1、如何在如何在“数的认识数的认识”教学教学 中帮助学生建立中帮助学生建立“数数”的概念？的概念？1 北京教育科学研究院北京教育科学研究院 吴正宪吴正宪1数的认识：数的认识：一上：一上：2020以内数的认识（含以内数的认识（含0 0的认识）的认识）一下：一下：100100以内数的认识以内数的认识二下：万以内数的认识二下：万以内数的认识三上：分数的初步认识三上：分数的初步认识三下：小数的初步认识三下：小数的初步认识四上：大数的认识（亿以内数的认识）四上：大数的认识（亿以内数的认识）四下：小数的意义和性质四下：小数的意义和性质五下：分数的意义和性质五下：分数的意义和性质六下：负数的认识六下：负数的认识
2、01“自左向右自左向右”，数级拓展数级拓展“向微观向微观”，数域拓展数域拓展改变方向，改变方向，“自右向左自右向左”22内容内容学段学段标准标准数的数的认识认识第第一一学学段段知道用算盘可以表示多位数知道用算盘可以表示多位数在现实情境中理解万以内数的意义在现实情境中理解万以内数的意义第第二二学学段段第二学段的要求虽然课程内容总的条目数没有变化，但具体的内容还是有一些重要的调整。主要包括：小数、分数、百分数重点强调了理解他小数、分数、百分数重点强调了理解他们的意义们的意义，以及会进行小数、分数和百分数的转化。在这个转化的过程中，学生必然需要了解它们之间的关系，所以不再要求探索小数、分数和百分数之
3、间的关系。新课标中关于新课标中关于“数的认识数的认识”的要求与以往有的要求与以往有何主要不同？何主要不同？3在数概念建立的过程中要注意的问题：在数概念建立的过程中要注意的问题：一、注重一、注重借助具体情境借助具体情境理解数的意义理解数的意义二、注重二、注重把握核心概念把握核心概念理解数的意义理解数的意义三、注重三、注重借助多种模型借助多种模型理解数的意义理解数的意义五、注重五、注重在循序渐进中在循序渐进中理解数的意义理解数的意义四、注重四、注重借助动手操作借助动手操作理解数的意义理解数的意义44一、注重一、注重借助具体情境借助具体情境理解数的意义理解数的意义 小学生抽象思维较差，尤其是一、二年
4、级的学小学生抽象思维较差，尤其是一、二年级的学生更是以形象思维为主，而对自然数的认识则是生更是以形象思维为主，而对自然数的认识则是从一年级一入学就开始了，所以在教学中我们应从一年级一入学就开始了，所以在教学中我们应该紧密联系生活实际，借助直观形象的事物帮助该紧密联系生活实际，借助直观形象的事物帮助学生经历由具体学生经历由具体抽象抽象具体的认识过程，进而具体的认识过程，进而帮助学生理解自然数的含义。帮助学生理解自然数的含义。5 从从2 2个人、个人、2 2头牛、头牛、2 2个樱桃、个樱桃、2 2个车轮、个车轮、2 2棵树、棵树、2 2本书等等，抽象出本书等等，抽象出2 2这个数，这时用一个数字也
5、是一这个数，这时用一个数字也是一个特殊的符号来表示数量，已经把具体的单位和这个个特殊的符号来表示数量，已经把具体的单位和这个数量的具体含义去掉，抽象为数数量的具体含义去掉，抽象为数“2 2”。反过来，。反过来，2 2可可以表示任何具有以表示任何具有2 2这样数量特征的事物，这时可以让这样数量特征的事物，这时可以让学生说一说生活中你还见到哪些数量是学生说一说生活中你还见到哪些数量是2 2的事物？的事物？6100以内各数的认识以内各数的认识结合具体情境进一步理解数的意义结合具体情境进一步理解数的意义7具体、形象具体、形象78具体、半形象具体、半形象100100以内各数的认识以内各数的认识结合具体情
