxy,一点的应变状
11、态也可以用张量表示，这时引进符号zzzyzxyzyyyxxzxyxx值得注意的是，式中的ij，因为ij=ji,而q应变张量弹塑性力学与有限元应变分析q应变张量对称张量张量的剪切应变分量 实际的剪切应变工程剪应变和张量剪应变的区别zzyzxyzyyxxzxyxij 212121212121333231232221131211弹塑性力学与有限元应变分析0r.PxyzQrr类似于应力状态，一定存在三个相互垂直的形变方向，它们所形成的三个直角在形变之后保持为直角（即切应变为零），沿着这三个形变主方向的正应变称为主应变。主应变的概念：一点的应变状态，存在过该点的方向 ，在该方向上任取微线段PQ，受力后的
12、变形只沿该方向伸长或缩短 ，则定义此方向为主方向，其应变为主应变。rr),(nmlrq主应变和主剪应变弹塑性力学与有限元应变分析将应力计算公式中的应力分量用应变分量替换,例如求主应变的特征方程0)(jijijn0)(0)(0)(dzdydxdzdydxdzdydxzzyzxyzyyxxzxyxq主应变和主剪应变弹塑性力学与有限元对于非零解条件行列式展开得应变分析321313322123211|ijijiiIII0|ijij032213III其中，为应变第一、二、三不变量，其它形式的表达式有：321,IIIq主应变和主剪应变弹塑性力学与有限元应变分析)(4141)(2)(412222223222
13、22221xyzzxyyzxzxyzxyzyxxyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzxyzxyxzzyyxzyxIIIq主应变和主剪应变弹塑性力学与有限元应变分析工程主剪应变最大值|213312321|31maxq主应变和主剪应变弹塑性力学与有限元应变分析q偏应变张量（应变张量的分解）仿照应力张量分解，应变张量可以分解为与体积变化有关的“球形应变张量”和与物体形状变化有关的“应变偏量”。利用书中（3.43）式可以分解为：ijijije0 球形应变张量为：0000000000ij式中，为平均正应变。01321031)(31)(31Izyx弹塑性力学与有限元应变分析 应变偏
14、量 可写为：ije000zzyzxyzyyxxzxyxzzyzxyzyyxxzxyxijeeeeeeeeee其中，称为“应变偏量分量”。0 xxe0yye0zzeq偏应变张量（应变张量的分解）纯剪应变状态的条件与纯剪应力状态的条件相同，即纯剪变形的必要且充分条件是 ，因此，为纯剪状态且 与 有相同的主轴。00ijeijeij弹塑性力学与有限元应变分析q偏应变张量（应变张量的分解）323232yxzzyzxyzzxyyxxzxyzyxije弹塑性力学与有限元应变分析q偏应变张量（应变张量的分解）若用主应变表示应变偏量，则有式：320003200032213312321ije三个坐标平面三个坐标平
15、面为应变主平面为应变主平面在主应变为坐标的应变空间中有：011e022e033e 由应变偏量张量的定义式可见，它是一个实对称二阶张量，因此，存在三个主值及其相应的主方向。可以证明，应变偏量张量的主方向与应变张量的主方向一致，而且它的主值e1，e2，e3与应变张量的主应变存在如左边给出的关系。弹塑性力学与有限元应变分析 体积应变 在考虑塑性变形时，经常采用“体积不变”假设，这时球形应变张量为零，应变偏量等于应变张量，即“应变分量与应变偏量的分量相等”，这一假设，对于简化计算带来了方便,下面来研究每单位体积的体积改变，即体积应变：q偏应变张量（应变张量的分解）设有微小的正平行六面体，它的棱边长度是
16、：变形前它的体积为：变形后它的体积称为：dzdydx，dxdydz)()(dzdzdydydxdxzyx弹塑性力学与有限元应变分析q偏应变张量（应变张量的分解）因此，它的体积应变为：zyxyxxzzyzyxzyxzyxdxdydzdxdydzdzdzdydydxdxVV1)1)(1)(1()()(验证体积不变假设的成立，对于小应变（忽略高阶微量）有：体积应变弹塑性力学与有限元应变分析q偏应变张量（应变张量的分解）体积应变zwyvxuzyx由此则有：103Izyx显然，若体积不变，则必有球形应变张量为零成立，且有 。ijije在主应变空间：1)1)(1)(1(321VV对于小应变有：103213
17、IVV弹塑性力学与有限元应变分析q偏应变张量（应变张量的分解）同样，应变偏量增量也存在三个不变量，它们分别表示为：)()()()()()()()(2132322212222222221332212321161或4161210zxyzxyzxyzxyxzzyyxijijzyxiieeeeeeeeJeeeeeeeJ当用张量给出一点的应变状态时，需注意 偏应变张量不变量弹塑性力学与有限元应变分析q偏应变张量（应变张量的分解）321331eeeeeeeeeeeeeeeJzzyzxyzyyxxzxyxkijkij其三次方程为：032213JeJeJe 偏应变张量不变量弹塑性力学与有限元应变分析q八面体应
