1、第五章教学要求 主要介绍平均指标和变异指标两大部分内容。其中，平均指标主要介绍算术平均数、倒数平均数、几何平均数、中位数和众数的计算方法，重点要掌握算术平均数算术平均数的计算和应用。变异指标主要介绍全距、四分位差、平均差和标准差的计算方法，其中，重点是标标准差准差的计算和应用。第五章 平均指标和变异指标第一节 统计平均数一、平均指标的概念和作用（P83）1、概念；2、特点；3、作用二、算术平均数二、算术平均数(arithmetic mean)(P85)（一）基本公式：（一）基本公式：（二）（二）简单算术平均数：简单算术平均数：各个数据（即观察值）之和除以相各个数据（即观察值）之和除以相 应的数
2、据（观察值）应的数据（观察值）个数个数（三）加权算术平均数：（三）加权算术平均数：方法一：权数（方法一：权数（f）为绝对数（见为绝对数（见P87）方法二：权数（方法二：权数（f/f）为相对数（见为相对数（见P88）nxxxxn.21fxfxffffxfxfxnnn.212211)(ffxx例：权数是绝对数的组距数列的加权平均数的计算：例：权数是相对数的组距数列的加权平均数的计算：某银行某年某月为 100 家企业贷款情况表 按贷款额分组（万元）组中值（万元）x 贷款企业数（个）f 比重（%）ff ffx（万元）10 以下 5 20 20 1.0 10-20 15 10 10 1.50 20-30
3、 25 22 22 5.50 30-40 35 34 34 11.90 40 以上 45 14 14 6.30 合计 100 100 26.20 根据上述资料计算该银行为每家企业的平均贷款额为：万元2.26ffxx 某县粮食生产情况如下，试计算该县平均亩产按亩产分组按亩产分组 播种面积比重播种面积比重 （千克）（千克）（%）f/f 200以下 8 200250 35250400 45 400以上 12计算结果按亩产分组按亩产分组 播种面积比重播种面积比重 组中值组中值 X（f/f）（千克）（千克）（%）f/f X 200以下 8 170 13.60200250 35 225 78.752504
4、00 45 325 146.25 400以上 12 475 57.00 60.295)(ffxx三、调和平均数三、调和平均数（Harmonic mean)（P92）含义：是算术平均数的变形。是根据变量值的含义：是算术平均数的变形。是根据变量值的倒数计算的算术平均数的倒数，故又称倒数平倒数计算的算术平均数的倒数，故又称倒数平均数。均数。计算方法计算方法：分为简单调和平均数和加权调：分为简单调和平均数和加权调和平均数。和平均数。调和平均数与算术平均数比较：调和平均数与算术平均数比较：方法和所给资方法和所给资料不同，调和平均数一般是分子项已知，料不同，调和平均数一般是分子项已知，分母项未知；算术平均
5、数一般是分母项已分母项未知；算术平均数一般是分母项已知，分子项未知。知，分子项未知。可参见可参见P93-94例题例题nxxnxh111mmxxmmxh11一个例子在菜市场上，某青菜早晨卖0.67元/千克，中午卖0.5元/千克，晚上卖0.4元/千克，（1）请计算这种菜这早中晚各买1斤的平均价格；（2）请计算这种菜早中晚各买1元的平均价格。计算结果（1）用简单算术平均数方法计算：（2）用简单调和平均数计算方法：52.034.05.067.0 x50.040.0150.0167.013hx例甲乙两个农贸市场价格、成交额、成交量资料如下，试计算两个市场的平均价格，并说明采用何种方法进行计算。产品产品
6、价格（元价格（元/kg）甲市场成交额（万元）乙市场成交量（吨）甲市场成交额（万元）乙市场成交量（吨）甲 2 1 3乙 3 3 2丙 4 6 1四、几何平均数四、几何平均数(geometric mean)(P96)含义含义：又称对数平均数，是分布数列若干个变量变量值连乘积值连乘积的n次方根。几何平均数常用来计算平均平均比率和平均速度。比率和平均速度。计算方法计算方法：1.简单几何平均数：简单几何平均数：2.加权几何平均数：加权几何平均数：例如，某银行有一笔投资是按复利计算的，投资期限是15年，期间年利率分配如下：有1年为3%，有4年为8%，有7年为10%，有3年为15%。试求银行该项投资的平均年
7、利率。ffnGxxxxxffffffnn.212121.nnnGxxxxx.21几何平均数计算解：此题计算平均年利率年利率，必须先将其换算成 年年本利率本利率，然后采用加权几何平均数方法求得平均年本利率，再减去100%后得到平均年利率。=（1.031 1.084 1.107 1.153）1/15 =1.0996（或或109.96%）则该银行这项投资的平均年本利率为109.96%，平均年利率为9.96%ffnGxxxxxffffffnn.212121.五、众数(Mode)（P99）含义：含义：总体中出现次数最多（或最常见）的数值，也即是数列中重复出现次数最多的数值，通常用Mo表示。适用条件适用条
