1、第三章第三章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理中值定理罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理泰勒中值定理（泰勒公式）泰勒中值定理（泰勒公式）.14 3 1 观察图形观察图形yxoab yxoabyxoab2 1 5 第一节第一节 微分中值定理微分中值定理 2:,),(baxxfy :条件条件;),()2(内可导内可导在在ba).()()3(bfaf:结论结论;,)1(上连续上连续在在ba).,(,0)(baf 满足满足)(xf.2一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理:)(满足满足若若xf),(ba 则至少存在一点则至少存在一点;,)1(上连续
2、上连续在在ba;),()2(内可导内可导在在ba).()()3(bfaf.0)(f使得使得:条件条件;),()2(内可导内可导在在ba).()()3(bfaf:结论结论;,)1(上连续上连续在在ba).,(,0)(baf 例如例如32)(2 xxxf),1)(3(xx,3,1上连续上连续在在 ,)3,1(内可导内可导在在 ,0)3()1(ff且且,0)1(f显然显然),1(2)(xxf).3,1(1 xyo1 3121 .3罗尔定理的证明罗尔定理的证明:,)()(00处处可可导导在在内内有有定定义义在在若若xxUxf.0)(0 xf则则),()()()(),(000 xfxfxfxfxUx 或
3、或有有且且引理引理费马费马)Fermat(其证明见罗尔定理的证明过程其证明见罗尔定理的证明过程.4.)1(mM 若若,)(连续连续在在baxf.,)(mMbaxf和最小值和最小值可取得最大值可取得最大值在在.)(,Mxfbax 有有对对则则.0)(),(xfbax有有从而对从而对),(ba 即即.0)(f有有.)2(mM 若若),()(bfaf,),(内内取取得得有有一一个个在在区区间间最最大大值值和和最最小小值值中中至至少少ba).,(,)(baMf 不妨设不妨设),()(fxf ,0)()(fxf即有即有罗尔定理的证明罗尔定理的证明:.5,0 x若若xfxf )()(则有则有,0 x若若x
4、fxf )()(则有则有xfxffx )()(lim)(0 即即xfxffx )()(lim)(0 ,)(存存在在 f ),()()(fff ,0)(0)(ff且且),()(fxf ,0)()(fxf即有即有.0)(f,0,0,0,0.6注注:罗尔定理是一个充分性定理罗尔定理是一个充分性定理.例如例如:.10,101,1)(xxxfy例题例题.7例例1 1.015,)1,0(:5一一个个实实根根有有且且仅仅有有方方程程内内在在证证明明 xx证证,15)(5 xxxf设设,1,0)(连续连续在在则则xf.3)1(,1)0(ff且且由零点定理由零点定理,知知.0)(),1,0(00 xfx使使即方
5、程在即方程在(0,1)内有实根内有实根.,),1,0(011xxx 设设另另有有,0)(1 xf使使,)(,10满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件关关于于xfxx使得使得至少存在一个至少存在一个),(10 xx .0)(f)1(5)(4 xxf但但,0 矛盾矛盾,在在(0,1)内内f(x)有且仅有一个零点有且仅有一个零点,.01xx 不妨设不妨设),1,0(x即原方程在即原方程在(0,1)内有且仅有一个实根内有且仅有一个实根.8二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理),(ba 则至少存在一点则至少存在一点,)1(上连续上连续在在ba,),()2(内可导内可导在在ba )
6、(f使得使得yxoab 罗尔定理罗尔定理yxo ab.)()(abafbf :)(满足满足若若xf.9),()()()()()(axabafbfafxfxF 令令证明证明:)(满足满足则则xF,)1(上连续上连续在在ba,),()2(内可导内可导在在ba,0)()()3(bFaF:,知知由罗尔定理由罗尔定理),(ba 至少存在一点至少存在一点,0)(F使得使得.)()()(abafbff 即即二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理),(ba 则至少存在一点则至少存在一点,)1(上连续上连续在在ba,),()2(内可导内可导在在ba )(f使得使得.)()(abafbf :
