1、心理与教育统计学第五章 百分等级与标准分数第五章 百分等级与标准分数v为了理解该内容对于教育问题的重要性，我们先来看两个日常教学中经常面临的问题。某同学数学成绩班上排名15，你能对此成绩进行评价吗？为什么？两名小学生语文和数学两科的总分均为180，能否说明两人的学习水平一样？为什么？第五章 百分等级与标准分数一、原始分数的缺陷二、百分等级三、标准分数四、统计软件操作一、原始分数的缺陷v原始分数，又称观测分数，它是观测所得的、未经任何加工的分数。v在我国当前学校教育中，经常用原始分数作为评价学生的标准，但是对于原始分数本身的固有的缺陷造成使用和评价上的失误，却很少引起基层学校的重视。一、原始分数
2、的缺陷v原始分数的缺陷主要表现在四个方面。原始分数无明确的意义原始分数的单位不等值原始分数不具可比性原始分数没有可加性二、百分等级v百分等级的定义v百分等级的计算v应用与局限 二、百分等级（一）百分等级的定义v普通的等级顺序是难以看出成绩优劣的。百分等级不同，它能表示一个学生的成绩在他所属的团体中的相对地位。v百分等级（percentile rank），用符号PR表示。百分等级是将全体人数作为100来计算的，以确定每一个个体分数在这100中的位置如何。百分等级越大，所代表的等级越高，反之则越低。v百分等级和前面所学的百分位数是对应的关系。P82二、百分等级（二）百分等级的计算v原始数据计算百分
3、等级NRPR50100100公式中，R表示某一原始分数在按大小排列的数列中的顺序或名次，N表示总次数。二、百分等级（二）百分等级的计算v例题：假设某团体有5个人，依次排序为1，2，3，4，5。试问每个人的百分等级是多少呢？二、百分等级（二）百分等级的计算v例题：假设某团体有5个人，依次排序为1，2，3，4，5。试问每个人的百分等级是多少呢？根据公式计算得出，5名学生的百分等级分别为90，70，50，30，10。如何理解这个结果？P83二、百分等级（二）百分等级的计算v例题：某班学生参加了数学推理测验，现随机从中抽取10名学生的成绩并按大小顺序排列90，89，85，78，77，73，69，66，
4、65，60。试求得分为85分的百分等级。二、百分等级（二）百分等级的计算v例题：某班学生参加了数学推理测验，现随机从中抽取10名学生的成绩并按大小顺序排列90，89，85，78，77，73，69，66，65，60。试求得分为85分的百分等级。因为85分排名第3，总人数为10，代入公式得75。这个75表示什么涵义？课堂练习v例题：分别计算第2名和第15名在40名学生和60名学生中的百分等级。二、百分等级（二）百分等级的计算v分组数据对分组数列中某一分数求百分等级单项式数列组距式数列二、百分等级（二）百分等级的计算v单项式数列对单项式数列中某一分数求百分等级，可以将其视为未分组数列来处理，根据累计
5、次数，算出该分数的第一个取值的排名，按公式计算百分等级，再根据该分数的频数计算最后一个取值的排名，计算百分等级，然后把两个等级求算术平均即可。由于分数一般不会用单项式数列，所以这种情况不太多见。二、百分等级（二）百分等级的计算v例题：某考查课成绩v计算成绩“中”的百分等级。等级人数优8良12中18及格10不及格2合计50二、百分等级（二）百分等级的计算v例题：某考查课成绩v计算成绩“中”的百分等级。v分别计算R=21和38的百分等级，然后求算术平均等级人数累计人数优88良1220中1838及格1048不及格250合计50二、百分等级（二）百分等级的计算v组距式数列百分等级实际上与百分位数互为关
6、系。百分位数是由百分位求具体分数，百分等级是由具体分数求对应的百分位。所以，根据组距式数列百分位数的公式可以推导出百分等级的公式。请试根据百分位数公式P81公式4-2推导百分等级公式P83公式4-3二、百分等级（二）百分等级的计算v例题：57名学生的高等数学成绩的分布如表所示。试求81分的百分等级。分数人数50-55155-60260-65665-70970-751575-801380-85885-903合计57二、百分等级（二）百分等级的计算v例题：57名学生的高等数学成绩的分布如表所示。试求81分的百分等级。v答案：84分数人数50-55155-60260-65665-70970-7515