8、件：n 较多且有明显集中趋势时适合用众数作为总体一般水平。确定或计算方法：确定或计算方法：1.单项式分组资料单项式分组资料：可以直接观察，即出现次数最可以直接观察，即出现次数最多的数值；多的数值；2.组距式分组资料：组距式分组资料：先找出 众数所在组众数所在组 然后通过比例插值法公式近似计算公式近似计算六、中位数（Median)（一）中位数（P102）含义：含义：把某种观察值按大小顺序排列后，处在该数列中点位置的观察值，通常以Me表示。确定或计算方法确定或计算方法：根据资料的分组情况不同，确定中位数可分为：未分组资料、单项式分组资料和组距式分组资料三种情况。接前页：中位数中位数确定方法1.未分
9、组资料未分组资料：排序 确定位置（n+1)/2 若n为奇数项，则居中点位置的数值即为中位数；若 n为偶数项，则居中的两个数值的平均数为中位数。2.单项式分组资料单项式分组资料：累计次数 确定中位数位置(f/2)找出中位数。3组距式分组资料组距式分组资料：前两步骤同上，找到中位数所在位置 根据公式(下限或上限)求出中位数的近似值。例1 中位数和众数计算 月工资（元）职工人数(f)累计次数 组中值（x）xf1500以下 10 10 1450 14500 15001600 16 26 1550 2480016001700 35 61 1650 5775017001800 21 82 1750 367
10、5018001900 11 93 1850 203501900以上 7 100 1950 13650 合计 100 167800中位数中位数计算结果解：中位数所在位次由累计次数可知：f/2=100/2=50，根据累计次数，中位数组为第三组16001700。其中xl=1600，xu=1700,Sm-1=10+16=26,fm=35,d=100，下限下限公式：=1600+（50-26）/35 100=1668.57（元）元）上限上限公式：=1700-（50-39）/35 100=1668.57（元）元）dffsXMmmle12dffsXMmmue12众数众数计算结果解：仍以上题为例，由于第三组职工
11、工资出现的次数（人数）最多（35人），则该组（16001700）为众数组，其中，xl=1600，xu=1700,d=100,1=35-16=19,2=35-21=14,代入公式：下限下限公式：=1600+19/（19+14）100=1657.6（元）元）上限上限公式：=1700-14/（19+14）100=1657.6（元）元）dXMlo211dXMuo212第二节 标志变动度（变异指标）一、标志变动度的意义和作用：标志变动度又称变异指标，是反映总体内各个标志值之间差差异程度（或离散程度）异程度（或离散程度）的指标。它与平均指标结合运用，可以达到对现象总体的全面认识。二、全距（或极差）二、全距
12、（或极差）三、四分位差三、四分位差 四、平均差四、平均差*五、标准差五、标准差 六、离散系数六、离散系数二、极差二、极差(Range)（P112）含义：含义：极差（R）又称全距，是总体中最大值与最小值之差。计算：计算：1.未分组或单项分组资料：未分组或单项分组资料：R=最大值最大值-最小值最小值2.组距式分组资料组距式分组资料：仅限于首末两组为闭口组仅限于首末两组为闭口组 R=末组上限末组上限-首组下限首组下限局限：局限：由于极差是根据总体的极端变量值极端变量值（即最大值和最小值）计算的，没有考虑中间变量值的变动情况，所以不能全面反映总体各个变量值的离散程度。因此，其应用受到局限。三、四分位差
13、（P112）（Quartile Deviation)（一）概念：将一个变量数列分为四等分，形成三个分割点（Q1、Q2、Q3），这三个分割点的数值就称为四分位数。其中，第二个四分位数Q2 就是中位数。四分位差四分位差：就是第三个四分位数与第一个四分位数之差，常用Q.D表示。即 Q.D=Q3-Q1（二）四分位差的计算（P113）未分组资料：未分组资料：当变量值项数为奇数时（如当变量值项数为奇数时（如n=11)当变量值项数为偶数时（如当变量值项数为偶数时（如n=20）注意：首先将变量值排序；然后计算第一、第三个四分位数位置；注意：首先将变量值排序；然后计算第一、第三个四分位数位置；最后确定两个四分位