6、境进一步理解数的意义结合具体情境进一步理解数的意义89模型、半抽象模型、半抽象100100以内各数的认识以内各数的认识结合具体情境进一步理解数的意义结合具体情境进一步理解数的意义910完全抽象完全抽象100以内各数的认识以内各数的认识结合具体情境进一步理解数的意义结合具体情境进一步理解数的意义10天安门广场：长880米，宽500米，共44万平方米，是世界上最大的广场，可容纳一百万人。大数的认识11 如果如果1 1秒钟数一张秒钟数一张1 1元钱，每天元钱，每天2424小时不小时不间断地数，要数完一亿元钱，大家猜猜用多间断地数，要数完一亿元钱，大家猜猜用多长时间？长时间？（3 3年年2 2个月）个
7、月）121 1亿张纸摞起来大约有多高？亿张纸摞起来大约有多高？大约是大约是1 1万米，比珠穆朗玛峰万米，比珠穆朗玛峰88488848米还高。参照物的选择，米还高。参照物的选择，有助于学生理解有助于学生理解1 1亿的大小，亿的大小，易于形成数感。逐步将有形的易于形成数感。逐步将有形的数，扩展到无形的数。数，扩展到无形的数。1314二、注重二、注重把握核心概念把握核心概念理解数的意义理解数的意义 数位、计数单位、位值制、十进制记数数位、计数单位、位值制、十进制记数法法等核心概念对学生理解自然数的意义起着等核心概念对学生理解自然数的意义起着至关重要的作用，因此教师在教学中要给予至关重要的作用，因此教
8、师在教学中要给予充分的重视，通过这些核心概念的建立，帮充分的重视，通过这些核心概念的建立，帮助学生更好地理解掌握自然数的意义。助学生更好地理解掌握自然数的意义。15 第一学段完成整数万级的认识，第二学段认识第一学段完成整数万级的认识，第二学段认识万以上的数，进而整理十进制计数法。我国的计数万以上的数，进而整理十进制计数法。我国的计数单位是每四位一级，在国际上普遍使用的是三位一单位是每四位一级，在国际上普遍使用的是三位一级，在学习时可以让学生了解。级，在学习时可以让学生了解。在历史上，曾经出现五进制、二十进制、六十在历史上，曾经出现五进制、二十进制、六十进制等。当然，最多的是以进制等。当然，最多
9、的是以1010为数基，现在世界各为数基，现在世界各国通用的十进制，即重要的国通用的十进制，即重要的“满十进一满十进一”的方法。的方法。16 位值制位值制 所谓所谓“位值制位值制”，是指相同的计数符号由于所，是指相同的计数符号由于所处的位置不同，所表示数目的大小也不同。有了位处的位置不同，所表示数目的大小也不同。有了位值制，就可以用有限的数字表示出无限的自然数，值制，就可以用有限的数字表示出无限的自然数，这是计数历史上的一个创造，一个奇迹。因此马克这是计数历史上的一个创造，一个奇迹。因此马克思在他的数学手稿一书中称思在他的数学手稿一书中称十进位值制计数法十进位值制计数法为为“最妙的发明之一最妙的
10、发明之一”。17 1.1.重视重视1010的概念的建立的概念的建立 教学教学1010的认识要让学生亲自感受到由的认识要让学生亲自感受到由9 9再加再加1 1变变成十的过程，可以数、摆、捆、拨、说等，让学生感成十的过程，可以数、摆、捆、拨、说等，让学生感受受1010个一是一个十。建立个一是一个十。建立1010的概念，在认识的概念，在认识11-2011-20各数各数的认识中仍然要关注的认识中仍然要关注1010的概念的建立，体会满十进一的概念的建立，体会满十进一的过程。的过程。18 2.2.重视数计数单位重视数计数单位 为帮助学生了解十进制计数法和位值制。还要重为帮助学生了解十进制计数法和位值制。还
