1、问题1：请说一说勾股定理的具体内容。在RtABC中,C=90o,AB=c,AC=b,BC=a,?a2+b2=c2.已知a、b，则c=已知a、c，则b=已知c、b，则a=cabABC问题2：勾股定理应用的条件有哪些？22ba?22ac?22bc?有两种特殊的直角三角形，已知一边可以求另外两边长边可以求另外两边长ACBbac45ACBbac30a=5 cm时求b=？c=？c=6 cm时求b=？a=？:1:1:2a b c?:1:3:2a b c?一个门框尺寸如下图所示若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？若薄木板长3米，宽1.5米呢？若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？ABC1
2、m2 m木板的宽2.2米大于1米，横着不能从门框通过；木板的宽2.2米大于2米，竖着也不能从门框通过 只能试试斜着能否通过，对角线AC的长最大，因此需要求出AC的长，怎样求呢？一、勾股定理解决门框是否通过问题1、一辆装满货物高为1.8米，宽1.5米的卡车要通过一个直径为5米的半圆形双向行驶隧道，它能顺利通过吗？2()m?222.51.5?OA1.5mCD.分析：隧道宽度是足够的,所以卡车能否通过，只要看卡车位于隧道中线一侧时，其右侧高度是否小于（）.？因为21.8，高度上有0.2米的余量，所以卡车能通过隧道.CD连接OD，得到RtOCD如何求CD呢？22OCODCD?解：在RtOCD中，由勾股
3、定理得222OCODCD?知识扩展知识扩展练一练练一练、一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如下图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?2.3米2米ABCDOH.分析：1、厂门的宽度足够，所以卡车能否通过，只要看卡车位于厂门正中间时，其高度是否小于（），要求CH就必须先求（），而要求出CD我们可以建立Rt（）。2、在RtOCD中，直角边OD=（）斜边OC=（）CHCD OCD1米0.8米22ODOCCD?6.08.0122?解：在RtOCD中，由勾股定理得CH=0.6+2.3=2.92.5因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.0.8m1m知识扩展练一练
4、有一个边长为50 dm的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）50 dmABCD22225050500071()ACABBCdm?解：在RtABC中，B=90,AC=BC=50,由勾股定理可知：如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，测得CB=60 m，AC=20 m，你能求出A、B两点间的距离吗？（结果保留整数）一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC的距离为2.4m如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0.4m吗？ABCDE解：在RtABC中，ACB=90AC2+BC2AB22.42+BC22.5
5、2BC0.7m由题意得：DEAB2.5mDCACAD2.40.42m在RtDCE中，BE1.50.70.8m0.4m答；梯子底端B不是外移0.4mDCE=90 DC2+CE2DE222+BC22.52CE1.5m二、勾股定理解决梯子移动问题如图，一个如图，一个3米长的梯子米长的梯子AB，斜着靠在，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米求梯子的底端B距墙角O多少米？如果梯子的顶端A沿墙角下滑0.5米至C，请同学们:猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？算一算，底端滑动的距离近似值是多少?（结果保留两位小数）BDCOA在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题这个问题意思是：有一个水池，
6、水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？DABC解:设水池的深度AC为X米,则芦苇高AD为(X+1)米.根据题意得:BC2+AC2=AB252+X2=(X+1)225+X2=X2+2X+1X=12 X+1=12+1=13(米)答:水池的深度为12米,芦苇高为13米.三、勾股定理解决芦苇倾斜问题荷花问题平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲;出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边;渔人观看忙向前,花离原位二尺远;能算诸君请解题,湖水如何知深浅.0.5xx+0.522222(0.5)xx?
