1、第第一一章章 建立数学模型建立数学模型1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型1.2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义1.3 数学建模示例数学建模示例1.4 数学建模的分类数学建模的分类1.5 数学模型与能力培养数学模型与能力培养玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的进行简缩、抽象、提炼出来的原型原型的替代物的替代物
2、模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的那一部分特征中人们需要的那一部分特征1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型我们常见的模型我们常见的模型你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型“航行问题航行问题”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速答：船速20千米千米/小时小时.甲乙两地相距甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，小时，从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少小时，问船的速度是多少?x=20y=5求解求解航行问题航行问题建立数学模型
3、的基本步骤建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示有关量（用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20,y=5）；）；回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20千米）。千米）。数学模型数学模型(Mathematical Model)和和数学建模（数学建模（Mathematical Modeling)对于一个对于一个现实对
4、象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据其根据其内在规律内在规律，作出必要的，作出必要的简化假设简化假设，运用适当的运用适当的数学工具数学工具，得到的一个，得到的一个数学结构数学结构。建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学模型数学数学建模建模 1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的必要的数据数据资料。资料。2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的对资料的分析分析计算，计算，找出起主要作用的因素，
5、经必要找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设假设。3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构划各变量之间的关系，建立相应的数学结构建模建模即建立数学模型。即建立数学模型。4.模型模型求解求解。5.模型的模型的分析分析与与检验检验。在难以得出解析解时，也在难以得出解析解时，也应当借助应当借助 计算机计算机 求出数值求出数值解。解。数学建模流程图解模型评价模型应用模型检验问题分析模型求解建立模型符号设定模型假设YN1.2 数学建模的重要意义数学建模的
6、重要意义 电子计算机的出现及飞速发展；电子计算机的出现及飞速发展；数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。越来越受到人们的重视。在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；数学建模的具体应用数学建模的具体应用 分析与设计分析与设计 预报与决策预报与决策 控制与优化控制与优化 规划与管理规划与管理数学建模计算机技术知识经济
7、知识经济如虎添翼如虎添翼1.3 数学建模示例数学建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。只脚同时着地。模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出
8、来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性xBADCOD C B A 用用(对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f()B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g()两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(),g()是是连续函数连续函数对任
9、意对任意，f()、g()至少一个为至少一个为0数学数学问题问题已知：已知：f(),g()是是连续函数连续函数;对任意对任意，f()g()=0;且且 g(0)=0，f(0)0.证明：存在证明：存在 0，使，使f(0)=g(0)=0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子将椅子旋转旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0，f(0)0，知，知f(/2)=0,g(/2)0.令令h()=f()g(),则则h(0)0和和h(/2)0.由由
10、f,g的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数,据连续函数的基本性据连续函数的基本性质质,必存在必存在 0,使使h(0)=0,即即f(0)=g(0).因为因为f()g()=0,所以所以f(0)=g(0)=0.评注和思考评注和思考建模的关键建模的关键 假设条件的本质与非本假设条件的本质与非本质质 考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形的椅子 和和 f(),g()的确定的确定1.3.2 商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河问题问题(智力游戏智力游戏)3名商人名商人 3名随从名随从随从们密约随从们密约,在河的任一在河的任一岸岸,一旦随从的人数比商一旦随从的人数比商人多人多,就杀人越货就杀人越货.
