1、第一章 矢量分析 1.1 场的概念场的概念 1.1.0 对点、线、面、体积的再认识（对点、线、面、体积的再认识（补充补充）1.1.1 矢性函数矢性函数 在二维空间或三维空间内的任一点P，它是一个既存在大小(或称为模)又有方向特性的量，故称为实数矢量矢量，用黑体A表示，而白体A表示A的大小(即A的模)。若用几何图形表示，它是从该点出发画一条带有箭头的直线段，直线段的长度表示矢量A的模，箭头的指向表示该矢量A的方向。矢量一旦被赋予物理单位，便成为具有物理意义的矢量，如电场强度E、磁场强度H、速度v等等。若某一矢量的模和方向都保持不变，此矢量称为常矢量，如某物体所受到的重力。而在实际问题中遇到的更多
2、的是模和方向或两者之一会发生变化的矢量，这种矢量我们称为变矢量，如沿着某一曲线物体运动的速度v等。设t是一数性变量，A为变矢量，对于某一区间Ga,b内的每一个数值t,A都有一个确定的矢量A(t)与之对应，则称A为数性变量t的矢性函数。记为)(tAA 而G为A的定义域。矢性函数A(t)在直角坐标系中的三个坐标分量都是变量t的函数，分别为Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，则矢性函数A(t)也可用其坐标表示为 zzyyxxtAtAtAeeeA)()()(其中ex、ey、ez为x轴、y轴、z轴正向单位矢量。同一矢量在不同坐标系下有不同的表达式！同一矢量在不同坐标系下有不同的表达式！（见后）1.1.2
3、 标量场和矢量场标量场和矢量场 如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。换句话说，在某一空间区域中，物理量的无穷集合表示一种场。如在教室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电位的分布确定了一个电位场。场的一个重要的属性是它占有一定空间，而且在该空间域内，除有限个点和表面外，其物理量应是处处连续的。若该物理量与时间无关，则该场称为静态场；若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或称为时变场。在研究物理系统中温度、压力、密度等在一定空间的分布状态时，数学上只需用一个代数变量来描述，这些代数变量(即标量函数)所确定的场称为标量场，如温度场T
4、(x,y,z)、电位场(x,y,z)等。然而在许多物理系统中，其状态不仅需要确定其大小，同时还需确定它们的方向，这就需要用一个矢量来描述，因此称为矢量场，例如电场、磁场、流速场等等。1.1.3 矢量的加、减、点乘与叉乘矢量的加、减、点乘与叉乘（补充）在标量场在标量场(M)中的一点中的一点M处，其方向为函数处，其方向为函数(M)在在M点处点处变化率最大的方向，其模又恰好等于最大变化率的矢量变化率最大的方向，其模又恰好等于最大变化率的矢量G，称为，称为标量场标量场(M)在在M点处的点处的梯度梯度。在直角坐标系中，梯度的表达式为:zyxzyxeee1.2 标量场的梯度标量场的梯度 数学上从定义可推得
5、在不同坐标系下的表达式 设c为一常数，u和v为数量场，很容易证明下面梯度运算法则的成立。u)u(f)u(f)vuuv(v1vuvuuv)uv(vu)vu(uc)cu(0c2.RRRR31RRR R为空间两点(x,y,z)与(x,y,z)的距离 例例1 矢量r=xex+yey+zez，证明：222zyxr.rrrr证：证：rxzyxxzyxxxrzryrxrrzy222222xeee因为 rzzyxzzyxxzrryzyxyzyxyyr222222222222所以 rreeeeeerzyxrrzryrxrzyxzyx)(1 *例例2.已知位于原点处的点电荷q在点M(x,y,z)处产生的电位为 ，
6、其中矢径r为r=xex+yey+zey，且已知电场强度与电位的关系是E=-，求电场强度E。rq4解：解：rrqrq144E根据f(u)=f(u)u的运算法则，rrrrr2111rrE232441414rqrqrrqrq1.3 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度 1.3.1 矢量场的通量矢量场的通量 将曲面的一个面元用矢量dS来表示，其方向取为面元的法线方向，其大小为dS，即 dsdnS n是面元法线方向的单位矢量。n的指向数学约定有两种情况：对非闭合曲面，则选定封闭曲线L绕行的方向后，沿绕行方向按右手螺旋右手螺旋的拇指方向就是n的方向；对闭合曲面，面元法线方向约定向外。如图1-3所示；图 1
7、-3 法线方向的取法 将曲面S各面元上的AdS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面S的通量通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：SSdSnAdSA如果曲面是一个封闭曲面，则 SA dS1.3.2 矢量场的散度矢量场的散度 VdSVSA0lim称此极限为矢量场称此极限为矢量场A在某点的在某点的散度散度，即散度的定义式为 VdlimS0VSAA 矢量场A的散度经推导，可表示为：zAyAxAzyx AAAABABA)()(性质:数学上从定义可推得在不同坐标系下的表达式 散度定理散度定理 VSddVSAA2222222)(zyxzyxzyxeee记为zzyyxxAAAzyxeeeA222222222222
8、定义：1.4 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度 在力场中，某一质点沿着指定的曲线c运动时，力场所做的功可表示为力场F沿曲线c的线积分，即 cdlcosFdWlF图 1-5 矢量场的环量 1.4.2 矢量场的旋度矢量场的旋度 SdcSlA0limSdlimc0SlAA)(n 将上极限值定义为A A的旋度的旋度(旋度值是矢量)在法线方向的投影,即:原始定义：zxyyxzxyzyAxAzAxAzAyAeeeAzyxAAAzyxzyxeeeA 数学上从定义可推得在不同坐标系下的表达式,在直角坐标系下有:上式可用下行列式帮助记忆:AAABAABBAAAABABA2)(0)()()()(可以证明，有下
9、列恒等式：1.4.3 斯托克斯定理斯托克斯定理 cSdd)(lASA 此式称为斯托克斯定理或斯托克斯公式斯托克斯公式。它将矢量旋度的面积分变换成该矢量的线积分，或将矢量A的线积分转换为该矢量旋度的面积分。式中dS S的方向与dL的方向成右手螺旋关系。例例1-12 求矢量场A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0，1)处的旋度。解：解：矢量场A的旋度 zyxzyxe)xy(e)zx(e)yz()xy(z)zx(y)yz(xzyxeeeA 例例 1-13 在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的电场强度为)(4433zyxzyxrqrqeeerE求自由空间任意点(
10、r0)电场强度的旋度E。0rxyryxrzxrxzryzrzy4qrzryrxzyx4qz33y33x330333zyxeeeeeeE解：解：1.5 圆柱坐标系与球坐标系圆柱坐标系与球坐标系 1.5.1 圆柱坐标系圆柱坐标系 图图 1-7 圆柱坐标系圆柱坐标系 同一矢量在不同坐标系下有各自的表达式同一矢量在不同坐标系下有各自的表达式zoo2zeeedzdddVeeeAAAAAzzz),(1.5.2 球面坐标系球面坐标系 图图 1-8 球面坐标系球面坐标系 20oroeeereeeAAAArrddrdrdVsin2ddrdSsin21.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理的简单表达是：若矢量场F在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场矢量场由其散度和旋度唯一确定。由其散度和旋度唯一确定。