11、要重视数计数单位，视数计数单位，通过数计数单位帮助学生逐步建立新通过数计数单位帮助学生逐步建立新的计数单位，的计数单位，1010个一是一个十，个一是一个十，1010个十是一百，个十是一百，10 10 个百是一千，在一个单位、一个单位地数的活动中，个百是一千，在一个单位、一个单位地数的活动中，学生充分体会每数满学生充分体会每数满1010个单位就产生一个新的计数单个单位就产生一个新的计数单位位!感受了两个相邻计数单位间的进率是十感受了两个相邻计数单位间的进率是十 19 3.3.重视数位顺序表的使用重视数位顺序表的使用 随着认识的数越来越大教师应不断扩充完善数位随着认识的数越来越大教师应不断扩充完善
12、数位顺序表顺序表!比如：比如：2020以内以内 的数起就让学生了解个位和十的数起就让学生了解个位和十位位!百以内数时补充认识百位百以内数时补充认识百位!在在 认识万以内数的时认识万以内数的时候认识万位候认识万位!，在大数的认识时里学生将认识万级和亿，在大数的认识时里学生将认识万级和亿级的数以及比亿更大的数级的数以及比亿更大的数!数位顺序表有助于学生了数位顺序表有助于学生了解十进制计数法，理解数的意义并掌握读数写数的方解十进制计数法，理解数的意义并掌握读数写数的方法。法。20三、注重借助三、注重借助多种模型多种模型理解数的意义理解数的意义 多种模型的表征：在数的认识过程中，我们要注意多种模型的表
13、征：在数的认识过程中，我们要注意运用多种模型帮助学生理解数的意义建立数的概念，运用多种模型帮助学生理解数的意义建立数的概念，比如说：计数器、数位桶，方格图、数位顺序表等，比如说：计数器、数位桶，方格图、数位顺序表等，这样逐渐建立起抽象的数和现实中的数量之间的关系，这样逐渐建立起抽象的数和现实中的数量之间的关系，并且能够知道这个大小和现实中的多少之间的关系，并且能够知道这个大小和现实中的多少之间的关系，这也是数感很重要的本质问题。以自然数的认识为例：这也是数感很重要的本质问题。以自然数的认识为例：21百以内数的认识百以内数的认识222223百以内数的认识百以内数的认识2324百以内数的认识百以内
14、数的认识2425百以内数的认识百以内数的认识百数表百数表2526百以内数的认识百以内数的认识2627百以内数的认识百以内数的认识27万以内数的认识28万以内数的认识万以内数的认识29301010个一是十，个一是十，1010个十是一百，个十是一百，1010个一百是一千，个一百是一千，1010个一千是一万个一千是一万31 在实际教学中我们还要在实际教学中我们还要关注多种模型的运用，帮关注多种模型的运用，帮助学生理解分数的意义。助学生理解分数的意义。1 1分数的面积模型：分数的面积模型：用面积的用面积的“部分部分整体整体”表示分数表示分数 利用多种模型帮助学生理解分数的意义利用多种模型帮助学生理解分
15、数的意义32用集合的用集合的“子集子集全集全集”来表示分数来表示分数2.2.分数的集合模型分数的集合模型33 3.3.分数的分数的“数线模型数线模型”：数线上的点表示分数：数线上的点表示分数 34分数墙35 认识自然数的重点在于使学生能够从数量抽象到数，认识自然数的重点在于使学生能够从数量抽象到数，而抽象离不开直观的支撑和操作，因此我们要注意运用而抽象离不开直观的支撑和操作，因此我们要注意运用多种学具通过动手操作，来帮助学生理解数的意义，建多种学具通过动手操作，来帮助学生理解数的意义，建立数的概念。比如：可以借助计数器、数位桶，小棒、立数的概念。比如：可以借助计数器、数位桶，小棒、方块模型、方
16、格图、数位顺序表等学具，逐渐建立起抽方块模型、方格图、数位顺序表等学具，逐渐建立起抽象的数和现实中的数量之间的关系。教学中可以让学生象的数和现实中的数量之间的关系。教学中可以让学生借助学具通过亲自数一数、摆一摆、圈一圈、画一画等借助学具通过亲自数一数、摆一摆、圈一圈、画一画等活动，经历抽象的数与具体的事物一一对应的过程，感活动，经历抽象的数与具体的事物一一对应的过程，感受具体的数量，理解自然数的实际意义。受具体的数量，理解自然数的实际意义。四、注重四、注重借助动手操作借助动手操作理解数的意义理解数的意义36 在教学“1120各数的认识”一课时，许多教师都非常注重让学生利用小棒，通过动手数一数、