11、但是乘船渡河的方案由商人决定但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河?问题分析问题分析多步决策过程多步决策过程决策决策 每一步每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员船上的人员要求要求在安全的前提下在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多两岸的随从数不比商人多),),经有经有限步使全体人员过河限步使全体人员过河.河河小船小船(至多至多2人人)模型构成模型构成xk第第k次渡河前此岸的商人数次渡河前此岸的商人数yk第第k次渡河前此岸的随从数次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)过程的状态过程的状态S=
12、(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2S 允许状态集合允许状态集合uk第第k次渡船上的商人数次渡船上的商人数vk第第k次渡船上的随从数次渡船上的随从数dk=(uk,vk)决策决策D=(u,v)u+v=1,2 允许允许决策决策集合集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk+(-1)k状态转移律状态转移律求求dk D(k=1,2,n),使使sk S,并并按按转移律转移律由由 s1=(3,3)到达到达 sn+1=(0,0).多步决策多步决策问题问题模型求解模型求解xy3322110 穷举法穷举法 编程上机编程上机 图解法图解法状态状态s=(
13、x,y)16个格点个格点 10个个 点点允许决策允许决策 移动移动1或或2格格;k奇奇,左下移左下移;k偶偶,右上移右上移.s1sn+1d1,，d11给出安全渡河方案给出安全渡河方案评注和思考评注和思考规格化方法规格化方法,易于推广易于推广考虑考虑4名商人各带一随从的情况名商人各带一随从的情况d1d11允许状态允许状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿)5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增
14、长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长1.3.3 如何预报人口的增长如何预报人口的增长指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出 (1798)常用的计算公式常用的计算公式kkrxx)1(0 x(t)时刻时刻t的人口的人口基本假设基本假设:人口人口(相对相对)增长率增长率 r 是常数是常数trtxtxttx)()()(今年人口今年人口 x0,年增长率年增长率 rk年后人口年后人口0)0(,
15、xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1(0随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性 与与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合19世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率人口增长率r r不是常数不
16、是常数(逐渐下降逐渐下降)阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设)0,()(srsxrxrr固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）)1()(mxxrxrr是是x的减函数的减函数mxrs 0)(mxrrxdtdx)1()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txx
17、xemmrt()()110tx0 x(t)S形曲线形曲线,x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)参数估计参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数预报，必须先估计模型参数 r 或或 r,xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位百万）百万）1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4专家估计专家估计阻滞增长模型阻滞增
18、长模型(Logistic模型模型)r=0.2557,xm=392.1模型检验模型检验用模型计算用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较年美国人口，与实际数据比较/)1990(1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx实际为实际为281.4(百万百万)5.274)2000(x模型应用模型应用预报美国预报美国2010年的人口年的人口加入加入2000年人口数据后重新估计模型参数年人口数据后重新估计模型参数Logistic 模型在经济领域中的应用模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量如耐用消费品的售量)阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)r=0.249
19、0,xm=434.0 x(2010)=306.0应用领域应用领域人口人口,生态生态,交通交通,环境环境,经济等经济等数学方法数学方法初等数学初等数学,网络网络,微分方程微分方程,运筹运筹,随机模型等随机模型等表现特性表现特性描述描述,分析分析,预报预报,决策决策,控制等控制等建模目的建模目的了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱确定和随机确定和随机静态和动态静态和动态线性和非线性线性和非线性离散和连续离散和连续数学模型的分类数学模型的分类数学建模实践的每一步中都数学建模实践的每一步中都 蕴含着能力上的蕴含着能力上的 锻炼，在锻炼，在调查研究阶段，需要用到调查研究阶段，需要用到观察能力观察能力
20、、分析能力分析能力和和数据处理数据处理能力能力等。在提出假设时，又需要用到等。在提出假设时，又需要用到 想象力和归纳想象力和归纳 简化简化能力。能力。在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工作成为别人研究工作的继前人或别人的工作，使自己的工作成为别人研究工作的继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间内尽可能短的时间内查到并学会查到并学会想
