1、第二章 控制系统的数学模型 2.1 引言 2-2 控制系统的复域数学模型 2-3 控制系统的结构图与信号流图数学模型的几种表示方式数学模型时域模型频域模型方框图和信号流图状态空间模型2.1 引言 描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或元件的数学模型 深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型称建模 物理模型 任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。物理模型 任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的
2、描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。电子放大器 看成 理想的线性放大环节。通讯卫星 看成 质点。建立控制系统数学模型的方法有：分析法对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律。实验法人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。分析法建立系统数学模型的几个步骤：建立物理模型。列写原始方程。利用适当的物理定律如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。实验法基于系统
3、辨识的建模方法黑黑匣匣子子输输入入（已已知知）输输出出（已已知知）已知知识和辨识目的 实验设计-选择实验条件 模型阶次-适合于应用的适当的阶次 参数估计-最小二乘法 模型验证将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近dttiCtututRidttiCdttdiLCr)(1)(),()()(1)(LCRCuru例：由电阻R、电感L、和电容C组成的无源网络，是列写以UI(t)为输入量，以u0(t)为输出量的网络方程)()()()(22tutudttduRCdttudLCrCCC 求质量m在外力F的作用下，质量m的位移x的运动。设系统已处于平衡状态，相对于初始状
4、态的 位移、速度、加速度)()()()()()()(2122tKxdttdxftFtFtFtFdttxdm弹簧弹簧-质量质量-阻尼器（阻尼器（S-M-D）机械位移）机械位移系统系统k)(tFfm)(tx控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立基本步骤：（1）由系统原理图画出系统方框图或直接确定系统中各个基本部件（元件）（2）列写各方框图的输入输出之间的微分方程，要注意前后连接的两个元件中，后级元件对前级元件的负载效应（3）消去中间变量速度控制系统的微分方程速度控制系统的微分方程-k2SM负载-k1TGgufu1u2uau1R2RC2R1Rm系统输出 系统输入参考量gu控制系统的主要部件（元
5、件）：给定电位器、运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机121111,)(RRKuKuuKuefgxKy 23uKuaCCammmmMKuKdtdT运放1运放2功放直流电动机mi1减速器（齿轮系）测速发电机ttKu 消去中间变量matuuuu21控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为)()(321321tmtmmmKKKKKiKKKKKiTT)(321321tmmgKKKKKiKKKKK)(321321tmmgKKKKKiKKKKK)()()()(22tutudttduRCdttudLCrCCC)()()()(22tFtKxdttdxfdttxdmCCggggmMKu
6、KdtduKdtdT)(321tmCCKKKKKiKK*比较比较 R-L-C电路运动方程与电路运动方程与 M-S-D机械系统运动方程机械系统运动方程相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系1 1 拉氏变换的定义拉氏变换的定义 0)()(dtetfsFts（2 2）单位阶跃）单位阶跃2 2 常见函数常见函数L变换变换)(tfs1（5 5）指数函数）指数函数ate)(1as)(sF)(1 t（1 1）单位脉冲）单位脉冲1)(t（3 3）单位斜坡）单位斜坡21 st（4 4）单位加速度）单位加速度31 s22t（6 6）正弦函数）正弦函数t sin)(22 s（7 7）余弦函数）余弦函数t cos
7、)(22 ss 课程小结(3)（2 2）微分定理）微分定理3 3 L变换重要定理变换重要定理（5 5）复位移定理）复位移定理（1 1）线性性质）线性性质（3 3）积分定理）积分定理（4 4）实位移定理）实位移定理（6 6）初值定理）初值定理（7 7）终值定理）终值定理 (s)Fb(s)Fa(t)fb(t)faL2121 0fsFstfL 0111-fssFsdttfL )(lim)(lim0sFstfst )(lim)(lim0sFstfst xKy )(xK用拉氏变换方法解微分方程用拉氏变换方法解微分方程)(1)()()(21ttyatyaty ssYasas1)()(212 L变换变换0)
8、0()0(yy)(1)(212asasssY )(1sYLty 系统微分方程系统微分方程L-1变换变换线性系统的性质线性系统的性质：具有可叠加性、均匀性（齐次性）线性定常微分方程求解方法线性定常微分方程求解方法直接求解法：通解+特解 自由解+强迫解（零输入响应+零状态响应）变换域求解法：Laplace 变换方法 运动的模态运动的模态 微分方程的解：齐次方程的通解+特解 通解由特征根所决定，若n阶微分方程的特征根均为单根，称 为该微分方程的运动模态 特征根具有重根的情况时的运动模态 特征根具有共轭复根时的运动模态n21,tttneee,21,112ttette,cos,sin)(teteettt
9、j或非线性元件微分方程的线性化非线性元件微分方程的线性化 实际的物理元件都存在一定的非线性，例如弹簧系数 是位移的函数电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关电动本身的摩擦、死区小偏差线性化法 设连续变化的非线性函数)(xfy 平衡状态A为工作点yyyxxxxfy 0000,)(在平衡状态点运用台劳级数展开为)(xfy-0 0.5 5-1 1.3 33 3-1 1-2 2z z1 1z z2 2图图 2 2-7 7 传传 递递 函函 数数 的的 零零 极极 点点 图图202200)()(!21)()()()(00 xxdxxfdxxdxxdfxfxfyxx)()()()(0000 xxdxxd
10、fxfxfyyxxKy 具有两个自变量的非线性函数的线性化)(),()(),(),(),(202),(221101),(12120102120102010 xxxxxfxxxxxfxxfxxfyxxxx2211xKxKy 增量线性方程例1、线性化例2、求解微分方程)(cos)(0txExy)()()(0 xyxyxy xxEy 00sin取一次近似，且令取一次近似，且令 既有既有 例例1 1 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。200000)(!21)()()(xxxyxxxyxyxy解解.在工作点在工作点(x0,y0)处展开泰勒