7、2240.25xxx?4 0.25x?3.75()x?尺答：湖水深3.75尺.探究新知探究新知可用勾股定理建立方程.实数数轴上的数轴上的点点一一对应说出下列数轴上各字母所表示的实数：A B C D-2 -1 0 1 2 点C表示点D表示点B表示32?点A表示2?137四、利用勾股定理在数轴上表示无理数四、利用勾股定理在数轴上表示无理数我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出的点吗？1301234步骤：lA?BC1、在数轴上找到点 A,使OA=3;2、作直线LOA,在L上取一点B，使AB=2;3,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示的点。
8、13你能在数轴上画出表示的点和的点吗？1517点C即为表示的点13你能在数轴上画出表示的点吗？13探究1:31322131301234lA?BC你能在数轴上画出表示的点和的点吗？1517117?16 4?115?14215?11315?6415?101234A?BC41717411541576431122你能在数轴上表示出的点吗？252?2?呢呢探究:113213?12 2 3?93?34567?用相同的方法作,.呢0在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案由此可知,利用勾股定理,可以作可以作出长为21146785101112139161819171415n1111111111111111第七
9、届国际数学教育大会的会徽31数学海螺图：的线段.2,3,5,n?1.（丹东中考）已知ABC是边长为1 1的等腰直角三角形，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD,再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰腰RtADE,ADE,依此类推，第依此类推，第n n个等腰直角三角形的斜边长是_.2.2.如图为4 44 4的正方形网格的正方形网格,以格点与点以格点与点A A为端点为端点,你能画画出几条边长条边长为的线段?A103.如图，D(2,1),以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个?写出落在x轴上的顶点坐标.xy(2,1)1255(5,0)
10、?(5,0)5(4,0)xx2 x?2221(2)xx?221 4 4xxx?54x?解得5(,0)4在ABC中，D为BC边上的高，已知AB=15，BC=30，AC=20，求BD的长？五、利用勾股定理建立方程方程思想：两个直角三角形中，如果有一条公共边，可利用勾股定理建立方程求解.变式训练：ABC中,AB=10,AC=17，BC边上的高线AD=8,求线段BC的长和ABC的面积.ABC17108D861515621 或9SABC=84或36当题中没有给出图形时，应考虑图形的形状是否确定，如果不确定，就需要分类讨论。如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已
11、知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？CAEBDx25-x解：设AE=x km，根据勾股定理，得AD2+AE2=DE2BC2+BE2=CE2又 DE=CEAD2+AE2=BC2+BE2即：152+x2=102+（25-x)2答：E站应建在离A站10km处。X=10则BE=（25-x）km1510五、利用勾股定理建立方程勾股定理中折叠问题折叠和轴对称密不可分，利用折叠前后图形完全重合、全等，找到对应边、对应角相等便可顺利解决折叠问题矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上F处，已知AB=8，BC=
12、10，求EF的长。ABCDFE解:设DE为X,X则CE为(8X).由题意可知:EF=DE=X,XAF=AD=1010108在RtABF中AB2+BF2AF282+BF2102BF6CFBCBF106464在RtEFC中CE2+CF2EF2(8X)2+42=X2解得X=5即EF=5六六、折折叠叠问问题题(8-X)2、试求下列图形中阴影部分的面积试求下列图形中阴影部分的面积（1）阴影部分是正方形25cm2（2）阴影部分是半圆8cm2七、图形中阴影部分的面积问题七、图形中阴影部分的面积问题如图，分别以Rt?ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，猜想S1、S2、S3之间有什
13、么关系？请加 以说明。?)(321281228128128132281223281222281221321分析：?ABBCACBCACBCACABBCACAB?3S1S2S知识扩展练一练?321241224124124132241223241222241221sssABBCACBCACssBCsACsABsBCACAB?解：如图，分别以直角三角形 ABC的三边为边向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆，求三个圆的面积之间的关系。1S2S3SCBA知识扩展知识扩展练一练练一练如图，已知直角三角形ABC的三边分别为6、8、10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆
