1、 浙江省杭州市 2020 届高三统测模拟 数学试卷2020 年 4 月 一、选择题: (本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分) 1.已知 R 为实数集,集合 A=x|y= 1g(x+3), B=x|x2,则 () R CAB A. x|x-3 B. x|x-3 C. x|x-3 D. x|2x1” 是” 53 aa”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条 件 C.充要条件 D. 既不充分也不 必要条件 5.一个正方体被截去一部分后所剩的几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( ) A.6 20 . 3 B C.7 22 . 3 D 6.已知函数( )sin3cos(0
2、,f xxxxR)的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为 2 的等差数列,把函数 f(x)的图象沿 x 轴向左平移 3 个单位，横坐标伸长到原来的 2 倍得到函数 g(x)的图象, 则下列关于函数 g (x)的命题中正确的是( ) A.函数 g(x)是奇函数 B. g(x)的图象关 于直线 6 x 对称 C. g(x)在, 3 3 上是增函数 D.当 , 6 6 x 时,函数 g(x)的值域是0,2 7.如图为我国数学家赵爽(约 3 世纪初)在为周髀算经作注时验 证勾股定理的示意图,现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色,规定每 个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,则A,C区域涂
3、1 B不相同的概率 为() 1 . 7 A 2 . 7 B 3 . 7 C 4 . 7 D 8. 下列函数图象中，函数 f | | ( )( ax xx eZ)的图象不可能的是 ( ) 9.设点M是棱长为2的正方体 1111 ABCDABC D的棱AD的中点, 点 P 在面 11 BCC B所在的平面内，若平面 1 D PM分别与平面 ABCD 和 平面 11 BCC B所成的锐二面角相等,则点 P 到点 1 C的最短距离是() 2 5 . 5 A 2 . 2 B C.1 6 . 3 D 10. 函数 f(x)=4lnx-ax+3 存在两个不同的零点 12 ,x x函数 2 ( )2g xxa
4、x存在两个不同的零点 34 ,x x且满足 3124, xxxx则实数 a 的取值范围是() A. (0,3) .(2 2,3)B 1 4 .(2 2,4)Ce 1 4 .(3,4)De 二、 填空题: (本大题共 7 小题， 多空题每题 6 分， 单空题每题 4 分， 共 36 分.) 11.已知直线 1: lax+2y-3= 0 和直线 2: l(1-a)x+y+1=0.若 12, ll则实 数 a 的值为_;若 12 / / ,ll则实数 a 的值为_ 12.随机变量 X 的取值为 0、1、2，P(X =0)=0.2, DX =0.4,则 P(X=1)=_若 Y=2X，则 DY=_ 13
5、.已知 5 1 ()(21) (0),axxa x 若展开式中各项的系数和为 81, 则 a=_， 展开式中常数项为_ 14.已知椭圆 22 22 :1(0), xy Mab ab 双曲线 22 22 :1 xy N mn .若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭 圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆 M 的离心率为_， 双曲线N的离心率为_. 15.已知单位向量, ,i j k两两的夹角均为 (00, 则当且仅当 x= y 时,向量, a b的夹角取得最小值; 己知 a 111222 ( ,) ,(,)x y zbx y z，则 121212 (,)abxx yy
6、zz; 已知(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) 333 OAOBOC ， 则 三棱锥 O- ABC 的表面积2.S 其中真命题为_(写出所有真命题的序号). 16.已知, ,2a bc是平面内三个单位向量,若,ab则 |4 | 2|32|acabc的最小值是_ 17.设 aR,若不等式 33 11 |48xxaxx xx 恒成立， 则 实数 a 的取值范围是_. 三、解答题: (本大题共 5 小题，共 74 分.) 18.在ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.已知 sinsin(). 3 aBbA (1)求 A; (2) D 是线段 BC 上的点,若 A
7、D= BD=2, CD=3,求ADC 的面积. 19.如图，在长方形 ABCD 中，AB=4，AD=2，点 E 是 DC 的中点， 将ADE 沿 AE 折起，使平面 ADE平面 ABCE，连结 DB、DC、EB. （1）求证：平面 ADE平面 BDE； （2）求 AD 与平面 BDC 所成角的正弦值。 20.已知正项数列 n a的前 n 项和为, n S且 2* 241() nnn aSNan (1)求数列 n a的通项公式; (2)若 2121 1 , n n nn a b SS 数列 n b的前 n 项和为, n T求 n T的取值范 围. 21.已知直线 x=-2 上有一动点 Q,过点 Q 作直线 l,垂直于 y 轴,动点 P 在 l 上,且满足OP OQ=0(O 为坐标原点)，记点 P 的轨迹为 C. (1)求曲线 C 的方程; (2) 已知定点 11 ,0 ,0 22 MN ，点 A 为曲线 C 上一点，直 线 AM 交曲线 C 于另一点 B,且点 A 在线段 MB 上，直线 AN 交曲线 C 于另一点 D,求MBD 的内切圆半径 r 的取值范围. 22.已知函数 f(x)= xlnx . (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)若不等式 2 3 ln()0 3 2 2 x xxe x 对任意 x1,3恒成立, 求正实数 的取值范围.