7、75-801380-85885-903合计57二、百分等级（二）应用与局限v百分等级具有意义明确，容易理解，计算简明等优点。不论原始分数是什么样的分布形态，计算出来的百分等级都有同样的作用。因此在心理与教育学方面有着广泛的用途。建立百分等级常模 衡量考绩的优劣，确定学生的相对地位 比较两个或多个群体成绩的优劣 二、百分等级（二）应用与局限v局限百分等级还只是一种顺序量表，单位不等距，因此各个百分等级不能进行代数法的运算，也不能进行综合指标、变异指标的统计处理。对于不同被试总体而来说，因分数转换的参照标准不同，故百分等级之间无法比较。也就是说，只能进行同一测验中同一原始分数百分等级的比较，无法进
8、行不同测验百分等级的比较。三、标准分数v标准分数standard score在教育领域中应用极其广泛。v标准分数计算的原理是基于正态分布的有关理论。这里只谈谈有关标准分数的计算和应用。三、标准分数（一）Z分数vP95v标准分数有很多种，都是按照一定标准将原始分数转换得来。其中，最基本的标准分数称为Z分数。三、标准分数（一）Z分数v计算Z分数是以标准差为单位所表示的“原始分数”与平均数的偏差，亦即原始分数与其平均数之差除以标准差所得的商，其公式为注意，Z分数是有正有负的。v例题 P96例4-7、P98例4-8_xxZ三、标准分数（一）Z分数vZ分数的性质 P96一组数据Z分数的平均数为0 一组数
9、据Z分数的标准差为1 vZ分数的优点P970_nZZ1z三、标准分数（一）Z分数如何根据Z分数得到名次？vP449附表1：正态分布表Z分数为正分时，查表得到相应的P值，加上0.5即为所求Z分数为负分时，查表得到相应的P值，用0.5减去该数值即可三、标准分数（一）Z分数v请观察表中Z分数为2.99和3.99时的P值注意，P值无限趋近于0.5，但是永远不能达到0.5。在日常应用中，常把3或4作为Z分数的最高值来处理。这和后面的导出分数范围有关。三、标准分数（一）Z分数vZ分数的应用是因为正态分布的性质。正态分布的有关问题以后再讲。v应该明确，如果总体中个体数量太少的话，例如只有几个人、十几个人，应
10、用Z分数是没有价值的。三、标准分数（一）Z分数vZ分数的实质Z分数是将某一原始分数的离均差变为以标准差为单位的量数，表示此原始分数离开平均数的远近，即它在均数以上或以下多少个标准差的位置上，以此说明原始分数的相对地位。三、标准分数（一）Z分数v将原始分数转化为Z分数的实质就是把单位不等距和缺乏明确参照点的分数转成以标准差为单位，以平均数为参照点的量表分数。v在一个数据分布中，标准差所表示的距离是相等的，而以标准差为单位就使得计量单位等距了。以均数为参照点，也就是将均数视为原点0。v所以Z分数相当于将原始分数转变后放在以平均数为原点、标准差为计量单位的一维数轴上。三、标准分数（一）Z分数vZ分数
11、的应用Z分数不仅能反映原始分数在分布中的相对地位，而且也能比较不同分布的原始分数，同时还可以进行代数法的处理（即可以相加、相减和平均），对样本中的值得怀疑异常值进行取舍，因此它在心理与教育领域的应用极为广泛。三、标准分数（一）Z分数应用一：比较不同测量单位的变量值的相对位置例题：某班进行体质检查，测得学生平均身高为160公分，标准差为8.2公分；平均体重60公斤，标准差3.5公斤。某生身高170公分，体重65公斤，试问该生的身高和体重在班上那方面更突出一些？三、标准分数（一）Z分数应用二：学绩评估标准分数不仅可以比较不仅可以评估个体在不同学科学业成绩的优劣，而且还可以评价不同个体在不同学科上学
12、业成绩的高低，同时还可以对学业成绩进行加权处理。三、标准分数（一）Z分数v学绩评估之一：评估同一个体不同学科学业成绩如前所述，当测验内容、学科性质不同时，原始分数是无法直接比较的。但是，经过转换后的标准分数因单位统一、等值，则是可以比较的。例题：某班算术能力测验的平均成绩是60分，标准差7分；阅读能力测验的平均成绩是25分，标准差是3分。甲生两项成绩分别为74分和30分，试问甲生哪项能力更突出一些？答案三、标准分数（一）Z分数v学绩评估之一：评估同一个体不同学科学业成绩如前所述，当测验内容、学科性质不同时，原始分数是无法直接比较的。但是，经过转换后的标准分数因单位统一、等值，则是可以比较的。例