14、，求图中阴影部分的面积。24 8621 :,132321?ABCABCSSSSSSSBCSACSAB阴影则的半圆面积为为直径以圆面积为为直径的半以积为为直径的半圆面解：设以知识扩展知识扩展练一练练一练乙甲八、勾股定理应用中:航海问题甲轮船以海里时的速度从港口向东南方向航行，乙船同时以0海里时速度向东北方向航行求它们离开港口小时后相距多远？北南西东港口AB解:2小时甲、乙各行的路程是甲：20 2=40乙：15 2=30东南方向与东北方向夹角是90由勾股定理可知AB=40+30 AB=50海里答：它们离开港口2小时后相距50海里.222甲乙日常生活中常见的垂直关系有哪些？日常生活中常见的垂直关系有
15、哪些？东北西南BAC九、利用勾股定理解决最短路径问题九、利用勾股定理解决最短路径问题1.两点之间，最短！2.一个圆柱体的侧面展开图是,它的一边长是,它的另一边长是.线段长方形圆柱的高底面圆的周长AB我怎么走会最近呢?例1:如图所示,圆柱体的底面直径为6cm,高AC为12cm,一只蚂蚁从A点出发,沿着圆柱的侧面爬行到点B,试求出爬行的最短路程.(取3）CD议一议：分组讨论、合作交流、动手实践。AB两点之间线段最短两点之间线段最短为什么这样走最短？为什么这样走最短？ABCACBAB解解:如上图，在如上图，在RtABC中中,BCr 9cm，AB15（cm）（勾股定理）（勾股定理）答：最短路程约为15
16、cm22129?22BCAC?CBA高12cmBA长18cm (的值取3)9cmAB2=92+122=81+144=225=AB=15(cm)答:蚂蚁爬行的最短路程是15cm.152解:将圆柱如图侧面展开.在RtABC中,根据勾股定理C几何体的表面路径的最短的问题，一般将立体图形展开为平面图形来计算。展平：只需展开包含相关点的面。可能存在多种展开法。定点：确定相关点的位置。连线：连接相关点，构建直角三角形。计算：利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。展开思想（求立体图形中最短路程问题的“四步法”）最短路程问题例1:如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点 B处吃食,要爬行的最
17、短路程(取3）是()A.20cmB.10cmC.14cmD.无法确定BB8OA2蛋糕AC?B周长的一半开学了，小华的妈妈为她准备了一把长为 85cm的雨伞和一个行李箱，行李箱长为 40cm，宽为30cm，高为70cm，问能否把雨伞放进这个行李箱中？DBCA40米30米60米40米30米xx60米ABCX2=302+402=50AB2=602+X2=AB=米做一做做一做小明要外出旅游，他所带的行李箱如图，长40cm，宽30cm，高60cm，请问：一把70cm长的雨伞能否装进这个行李箱？BDCADCBA30cm40cm60cm解：如图，由题意可知 ADC 和 ABC都是直角三角形。5022?BCA
18、BACAC61002/2/?CCACAC6100?可以装进行李箱。70如图,正四棱柱的底面边长为 5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面到点 C1处吃食物,那么它需要爬行的最短路径是多少？解:如下图,将四棱柱的侧面展开,连结AC1,AC=10cm,CC1=8cm(已知),BCAB1C1D1A1DBAB1D1A1DC1C?.勾股定理412164810CCACAC222121?与上题的区别如图是一个长8m，宽6m，高5m的仓库，在其内壁的A处（长的四等分点）处有一只壁虎，B（宽的三等分）处有一只蚊子，则壁虎抓到蚊子的最短距离的平方为m2AB865AB865642221
19、05125AB?BA586642226 9 3681117AB?AB如图是一个长8m，宽6m，高5m的仓库，在其内壁的A处（长的四等分点）处有一只壁虎，B（宽的三等分）处有一只蚊子，则壁虎抓到蚊子的最短距离的平方为m2AB865855622211 412116 137AB?64如图,长方体的长、宽、高分别为8、4、2.现有一小虫从顶点A出发,沿长方体侧面到达顶点C,小虫走的路程最短为多少厘米？ACC1B1C2B28421222B3C314822?212AC21022?68AC1 111622?410AC3展平：只需展开包含相关点的面。可能存在多种展开法。定点：确定相关点的位置。连线：连接相关点
20、，构建直角三角形。计算：利用两点之间线段最短，及勾股定理求解如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？2032 2AB32323AB2=AC2+BC2=625,AB=25.应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题展平：只需展开包含相关点的面。可能存在多种展开法。定点：确定相关点的位置。连线：连接相关点，构建直角三角形。计算：利用两点之间线段最短，及勾股定理求解4.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的