17、捆一捆、摆一摆，借助直观形象的学具来理解1120各数的组成，进而加深对每个数意义的理解。37有的教师在教学有的教师在教学“100100以内数的认识以内数的认识”时，就为学生准时，就为学生准备了充足的学具，让学生先估一估大约有多少根小棒或备了充足的学具，让学生先估一估大约有多少根小棒或小方块（如下图），再让学生亲自动手数一数，经历由小方块（如下图），再让学生亲自动手数一数，经历由1 1一一点数到一一点数到100100的过程。这种一一点数是学生认识自然数的过程。这种一一点数是学生认识自然数必须要经历的实践过程，这一过程使学生由无意识的唱必须要经历的实践过程，这一过程使学生由无意识的唱数到逐步理解掌
18、握自然数的实际意义，由只会认数到开数到逐步理解掌握自然数的实际意义，由只会认数到开始学习运用数，所以这一过程是十分有必要的、也是十始学习运用数，所以这一过程是十分有必要的、也是十分重要的。当然在一个一个地数的基础上，还可以引导分重要的。当然在一个一个地数的基础上，还可以引导学生几个几个地数，如：可以两个两个地数、五个五个学生几个几个地数，如：可以两个两个地数、五个五个地数、十个十个地数，以此来不断丰富学生的学习经验。地数、十个十个地数，以此来不断丰富学生的学习经验。3839五、注重五、注重在循序渐进中在循序渐进中理解数的意义理解数的意义 学生对于数概念的理解需要多层次、多角学生对于数概念的理解
19、需要多层次、多角度、多阶段的渐进学习，希望老师们能够整体把度、多阶段的渐进学习，希望老师们能够整体把握好各部分内容的要求与各部分之间的相互关联，握好各部分内容的要求与各部分之间的相互关联，使学生通过小学阶段的学习对自然数能够有一个使学生通过小学阶段的学习对自然数能够有一个较为全面深刻的认识和理解。较为全面深刻的认识和理解。40自然数自然数5 5的含义有哪些？请大家想一想的含义有哪些？请大家想一想1.1.自然数含义的不断丰富自然数含义的不断丰富41自然数自然数(0(0除外除外)的意义的意义在下面不同的情景中，自然数在下面不同的情景中，自然数5的意义有何区别？的意义有何区别？桌子上放着桌子上放着5
20、 5个苹果个苹果。他坐在前排左起第他坐在前排左起第5 5个座位上个座位上。这根铁丝长这根铁丝长5cm5cm。小棒的长度是铁丝的小棒的长度是铁丝的5 5倍。倍。2 +5 835。05422.2.对于分数多维多元的认识对于分数多维多元的认识 作为老师要深入理解分数丰富的意义，才有作为老师要深入理解分数丰富的意义，才有可能引导学生对分数意义的深刻认识。可能引导学生对分数意义的深刻认识。首先首先 把握理解分数的两个主线把握理解分数的两个主线：比和数。：比和数。“比比”是一种关系；是一种关系；“数表现的是一个结果。数表现的是一个结果。43分数意义分数意义比比数数比率比率度量度量运作运作商商44其次要注意
21、从四个层面理解分数意义其次要注意从四个层面理解分数意义 “比率比率”是指部分与整体的关系和部分与部分的是指部分与整体的关系和部分与部分的关系。例如一个圆平均分成关系。例如一个圆平均分成4 4份，每一份是整体的份，每一份是整体的 四四分之一。又例如，一个正方形面积是整个正方形的三分之一。又例如，一个正方形面积是整个正方形的三分之一分之一 ，整体图形的面积应该是多少？显然，整体图，整体图形的面积应该是多少？显然，整体图形的面积应该是这样的三份。形的面积应该是这样的三份。45“度量度量”指的是可以将分数理解为分数单位的指的是可以将分数理解为分数单位的累积。例如累积。例如 五分之二里面有五分之二里面有