11、级数处展开泰勒级数)(sin000 xxxE rQShSdtdh1 hhhhdthdhhh 00021|0)(1)21()(0000rrQQShhhSdthhd SQhSdtdhr000 rQShhSdthd 120 解解.在在 处泰勒展开，取一次近似处泰勒展开，取一次近似 0h代入原方程可得代入原方程可得在平衡点处系统满足在平衡点处系统满足 上两式相减可得线性化方程上两式相减可得线性化方程 例例2 2 某容器的液位高度某容器的液位高度 h h 与液体流入量与液体流入量 Q Q 满足方程满足方程 式中式中 S 为液位容器的横截面积。若为液位容器的横截面积。若 h 与与 Q 在其工作点附近做微量
12、在其工作点附近做微量 变化，试导出变化，试导出 h h 关于关于 Q Q 的线性化方程。的线性化方程。2-2 控制系统的复域数学模型复域数学模型 传递函数传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念频率法、根轨迹法一、传递函数的定义与性质一、传递函数的定义与性质定义设线性定常系统由n阶线性定常微分方程描述：)()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn 在零初始条件下，由传递函数的定义得)()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmm
13、mm例1：试求：RLC 串联无源网络的传递函数)()()(sUsUsGrc)()()()(22tutudttduRCdttudLCrCCC)()()1(2sUsURCsLCsrc11)()()(2RCsLCssUsUsGrc传递函数的性质（1）因果系统的传递函数是s 的有理真分式函数，具有复变函数的性质。（2）传递函数取决于系统或元件的结构和参数，与输入信号的形式无关。G(s)(sC)(sG)(tg（3）传递函数与微分方程可相互转换。（4）传递函数 的Laplace反变换是系统的脉冲响应 。xKy njjmiinmpzKabK1*)()(二、传递函数的零点与极点二、传递函数的零点与极点)1()
14、12)(1()1()12)(1()()()(22222122222111101110sTsTsTsTassssbasasasabsbsbsbsRsCsGjnimnnnnmmmmxKy jxKy z1z2xKy 00*abK称为传递系数或根轨迹系数xKy 传递函数写成因子连乘积的形式称为传递系数或增益或放大系数传递函数的极点就是微分方程的特征根，极点决定了系统自由运动的模态，而且在强迫运动中也会包含这些自由运动的模态。三、传递函数极点和零点对输出的影响传递函数的零点影响各模态在响应中所占的比重，例如tttteetceetc22215.05.01)(,321)(33.1)2)(1(25.1)(,5
15、.0)2)(1(24)(2211 zssssGzssssG输入信号 ，零状态响应分别为0各个模态在两个系统输出响应中所占的比重不同，取决于零点相对于极点的距离。例如：xKy jxKy z1z2 零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大 零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小,如果零极点重合该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。极点是微分方程的特征跟，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。KSsG)(四、四、典型元部件的传递函数典型元部件的传递函数1 电位器 一种线位移或角位移变换为电压量的装置单个线绕式圆环电位器（角位移型）空载时的传递函数pR由一对电位器组构
16、成的误差检测器，空载时的传递函数pR当负载不能忽略时，必须考虑负载效应。考虑具有负载效应时的电位器输入输出关系E1121121)()()()()()()()()(Kss Us GtKttKt ut ut u lR maxmaxmax2)(1)(1)(1)(ttRRt ERRRRRRERRRRRRREt ulppplppppplppl px Ky lR)(/)()(1maxtKt Et u不再具有线性关系，若 很大，例如 ，则有plRR10 xKy xKy 测速发电机 测量角速度并转换为电压量的装置，一般有交流和直流两种。TG1121121)()()()()()()()()(Kss Us GtK
17、ttKt ut ut u)(sU)(s)(tuxKy )(s)(s3 无源网络 用途：在控制系统中引入无源网络作为校正元件，用复阻抗方法可直接求出无源网络的传递函数)(tuC)(tur1R2R)(1sG)(2sG1R)(1sG2R)(2sG )()(0s Fet f Ls xKy )()(As Ft f e Lt A 五、典型环节及其传递函数任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。典型环节通常分为以下六种：1 比例环节 式中 K-增益 特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。2 惯性环节 1)(SsG12)(22SSs G024
18、68101214161800.10.20.30.40.50.60.70.80.91 System:y1 Settling Time(sec):11.7 Step ResponseTime(sec)Amplitude1/(3s+1)式中 T-时间常数 特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡。实例：图2-4所示的RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。3 微分环节 理想微分一阶微分二阶微分 特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。SsG1)(1212)(22222TSSTSSsGnn
19、n)10(012345678910012345678x 1013xKy sppdtd,振荡环节微分环节4 积分环节 特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。5 振荡环节 式中 阻尼比 -自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。nnT1)()(trtcses G)(01234567800.20.40.60.811.21.4 System:y3 Peak amplitude:1.05 Overshoot(%):4.6 At time(sec):4.42 System:y3 Settling Time(sec):5.98 Step ResponseTime(sec)Amplitude积分环节 G(s)=3/SG(s)=1/S6 纯时间延时环节 式中 延迟时间 特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。一对电位器可组成误差检测器NoImageNoImageNoImageKsG)(