7、)(满足满足若若xf.10表达了函数在一个区间上的增量与函数在该区间内表达了函数在一个区间上的增量与函数在该区间内某点处的导数之间的关系某点处的导数之间的关系.).)()()(abfafbf 拉氏中值公式拉氏中值公式(有限增量公式有限增量公式):则则内可导内可导在在上连续上连续在在设设,),(,)(2121xxxxxf使得使得至少存在一点至少存在一点),(21xx abafbff )()()().()()()(1212xxfxfxf .11例例1 1.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(ttf 设设,0)(上上满满足足拉拉氏氏定定理理的的条条件件在在则则xtf)0
8、(),0)(xxf ,11)(,0)0(),1ln()(ttffxxf ,1)1ln(xx,0 x 又又,111x ,11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即 )0()(fxf.12推论推论,)(,)(内的导数恒为零内的导数恒为零且在且在上连续上连续在区间在区间若若IIxf.)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间则则Ixf证证,2121xxIxx 上任意两点上任意两点为为与与设设:,知知则则拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理),()()()(1212xxfxfxf ,21之间之间与与位于位于其中其中xx,0)(f又由题知又由题知,0)()(12 xfxf),()(21xfxf
9、.,21推论成立推论成立的任意性知的任意性知和和由由xx.13例例2 2).11(2arccosarcsin xxx 证明证明证证1,1,arccosarcsin)(xxxxf设设)11(11)(22xxxf 且且,0,1,1)(上的常值函数上的常值函数为为 xf0arccos0arcsin)0(f又又20 ,2 .)11(2arccosarcsin xxx,1,1)(上连续上连续在在则则 xf,)1,1(内可导内可导在在 ).(2cotarctan:xxarcx同理可证.14例例3 3:)(),(满足满足若若xgxf,)1(上连续上连续在在ba,),()2(内可导内可导在在ba,0)(),(
10、)3(xgbax使得使得则至少存在一点则至少存在一点),(ba .)()()()()()(gfagbgafbf :证明证明,0)()(:)3(agbg知知由由),()()()()()()()()(afxfagxgagbgafbfxF 令令有有且且上满足罗尔定理的条件上满足罗尔定理的条件在在则则),(,)(baxbaxF ),()()()()()()(xfxgagbgafbfxF .0)(),(:,Fba使得使得知知由罗尔定理由罗尔定理.15例例3 3:)(),(满足满足若若xgxf,)1(上连续上连续在在ba,),()2(内可导内可导在在ba,0)(),()3(xgbax使得使得则至少存在一点
11、则至少存在一点),(ba .)()()()()()(gfagbgafbf :证明证明,0)()(:)3(agbg知知由由),()()()()()()()()(afxfagxgagbgafbfxF 令令有有且且上满足罗尔定理的条件上满足罗尔定理的条件在在则则),(,)(baxbaxF ),()()()()()()(xfxgagbgafbfxF .0)(),(:,Fba使得使得知知由罗尔定理由罗尔定理柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理定理定理:有人给出如下证明有人给出如下证明),()()(fabafbf .)()()()()()(gfagbgafbf 使得使得至少存在一个至少存在一个知知由拉
12、氏中值定理由拉氏中值定理),(:,ba ),()()(gabagbg?为什么为什么正确吗正确吗.16例例3 3:)(),(满足满足若若xgxf,)1(上连续上连续在在ba,),()2(内可导内可导在在ba,0)(),()3(xgbax使得使得则至少存在一点则至少存在一点),(ba .)()()()()()(gfagbgafbf :证明证明,0)()(:)3(agbg知知由由),()()()()()()()()(afxfagxgagbgafbfxF 令令有有且且上满足罗尔定理的条件上满足罗尔定理的条件在在则则),(,)(baxbaxF ),()()()()()()(xfxgagbgafbfxF