14、数最后确定两个四分位数Q1、Q3已分组资料：已分组资料：步骤：确定位置，步骤：确定位置，Q1=f/4，Q3=3f/4 计算向上累计次数，由此找到计算向上累计次数，由此找到Q1、Q3所在组。所在组。如果是单项式分组数列，则如果是单项式分组数列，则Q1、Q3所在组的标志值即是所在组的标志值即是Q1、Q3数值；数值；如果是组距式数列，确定如果是组距式数列，确定Q1、Q3所在组后，还要用公式求得所在组后，还要用公式求得Q1、Q3数值。数值。四分位差：未分组资料举例n为奇数项（为奇数项（n=11）（）（见见P113）n为偶数项（如为偶数项（如n=20）16，16，17，17，17，17，18，18，18
15、，18，18，20，20，20，20，20，22，22，22，22位置：位置：Q1=（n+1）/4=5.25，第一个四分位数在第第一个四分位数在第5、6项项之间，因为两者均为之间，因为两者均为17，则，则Q1=17位置：位置：Q3=3（n+1）/4=15.75，第三个四分位数在第第三个四分位数在第15、16项之间，因为两者均为项之间，因为两者均为20，则，则Q3=20注意，如果第注意，如果第15、16项的数值不相同，若第项的数值不相同，若第15项数值为项数值为20，第第16项数值为项数值为22，应该在上、下两项数值之间用比例分摊，应该在上、下两项数值之间用比例分摊法计算，即法计算，即Q3=20
16、+0.75(22-20）=21.5四分位差计算：已分组资料四分位差计算：已分组资料步骤：确定位置，步骤：确定位置，Q1=f/4，Q3=3f/4 计算向上累计次数，由此找到计算向上累计次数，由此找到Q1、Q3所在所在组。组。如果是单项式分组数列，则如果是单项式分组数列，则Q1、Q3所在组的所在组的标志值即是标志值即是Q1、Q3数值；数值；如果是组距式数列，确定如果是组距式数列，确定Q1、Q3所在组后，所在组后，还要用公式求得还要用公式求得Q1、Q3数值。数值。举例：见举例：见P114四、平均差(Average Deviation)含义：含义：平均差是总体各单位标志值与其平均数离差绝对值的平均数，
17、通常用A.D表示。计算：计算：1.未分组资料：未分组资料：采用简单平均差方法；2.单项式分组和组距式分组资料单项式分组和组距式分组资料：采用加权平均差方法 局限：由于该指标计算涉及到绝对值，故不利于数局限：由于该指标计算涉及到绝对值，故不利于数学运算，所以应用受到了限制。学运算，所以应用受到了限制。举例：见下页举例：见下页例例3 组距数列计算平均差组距数列计算平均差例如：某企业一生产车间100名职工日产量资料分组如下。日产量（件）日产量（件）人数（人）组中值（件）人数（人）组中值（件）离差离差 离差绝对值离差绝对值 离差绝对值离差绝对值*人数人数 （f)(x)(x-26)x-26 x-26*f
18、 515 10 10 -16 16 1601525 35 20 -6 6 2102535 40 30 4 4 1603545 15 40 14 14 210合计合计 100 740平均数 =2600/100=26(件）平均差A.D=740/100=7.4（件）fxfx五、标准差五、标准差(standard deviation)（P116）(一）含义：一）含义：方差：是总体各单位标志值（或变量值）与其算术平均方差：是总体各单位标志值（或变量值）与其算术平均数离差平方的平均数，常用数离差平方的平均数，常用2 2表示表示。标准差：是总体各单位标志值与其算术平均数离差平方标准差：是总体各单位标志值与其
19、算术平均数离差平方的平均数的平方根，又称均方差，常用的平均数的平方根，又称均方差，常用表示。表示。（二）计算：（二）计算：1.1.未分组资料：（简单法）未分组资料：（简单法）2.2.分组资料：分组资料：（加权法）（加权法）计算步骤：平均数平均数离差（离差（x xi i-)-)离差平方乘以相应次数（离差平方乘以相应次数（x xi i-)-)2 2 f fi i代入上述计算公式即可得到方差代入上述计算公式即可得到方差2 2 ，再对其开平方即可得到标准差，再对其开平方即可得到标准差 。ffxx)(2nxx)(2xxx标准差计算：举例月工资（元）月工资（元）职工人数（职工人数（f）组中值（组中值（x）
20、xf x-830 （x-830）2（x-830）2 f （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）600700 30 650 19500 -180 32400 972000700800 50 750 37500 -80 6400 320000800900 70 850 59500 20 400 280009001000 30 950 28500 120 14400 4320001000以上以上 20 1050 21000 220 48400 968000合计合计 200 166000 2720000月平均工资：月平均工资：=166000/200=830（元）；元）；方差：方差：=(272000