21、两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从 A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？AB十、勾股定理解决楼梯上铺地毯问题十、勾股定理解决楼梯上铺地毯问题4.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从 A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？AB展平：只需展开包含相关点的面。可能存在多种展开法。定点：确定相关点的位置。连线：连接相关点，构建直角三角形。计算：利用两点之间线段最短，及勾股定理求解4.如图，是一个
22、三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从 A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？AB展平：只需展开包含相关点的面。可能存在多种展开法。定点：确定相关点的位置。连线：连接相关点，构建直角三角形。计算：利用两点之间线段最短，及勾股定理求解4.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从 A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少
23、？AB55106解：C如图，将台阶展开。AC=(10+6)3=48BC=55三角形ABC为直角三角形AB=ACBC?22?224855230430255329 73答：最短路线是73cm3、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）.（A）3 （B)（C）2 （D）1ABABC21分析：由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）.B52.如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且AC=3，BD=5，CD=6，若牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？
24、CADBMA方法总结数学来源于生活，又服务与生活。?、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题?、立体图形中路线最短的问题，往往是把立体图形展开，得到平面图形根据“两点之间，线段最短”确定行走路线，再根据勾股定理计算出最短距离应用勾股定理解决实际问题的一般思路：勾股定理解决实际问题的一般思路：知识扩展练一练利用勾股定理作出长为利用勾股定理作出长为的线段.?54,3,2，211345用同样的方法，你能否在数轴上画出表示，12453提示：利用上一个直角三角形的斜边作为下一个直角三角形的一条直角边在直线L上依次摆放着七个正方
25、形（如图）已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，求S1S2S3+S4=_知识扩展知识扩展练一练练一练（2012中考）请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求：在图中画出分割线并在正方形网格图中用实线画出拼接成的新正方形.(图中每个小正方形的边长均为1)5吴玉中 同学的做法是：设新正方形的边长为x(x0).根据割补前后图形的面积相等，依题意：得：x25，解得x.由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成得长方形的对角线的长.于是，画出图所示的分割线，拼出如图所示的新正方形
26、.图1图图图参考吴总同学的做法，解决如下问题：现有10个边长为1的正方形，排列形式如图，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求：在图中画出分割线，并在图的正方形网格图中用实线画出拼接成的新正方形.(图中每个小正方形的边长均为1)图图分析分析：根据前后面积相等，利用勾股定理可得10个边长为1的正方形，分割后，可拼成一个边长为根号10的正方形，故分割时必须产生四个全等的且斜边长为根号10的直角三角形（共须6个小正方形），然后将剩余的四上正方形组成一个边长为二的正方形，放置中间即可解答：如图就是一种分割为了筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色泊纸，如图已知圆筒高1
27、08cm，其截面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应截剪多长油纸。2736108ABC45454=180知识扩展知识扩展练一练练一练有一圆柱形油罐,要以A点环绕油罐建旋梯,正好到A点的正上方B点,问旋梯最短要多少米?（己知油罐周长是12米,高AB是5米）提示:把问题看成蚂蚁从点A出发绕圆柱侧面一周到达点B,此时它需要爬行的最短路程又是多少?知识扩展练一练答:旋梯至少需要13米长.13131691252222?ABAB?解：ABC1.1.运用勾股定理解决实际问题,关键在于“找”到合适的直角三角形.2.在运用勾股定理时，我们必须首先明确哪两条边是直角边，哪一条是斜边.3.数学来源与生活，同时又服务于我们的生活.数学就在我们的身边，我们要能够学以致用.