21、应用的知识的本领。想应用的知识的本领。还需要你多少要有点还需要你多少要有点创新的能力创新的能力。这种能力不是生来就。这种能力不是生来就有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。开设数学建模课的主要目的为了提高学开设数学建模课的主要目的为了提高学 生的生的综合素质综合素质，增强，增强 应用数学知识应用数学知识 解决实际问解决实际问 题的本领。撰写论文的初步方法题的本领。撰写论文的初步方法.:可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮料罐可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮料罐(易拉罐易拉罐)顶盖的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少直径和从顶
22、盖到底部的高之比为多少?为什么为什么?它们的形状为它们的形状为什么是这样的什么是这样的?:找一个雪碧饮料罐具体测量一下找一个雪碧饮料罐具体测量一下:它它顶盖的直径和从顶盖到底部的高顶盖的直径和从顶盖到底部的高:约约为为6厘米和厘米和12厘米厘米.中间胖的部分的直中间胖的部分的直径约为径约为6.6厘米厘米,胖的部分高约为胖的部分高约为10.2厘米厘米.可口可乐饮料罐上标明净含量可口可乐饮料罐上标明净含量为为355毫升毫升(即即355立方厘米立方厘米).根据有关根据有关的数据的数据,要求通过数学建模的方法来要求通过数学建模的方法来回答相关的问题回答相关的问题.我们先看这样的数学题我们先看这样的数学
23、题:“用铁皮做成一个容积一定的圆柱形的无盖用铁皮做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖或有盖)容器，问应当如何设计，才能使用容器，问应当如何设计，才能使用料最省，这时圆柱的直径和高之比为多料最省，这时圆柱的直径和高之比为多少少?”(一般数学分析或高等数学教材中导数一般数学分析或高等数学教材中导数的应用的应用(极值问题极值问题)部分的一道例题部分的一道例题).实际上实际上,用几何语言来表述就是用几何语言来表述就是:体积给定的体积给定的圆柱体圆柱体,其表面积最小的尺寸其表面积最小的尺寸(半径和高半径和高)为为多少多少?表面积用表面积用S S表示表示,体积用体积用V V表示表示,则则)(222),(
24、22rhrrrhhrShrV2,)(2rVh)2(2)(2(2)(0322VrrrVrrS32Vr drVVVVVrVh228443322323222S即圆柱的直径和高即圆柱的直径和高之比为之比为1:1问题分析和模型假设问题分析和模型假设 饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的性的.要求饮料罐内体积一定时要求饮料罐内体积一定时,求能使易拉求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比顶盖到底部的高之比.实际上实际上,饮料罐的形状是如下平面图形绕其饮料罐的形状是如下平面图形绕其中轴线旋转而成的立体中轴线旋
25、转而成的立体.模型的建立模型的建立 饮料罐的半径为r(因此,直径为2r),罐的高为.h罐内体积为.V除顶盖外的材料的厚度.b顶盖的厚度为 (顶盖就能感觉到更硬)其中r,h是自变量,所用材料的体积SV是因变量,而b和V是固定参数,是待定参数 b322222)1()1(22)1()(2()1()()(bbhbrrbhbhbrbbhrbr3222)1()1(2)1(2),(bbhbrbrrhbhrSVhrhrV2),(饮料罐侧面所用材料的饮料罐侧面所用材料的体积体积 罐内体积罐内体积 所用材料的体积所用材料的体积 3222)1()1(2)1(2),(bbhbrbrrhbhrSV顶盖和底部所用材顶盖和
26、底部所用材料料 因 ,所以带 ,的项可以忽略,所以rb 2b,3b 这是极其重要的合理假设或简化这是极其重要的合理假设或简化!brrhbhrShrSV2)1(2),(),(Vhrhrg2),(0).(,0,0.),(minhrghrtshrS其中其中S是目标函数是目标函数,是是约束条件约束条件,V是已知的是已知的(即罐内体积即罐内体积一定一定),即要在体积一定的条件下即要在体积一定的条件下,求求罐的体积最小的罐的体积最小的 r,h和和 使得使得r,h和测量和测量结果吻合结果吻合.这是一个求条件极值的问题这是一个求条件极值的问题.0),(hrg模型的求解模型的求解 从约束中解出一个变量,化条件极
27、值问题为求一元函数的无条件极值问题 使原问题化为:求 使 S 最小,即,求r 使下式最小.0),(2Vhrhrg)(2rVhhd:)1(2)(,(2rrVbrhrS求临界点求临界点:令其导数为零令其导数为零 得得0)1(2)1(2322VrrbrVrbdrdS3)1(Vr2)1()1()1()1(2)1(2323drVVVh测量数据为测量数据为 ,即即 即即顶盖厚度是其他材料厚度顶盖厚度是其他材料厚度3倍倍 2dh413本题还可本题还可Lagrange乘子法来解乘子法来解(增加一个变量化条增加一个变量化条件极值问题为多元函数无条件极值问题件极值问题为多元函数无条件极值问题)模型验证及进一步的分
28、析模型验证及进一步的分析 有人测量过顶盖的厚度确实为其他材料厚度的3倍.如果易拉罐的半径为3厘米,则其体积为 3553.3391232V 实际上,饮料罐的形状是左平面图形绕其中轴线旋转而成的立体.可以把饮料罐的体积看成两部分,一是上底半径为3厘米,下底半径为3.3 厘米,高为1厘米的锥台,二是半径为3.3厘米,高为10.2厘米的圆柱体.它们的体积分别为 31.2立方厘米和349立方厘米总共为380.2立方厘米.测量结果为测量结果为:未打开罐时饮料罐未打开罐时饮料罐的重量为的重量为370克克,倒出来的可乐倒出来的可乐确实重确实重355克克,空的饮料罐重量空的饮料罐重量为为15克克,装满水的饮料罐
29、重量为装满水的饮料罐重量为380克克.这和我们的近似计算这和我们的近似计算380.2立方厘米十分接近！饮料立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料罐不能装满饮料(365克克),而是留而是留有有10立方厘米的空间余量立方厘米的空间余量.进一步讨论进一步讨论 此外此外,诸如底部的形状诸如底部的形状,上拱的底面上拱的底面,顶盖实际顶盖实际上也不是平面的上也不是平面的,略有上拱略有上拱,顶盖实际上是半顶盖实际上是半径为径为3+0.4+0.2=3.6厘米的材料冲压而成厘米的材料冲压而成的的,从顶盖到胖的部分的斜率为从顶盖到胖的部分的斜率为 0.3,这些要这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接求也许保证了