21、0/200)1/2 =116.6=116.6（元）元）fxfx ffxx)(2课堂练习题成绩分组（分）学生数（人）60以下以下 6 6070 17 7080 20 8090 10 90100 7 合计合计 60 根据上表资料，计算学生平均成绩、成绩的中位数、众数、四分位差和标准差等指标（要求列出计算表）。变异系数（Coefficient of variation)含义：含义：是指用变异指标与其相应的平均指标对比，是指用变异指标与其相应的平均指标对比，反映总体各单位标志值之间离散程度的相对指反映总体各单位标志值之间离散程度的相对指标，一般用标，一般用V表示。由于标准差是应用最广泛表示。由于标准差
22、是应用最广泛的变异指标，所以，变异系数通常是指标准差的变异指标，所以，变异系数通常是指标准差系数，常用系数，常用V 表示。表示。适用条件：适用条件：若判断平均数代表性大小，当两个总体若判断平均数代表性大小，当两个总体的平均数大小不等时，需要计算变异系数来评的平均数大小不等时，需要计算变异系数来评价，标准是：价，标准是：变异系数变异系数V 大，大，则则平均数代表平均数代表性弱性弱；变异系数变异系数V 小小，则，则平均数代表性强平均数代表性强。国内新闻摘要:分析说明北京商报北京商报2007年年11月月22日报道日报道 昨日，国家统计局新闻发言人、总工程昨日，国家统计局新闻发言人、总工程师郑京平在中
23、国社科院金融所的学术报告会上就统计数据备受质疑的原因师郑京平在中国社科院金融所的学术报告会上就统计数据备受质疑的原因给出了明确解释。给出了明确解释。近期，社会对国家统计局公布的一系列数值如近期，社会对国家统计局公布的一系列数值如CPI、职工平均工资等都有、职工平均工资等都有不同程度的质疑和议论。包括易宪容在内的多位经济学家，经常在公开场不同程度的质疑和议论。包括易宪容在内的多位经济学家，经常在公开场合指责一些统计数据不够精细和全面；很多居民也抱怨统计数据和自己的合指责一些统计数据不够精细和全面；很多居民也抱怨统计数据和自己的感觉感觉“不搭调不搭调”。郑京平表示，之所以统计数据和民众生活体验不相
24、符，原因在于这些数据郑京平表示，之所以统计数据和民众生活体验不相符，原因在于这些数据与社会上大多数人的利益密切相关，所以大家会关注和议论，关注度广泛与社会上大多数人的利益密切相关，所以大家会关注和议论，关注度广泛是统计数据容易受到质疑的原因。是统计数据容易受到质疑的原因。而且，而且，“统计数据大多数是以平均值结果公布的，各地差异很大，不同地统计数据大多数是以平均值结果公布的，各地差异很大，不同地区的人都以自己的感受为基础进行评价，自然会有不同的评价结果区的人都以自己的感受为基础进行评价，自然会有不同的评价结果”。郑。郑京平说，平均数值会掩盖一些差异。京平说，平均数值会掩盖一些差异。此外，公众对
25、统计数据的知识和方法了解不够也是造成统计数据被质疑的此外，公众对统计数据的知识和方法了解不够也是造成统计数据被质疑的原因。郑京平介绍说，统计目标以及统计方法的不同都会造成统计结果的原因。郑京平介绍说，统计目标以及统计方法的不同都会造成统计结果的差异，在数据采样上也存在困难，所以有时候很难做到完全接近现实差异，在数据采样上也存在困难，所以有时候很难做到完全接近现实。请同学们针对上述新闻报道请同学们针对上述新闻报道,谈谈你个人的看法及建议谈谈你个人的看法及建议 本章补充内容：本章补充内容：成数成数含义：含义：在总体中，是非标志只能具有两种表现，如：人的性别表现为男男和女女、产品质量表现为合格合格与
26、不合格。不合格。把具有某种表现（N1)或不具有某种表现的单位数(N0)占全部总体单位数(N)的比重称为成数。用字母表示为：p=N1/N 或或q=N0/N 其中，其中，N1+N0=N 则则p+q=1或或q=1-p是非标志的平均数平均数：为被研究标志表现的成数P。是非标志的标准差标准差：为具有某种标志表现的成数p和另一种标志表现的成数(1-p)两者乘积的平方根。注意：这两个结论将在下一章这两个结论将在下一章“抽样调查与推断抽样调查与推断”中中使用使用总结本章介绍了主要的本章介绍了主要的平均指标平均指标和变异指标变异指标种类及其各自的计算方法。希望同学们种类及其各自的计算方法。希望同学们重点掌握平均指标中重点掌握平均指标中“算术平均数算术平均数”和和变异指标中变异指标中“标准差标准差”的计算方法，并的计算方法，并能够应用到现实中去分析一些实际问题。能够应用到现实中去分析一些实际问题。要知道两个指标是有着密切联系的，即要知道两个指标是有着密切联系的，即“算术平均数算术平均数”是是“标准差标准差”计算的前计算的前提和基础。提和基础。