13、题：某班算术能力测验的平均成绩是60分，标准差7分；阅读能力测验的平均成绩是25分，标准差是3分。甲生两项成绩分别为74分和30分，试问甲生哪项能力更突出一些？计算结果表明，该生的算术Z分数为2.00，阅读能力Z分数为1.67三、标准分数（一）Z分数v学绩评估之二：评价不同个体多科成绩优劣不同个体的各学科之间一方面因难易程度不同，分散程度不同而无法直接相加求和，另一方面则因各科之间没有参照点，难以分辨学生的特色科目。转换成Z分数后，各学科的标准分不仅可以直接相加，而且还可以使分析比较更细致、更深入。例题：P99例4-9和例4-10三、标准分数（一）Z分数应用三：进行加权处理在各种考试中，测验时
14、间长短不同或比重不同，说明在成绩的重要性程度不同，因此在成绩评价时应考虑权数的影响作用，更好地反映实际情况。三、标准分数（一）Z分数v例题：某课程第一次测验40分钟，班级平均数为90分，标准差6分；第二次测验60分钟，班平均分88分，标准差9分；第三次测验90分钟，班平均分80分，标准差13分。某生在三次测验中的得分分别为90，85，82，他的成绩在班上处于什么水平？三、标准分数（一）Z分数应用四：异常数据的取舍一般来说，来自同一总体的样本资料，虽然数据会千差万别，大小不一，但是总会呈现出一定的趋势来。假如在这样一个样本中出现个别极端的数据，那么其可靠性就会有问题，而这种数据被称为异常数据或异
15、常值。三、标准分数（一）Z分数v例：调查一群正常人脉搏，其分布应在每分钟70次左右，如果样本中有一例脉搏为每分钟130次，不得不怀疑该数据。v样本中出现异常数据的原因和后果v异常数据的舍弃方法三、标准分数（二）导出分数vZ分数的不足虽然Z分数与原始分数相比有意义明确、单位等距等许多优势，但仍存在一些不足，造成应用上的不便。具体来说有四点。三、标准分数（二）导出分数vZ分数计算所依据的原理较为复杂，不懂统计的人对此难以理解，解释起来也非常麻烦。vZ分数的取值中，有一半负值，一半正值，使用上很不方便。如在成绩评定中，告知学生或家长其成绩为0或为负，很难被人接受，也令一般人感到不可思议。v因Z分数取
16、值范围有限，容易出现小数，这给计算带来麻烦，同时计算中进行四舍五入也会使误差增大。v用Z分数进行比较时，原则上要求两个测验原始分数的分布形态相同或相似，若相异也不能直接比较。三、标准分数（二）导出分数v通过百分等级来计算Z分数针对上述的第4点不足，如果原始分数服从正态分布,可以直接用原始分数求Z分数,再进行相应的变换；当原始分数不服从正态分布或分布形态未知时，须先将原始分数化为百分等级，经过查正态分布表，将其转换为Z分数，而不是直接求Z分数。原始数据是否服从或近似服从正态分布，统计上有检验的标准，我们以后再学习。在日常工作中，如学生的考试成绩，我们通过观察分布图的方法粗略地判断即可，不必要严格
17、运用检验标准。三、标准分数（二）导出分数v导出分数 P101为了克服Z分数的上述缺陷，需要其作进一步的线性转换，这种转换后的标准分数称导出分数。用T表示导出分数，一般的公式为 T=aZ+b其中，ab均为人为设定的参数。实际上，a为导出分数的标准差，b为算术平均数三、标准分数（二）导出分数v常用的导出分数有韦克斯离差智商，a=15，b=100学科测验标准分，a=10，b=50（有的为60）美国高考和研究生考试，a=100，b=500v根据设定的Z分数取值范围不同（一般为正负3或4），导出分数的最高最低分也由此决定 三、标准分数（二）导出分数这是2008年美国德克萨斯州八年级某学生的全州统考科学学科成绩单三、标准分数（三）我国当前的标准分数应用v我国的高考标准分高考的各科标准分T=100Z+500 广东的情况v对于高考标准分数和原始分数在我国当前应用的看法三、标准分数（二）导出分数v我国的英语四、六级报告分数 计算步骤T=70Z+500分数常模四、统计软件操作vEXCEL操作standardive vSPSS操作菜单Analyze-Descriptive Statistics-Descriptives，勾选对话框下方的选项