13、.0)(),(:,Fba使得使得知知由罗尔定理由罗尔定理柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理定理定理:有人给出如下证明有人给出如下证明),()()(fabafbf .)()()()()()(gfagbgafbf 使得使得至少存在一个至少存在一个知知由拉氏中值定理由拉氏中值定理),(:,ba ),()()(gabagbg?为什么为什么正确吗正确吗 ),(),(:xfYxgX考察参数方程考察参数方程.,bax)(ag)(af)(g)(bg)(bf)(fXYo几何解释几何解释.17例例4 4,)0(0)(阶导数阶导数内具有内具有的某邻域的某邻域在在设函数设函数nUxxf 证证,)(nxxg 设设
14、,0)0()0()0()0()1(nffff且且:证明证明.10,!)()()(nxfxxfnn,0)0()0()0()0()0()1(nggggg则则,!)()(nxgn),0(oUx 对对知知使用柯西中值定理使用柯西中值定理或或关于区间关于区间,)0,(,0 xx使得使得),0(1xx )0()()0()()(gxgfxfxxfn)()(11xgxf .18 )()(,11xgxf有有类似地类似地 )0()()0()(11gxgfxf,)()(22xgxf ),0(12xx )()(22xgxf),0(23xx )0()()0()(22gxgfxf,)()(33xgxf 证证,)(nxxg
15、 设设,0)0()0()0()0()0()1(nggggg则则,!)()(nxgn),0(oUx 对对知知使用柯西中值定理使用柯西中值定理或或关于区间关于区间,)0,(,0 xx使得使得),0(1xx )0()()0()()(gxgfxfxxfn)()(11xgxf .19 )()(,11xgxf有有类似地类似地 )0()()0()(11gxgfxf,)()(22xgxf ),0(12xx )()(22xgxf),0(23xx )0()()0()(22gxgfxf,)()(33xgxf ),0(1 nnxx )()(1)1(1)1(nnnnxgxf )0()()0()()1(1)1()1(1)
16、1(nnnnnngxgfxf,)()()()(nnnnxgxf !)()()(nxfxxfnnn.10 ,!)()(nxfn.20二阶行列式、三阶行列式的定义与计算二阶行列式、三阶行列式的定义与计算(附录附录1，P339)dcba.bcad 3512 )1(5)3(2 .1 例如例如21)(2xfyx ).()2(2xfyx 二阶行列式二阶行列式 xxxdxd1)1ln(2)1ln(22 xx补充补充.1222xxx .21 321321321cccbbbaaa 65201032165011.0606 例如例如三阶行列式三阶行列式32321ccbba31312ccbba 21213ccbba
17、62002 52103 .22思考题思考题.)1,0()(:,012 21010至少有一个零点至少有一个零点内内在在证明证明、已知、已知nnnxaxaaxfnaaa?,0)(),4)(3)(2)(1()(1分别在何区间内分别在何区间内有几个根有几个根问方程问方程、已知、已知 xfxxxxxf.23.12)(:1210 nnxnaxaxaxg考虑考虑提示提示思考题提示或答案思考题提示或答案.)1,0()(:,012 21010至少有一个零点至少有一个零点内内在在证明证明、已知、已知nnnxaxaaxfnaaa .24),()()3(,),()2(,)1(:)(bfafbabaxf 内内可可导导在
18、在上上连连续续在在若若使使得得则则至至少少存存在在一一点点),(ba .),()2(;,)1(:)(内可导内可导在在上连续上连续在在若若babaxf使使得得则则至至少少存存在在一一点点),(ba :)(),(xgxf若若;,)1(上连续上连续在在ba;),()2(内可导内可导在在ba,0)()3(xg使使得得则则至至少少存存在在一一点点),(ba .)()()()()()(gfagbgafbf 中值定理一览表中值定理一览表罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理三、小结与教学要求：三、小结与教学要求：.)()()(abafbff .0)(f.25作作 业业习题习题3-1:P132 5,6,11(1,2),12.26