30、和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合粘合)很牢固很牢固,耐压耐压.所有这些都是物理、力学、工程或材料方所有这些都是物理、力学、工程或材料方面的要求面的要求,必须要有有关方面的实际工作必须要有有关方面的实际工作者或专家来确定者或专家来确定.因此因此,我们也可以体会到我们也可以体会到真正用数学建模的方法来进行设计是很复真正用数学建模的方法来进行设计是很复杂的过程杂的过程,只依靠数学知识是不够的只依靠数学知识是不够的,必须必须和实际工作者的经验紧密结合和实际工作者的经验紧密结合.一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去
31、学校。假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。示例：示例：雨中行走雨中行走1 建模准备建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小。主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度2）降雨大小用降雨强度 厘米/时来描述，降雨强度指单位 时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。3）风速保持不变。4）你以定常的速度 米/
32、秒跑完全程 米。h2 模型假设及符号说明1）把人体视为长方体，身高 米，宽度 米，厚度 米。淋雨总量用 升来记。wdCIvD由于人身体的表面非常复由于人身体的表面非常复杂杂,为了使问题简化为了使问题简化,假设假设将人视为长方体将人视为长方体.3 模型建立与计算1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。淋雨的面积 )(222米wddhwhS雨中行走的时间)(秒vDt 降雨强度)/()3600/01.0()/(01.0)/(smIII时米时厘米（升）米SIvDSItC3600/)/(10)(01.0)3600/(3模型中为变量。为参数，而vSID,结论，结论，淋雨量与速度成反比。这也验
33、证了尽可能快跑能减少淋雨量。米即米米米小时厘米米若取参数22.2,20.0,50.0,50.1,/2,1000SdwhID秒。分秒，即你在雨中行走了秒，则计算得米度你在雨中行走的最大速472167/6v从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。原因：不考虑降雨的方向的假设，使问题过于简化。2）考虑降雨方向。vhwd人前进的方向若记雨滴下落速度为 （米/秒）r雨滴的密度为雨滴下落的反方向1 ,pp表示在一定的时刻在单位体积的空间内，由雨滴所占
34、的空间的比例数，也称为降雨强度系数。所以，rpI 因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。分两部分计算淋雨量。顶部的淋雨量)sin()/(1prwdvDC 度。表示雨滴垂直下落的速表示顶部面积，表示在雨中行走的时间sin,/rwdvD前表面淋雨量)cos()/(2vrpwhvDC总淋雨量（基本模型）)cos(sin(21vrhdrvpwDCCC61039.1,/23600,/4pscmIsmr取参数)5.1cos6sin8.0(1095.64vvC可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。问题转化为给定 ，如何选择 使得 最小。vC情形190)5.18.0(1095.64vC结果表
35、明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。淋雨量达到最小。假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得升13.1103.1134mC情形2 60/)334.0(5.1 1095.64vC结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。淋雨量达到最小。假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得升47.1107.1434mC情形3 18090此时，雨滴将从后面向你身上落下。5.1/)cos6sin8.0(1095.64vC5.1/)90cos(6)90sin(8.0(1095.64vC5.1/
36、)sin6cos8.0(1095.64vC能的。可能取负值，这是不可时，当C900 出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从我们给出的基本模型是针对雨从你的前面落到身上情形你的前面落到身上情形。因此，对于这种情况要另行讨论。当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即sinrv 这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是vvrpwDh/)sin(淋雨总量为vvrhdrpwDC/)sin(cos。，则令90090 取到最小值。时，当CrvsincossinwdprrDC 再次代如数据，得)sin4/()cos8.0(1095.64C结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋当行走速度等于雨
37、滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。若雨滴是以 的角度落下，即雨滴以 的角从背后落下，你应该以12030的速度行走，smv/230sin4此时，淋雨总量为升24.02/)2/38.0(1095.634mC这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即sinrv 你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是vrvpwDh/)sin(淋雨总量为vrvhdrpwDC/)sin(cos/)sincos(rhvrdpwDrC才可能小。尽可能大，当Cvrd,0sincos才可能小。尽可能小，当Cvrd,0sincos，而sinrv，所以sinrv 才可能小。C升。时，取77.06/)634.0(1095.630,/634mCsmv若雨是迎着你前进的方向向你落下,这时的策略很简单,应以最大的速度向前跑；若雨是从你的背后落下,你应控制你在雨中的行走速度,让它刚好等于落雨速度的水平分量。