22、2 2个五个之一个五个之一 ，就，就是用分数是用分数 作为单位度量作为单位度量2 2次的结果。度量维度次的结果。度量维度的体验也可以直接作用于分数加（减）法的学的体验也可以直接作用于分数加（减）法的学习中。习中。46 “运作运作”主要指的是将对分数的认识转化为一个主要指的是将对分数的认识转化为一个运算的过程。例如，想知道运算的过程。例如，想知道8 8个苹果的四分之三个苹果的四分之三 是多是多少个苹果，即将少个苹果，即将8 8个苹果这个整体平均分成个苹果这个整体平均分成4 4份，取其份，取其中的中的3 3份，列出算式就是份，列出算式就是8 84 43 3。47 “商商”主要是指分数转化为除法之后
23、运算的结主要是指分数转化为除法之后运算的结果，让学生体会分数也可以和其他数一样进行运果，让学生体会分数也可以和其他数一样进行运算。算。以上这四个方面的理解，对学生多角度认识以上这四个方面的理解，对学生多角度认识分数都发挥着重要的作用。它们相辅相成，共同分数都发挥着重要的作用。它们相辅相成，共同承担着学生对于分数内涵丰富性认识的建构。承担着学生对于分数内涵丰富性认识的建构。48 把握好每一阶段完成的任务把握好每一阶段完成的任务 在教学中老师们还有一个困惑，在小学阶在教学中老师们还有一个困惑，在小学阶段，对于分数意义的学习，教材一般分为两个段，对于分数意义的学习，教材一般分为两个阶段：第一学段分数
24、的初步认识和第二阶段分阶段：第一学段分数的初步认识和第二阶段分数的意义。数的意义。49 对于分数意义的学习，教材中设计了两次的学对于分数意义的学习，教材中设计了两次的学习，其实我们要理解分数的意义从平均分的学习已经习，其实我们要理解分数的意义从平均分的学习已经开始了。开始了。第一阶段：认识平均分；第一阶段：认识平均分；第二阶段：在分数的初步认识教学中，帮助学生初步第二阶段：在分数的初步认识教学中，帮助学生初步建立部分与整体关系的认识，感受分数。建立部分与整体关系的认识，感受分数。第三阶段：分数意义的学习第三阶段：分数意义的学习第四阶段：在分数与除法关系的教学中，重点使学第四阶段：在分数与除法关
25、系的教学中，重点使学 生生发展对于分数理解的运作发展对于分数理解的运作 50 第五阶段：在分数的运算及解决问题的教学中，鼓第五阶段：在分数的运算及解决问题的教学中，鼓励学生综合运用对于分数意义理解的多个维度。励学生综合运用对于分数意义理解的多个维度。这五个阶段在完成对分数意义丰富认识方面各有侧这五个阶段在完成对分数意义丰富认识方面各有侧重，相互渗透，相互补充，共同帮助学生实现对分数意重，相互渗透，相互补充，共同帮助学生实现对分数意义理解的不断发展和整体建构。义理解的不断发展和整体建构。总之分数的认识是一个循序渐进的过程，需要系总之分数的认识是一个循序渐进的过程，需要系统的进行教学设计，才能使学
26、生真正理解熟练运用。统的进行教学设计，才能使学生真正理解熟练运用。51 在小数的认识要注意的问题在小数的认识要注意的问题 在分数初步认识学习的基础上，教材安排了小在分数初步认识学习的基础上，教材安排了小数的初步认识。小数的出现标志着十进制记数法从整数的初步认识。小数的出现标志着十进制记数法从整数（自然数）扩展到了分数，使分数与整数在形式上数（自然数）扩展到了分数，使分数与整数在形式上获得了统一。在教学中我们要注意获得了统一。在教学中我们要注意 建议一：建议一：.利用知识迁移建立小数概念利用知识迁移建立小数概念52 建议二：建议二：沟通整数、小数、分数之间的关系沟通整数、小数、分数之间的关系 沟