18、变八面体正应变八面体剪应变1831)(31Izyx22/12222222/12132322218322)(6)()()(32)()()(32Jzxyzxyxzzyyx弹塑性力学与有限元应变分析q应变协调方程（连续性方程、相容方程）在研究物体变形时，一般都取一个平行六面体进行分析，物体在变形时，各相邻的小单元不能是互相无关的，必然是相互有联系的，因此应该认为是物体在变形前是连续的，变形后仍然是连续的，连续物体应变之间关系的数学表达式即为“应变协调方程”。xwzuzwywzvyvxvyuxuzxzyzyxyx，弹塑性力学与有限元zxyxzyyxzyxzzyxyzxyxzxyxyzyxxyyzxyz
19、xyzxyxzyzxyzzxxyzxxzyzzyxyyx2222222222222222222)(2)(2)(该式称为“变形协调方程式”，又称为圣维南（Saint-Venant）方程,是圣维南首次导出的。应变分析q应变协调方程（连续性方程、相容方程）弹塑性力学与有限元1）请完成教材第9394页的习题：3.2；3.3；3.4；3.5.q作业：应变分析弹塑性力学与有限元 谢 谢 各 位弹塑性力学与有限元应变分析弹塑性力学与有限元五、应变协调方程五、应变协调方程 ，xxyyyzzzxuvuxxyvwvyyzwuwzzx从分析几何方程入手从分析几何方程入手 可以发现，六个应变分量是通过三个位移分量表示
20、的。可以发现，六个应变分量是通过三个位移分量表示的。这一事实对这一事实对我们很重要。我们很重要。因为如果知道了位移分量，则容易通过因为如果知道了位移分量，则容易通过Cauchy方程获得应变分量；但反过方程获得应变分量；但反过来，如果纯粹从数学角度任意给出一组来，如果纯粹从数学角度任意给出一组“应变分量应变分量”，则，则Cauchy方程方程有可有可能是矛盾的能是矛盾的。要使这方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。要使这方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件，即这六个应变分量不是互不相关的，它们之间必然存在着一定的联系。，即这六个应变分量不是互不相关的，它们之间必然存在着一定的联
21、系。应变分析弹塑性力学与有限元五、应变协调方程五、应变协调方程 ，xxyyyzzzxuvuxxyvwvyyzwuwzzx222222()yxyxvux yxyx yyx 思路：设法从思路：设法从Cauchy方程中消去所有的位移分量方程中消去所有的位移分量 推导步骤：推导步骤：将将x对对y求二阶偏导数并与求二阶偏导数并与y对对x求二阶偏导数相加，可得求二阶偏导数相加，可得 应变分析弹塑性力学与有限元五、应变协调方程五、应变协调方程 同理可得同理可得分别将分别将xy对对z求一阶偏导数、求一阶偏导数、yz对对x求一阶偏导数以及求一阶偏导数以及zx对对y求一阶偏导求一阶偏导数，再把它们的前两式相加并减
22、去它们的后一式数，再把它们的前两式相加并减去它们的后一式，可得可得2222222222yyzzxzxzy zzyz xxz 22yzxyzxvx zxyz 22()yyzxyxzx zyxyz 应变分析弹塑性力学与有限元五、应变协调方程五、应变协调方程 同理可得同理可得222()2()yzxyxxzyzxyxzzy zxxyzx yzxyz 222222222222222222()2()2()2yxyxyyzzxzxzyzxyxzxyzxyyxzyzxyxzzx yyxy zzyz xxzxxyzy zyxyzx zzxyzx y 应变协调方程应变协调方程（Saint Venant方程）方程）
23、应变分析弹塑性力学与有限元五、应变协调方程五、应变协调方程 图图 2.6 应变协调方程的几何意义应变协调方程的几何意义对对单连通物体单连通物体，应变协调方程是物体连续的，应变协调方程是物体连续的充要条件充要条件。但对于。但对于多连通物体多连通物体，应变协调方，应变协调方程只是物体连续的程只是物体连续的必要条件必要条件，只有加上补充，只有加上补充条件，条件才是充分的。条件，条件才是充分的。应变分析弹塑性力学与有限元应变分析 等效应变ijijee32在材料不可压缩（）的情况下，单轴拉伸实验中就是单轴应变 5.0 在以主应变 为坐标轴的主应变空间内讨论。321，应变强度（等效应变）21323222132)()()(iie当体积不可压缩时，令 ，称为应变强度或等效应变。iiei 这里之所以不称 为应变强度，而又引进符号 ，是因为要与应力分析中的情况相一致。iei