27、通整数和小数的关系。沟通整数和小数的关系。整数与小数的计数方法是一致的整数与小数的计数方法是一致的!相邻两个计数相邻两个计数单位间的进率都是单位间的进率都是1010，教学中要设计相应的教学环，教学中要设计相应的教学环节将整数的计数方法迁移到小数，还要利用这些活节将整数的计数方法迁移到小数，还要利用这些活动帮助学生整理认数系统动帮助学生整理认数系统!把原来认识的整数数位把原来认识的整数数位表扩充到小数表扩充到小数!沟通分数和小数的关系：沟通分数和小数的关系：小数和分数上的沟通，主要是意义上的沟通，使小数和分数上的沟通，主要是意义上的沟通，使学生理解小数是十进分数。学生理解小数是十进分数。53 沟
28、通分数、整数、小数之间的关系。沟通分数、整数、小数之间的关系。小数和整数、分数有着密切的联系，整数小数和整数、分数有着密切的联系，整数可以数，一个一个地，可以数，一个一个地，一十一十地数，一百一十一十地数，一百一百地数，小数可以数：一百地数，小数可以数：0.10.1、0.20.2、0.30.3、0.40.4、0.50.5、0.60.6、0.70.7分数可以数：八分之一分数可以数：八分之一 、八、八分之二分之二 、八分之三、八分之三 、以此类推。这列数是按照一个单位进行数以此类推。这列数是按照一个单位进行数数的，无论是整数、小数、分数它们的数数的，无论是整数、小数、分数它们的数都是都是计数单位的
29、累加。计数单位的累加。54 关于关于“小数的认识小数的认识”教材也分成了两段，一段是小数的教材也分成了两段，一段是小数的初步的认识，一段是小数的意义，我们知道关于小数的初步初步的认识，一段是小数的意义，我们知道关于小数的初步认识可以从学生熟悉的计量单位：元、角、分和米制系统认识可以从学生熟悉的计量单位：元、角、分和米制系统（米、分米、厘米）来帮助学生学习。并不涉及到小数的计（米、分米、厘米）来帮助学生学习。并不涉及到小数的计数单位和数位；到了第二学段学习小数的意义时，才抽象出数单位和数位；到了第二学段学习小数的意义时，才抽象出小数的计数单位和数位，以及完善数位顺序表小数的计数单位和数位，以及完
30、善数位顺序表两个学段两个学段的重点不同，呈现的方式和学习的方式也应当有区别。要根的重点不同，呈现的方式和学习的方式也应当有区别。要根据学生的实际选择合适的学习方法，帮助学生理解小数的意据学生的实际选择合适的学习方法，帮助学生理解小数的意义。义。把握好小数认识教学的两个阶段把握好小数认识教学的两个阶段55 “数起源于数，量产生于量数起源于数，量产生于量”在整数、小数在整数、小数的学习中充分利用的学习中充分利用“数数数数”教给学生系统地数，教给学生系统地数，引导学生总结引导学生总结“计数法计数法”的规则。的规则。在数分数的过程中，让学生体会分数单位的在数分数的过程中，让学生体会分数单位的重要性，不
31、断感受度量在分数建立过程中，与重要性，不断感受度量在分数建立过程中，与整数的一致性。整数的一致性。56在数概念建立的过程中要注意的问题：在数概念建立的过程中要注意的问题：一、注重一、注重借助具体情境借助具体情境理解数的意义理解数的意义二、注重二、注重把握核心概念把握核心概念理解数的意义理解数的意义三、注重三、注重借助多种模型借助多种模型理解数的意义理解数的意义五、注重五、注重在循序渐进中在循序渐进中理解数的意义理解数的意义四、注重四、注重借助动手操作借助动手操作理解数的意义理解数的意义5757 1.要注重培养学生的数感要注重培养学生的数感 2.要整体把握内容之间的联系要整体把握内容之间的联系 3.要鼓励学生进行数学交流和数学应用要鼓励学生进行数学交流和数学应用对如何建立数概念的教学建议：对如何建立数概念的教学建议：5858
