1、1 1、基本概念、基本概念微分方程微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解式的函数称为微分方程的解 通解通解如果如果微分方程的解中含有任意常数，并且微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解解叫做微分方程的通解
2、特解特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解叫做微分方程的特解初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题叫初值问题)()(xQyxPdxdy 形如形如(2)一阶线性微分方程一阶线性微分方程,0)(xQ当当上方程称为齐次的上方程称为齐次的上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的.,0)(xQ当当齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)(dxxPCey（使用分离变量法）（使用分离变量法）解法解法dxxfdyyg)()(形形如如(1)可分离变
3、量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法 dxxfdyyg)()(分离变量法分离变量法2 2、一阶微分方程的解法、一阶微分方程的解法非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为 dxxPdxxPeCdxexQy)()()(（常数变易法）（常数变易法）3 3、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn 形如形如n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程0 qyypy二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的
4、特征方程的根确定其通解的方法称为定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.02 qprr0 qyypy 特特征征根根的的情情况况 通通解解的的表表达达式式实实根根21rr 实实根根21rr 复复根根 ir 2,1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 特征方程为特征方程为01)1(1)(yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 ik 复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(co
5、s)(11101110 推广：推广：阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法n4 4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程型型)()()1(xPexfmx 解法解法待定系数法待定系数法.,)(xQexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根 2,10k型型sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 设设次次多多项项式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1(nlm,max .1;0是特征方程的单
6、根时是特征方程的单根时不是特征方程的根时不是特征方程的根时 iik习题习题6-13(2)12=C sin(-C),|=1,|=0.xxyxyy 1212=C sin(-C),=C cos(-C)yxyx由由得得 =|=1,|=0.xxyy代代入入初初始始条条件件：=-21212112121 C sin(-C)=C sinCC=10 C cos(-C)=C cosCxx12C=1C=2+,2y=sin(-2-)=-cos2kxkx不不妨妨取取，则则1(C=-1)若若，结结果果相相同同习题习题6-2 1(1)-ln=0dydxxyyy=ylnyxdydx=ylnyx111ln|ln|=ln|+ln
7、C=ln|C|(C 0)yxxC1lnClnCxy=xy=xy=e22secsectantanyxdydxyx 1(3)d tand tantantanyxyx 11ln tanln tanlntantanyxCyxCC 1(4)11yxyxeedydxee 11ln1ln1lnln11ln11=CyxyxyxeeCeeCee 两两边边积积分分：整整理理得得：通通解解为为：4(2)lnsindydxyyx变变量量分分离离：1 ln lnyln csccotlnxxC两两端端积积分分：代代入入初初值值：1ln(csccot),(C=C)yCxx,12xyeClncsccotyxx 4(3)tan
8、1xxedxydye 变变量量分分离离：11 ln(e+1)ln cosln e+1cos,(C=C)xxyCCy两两端端积积分分：代代入入初初值值：0,2 24xyC12 2cosxey 习题6-31.（4）,（7）,（8）（4）tantan2sin2sin2 =coscos cos2sin =Ccos-2cosxdxxdxyexedx Cxxdx Cxxxdx Cxx11lndxxdyyyy（8）lnln1ln|ln|ln|ln|112111 =1ln =ln11 =lnln2dydyyyyyyyxeedyCyeedyCyydyCyyyCy212 lnln(2)xyyC CC3322222
9、222323113ln3ln1133113133 =1 =2 =2dxdxxxxxxxxxxxxxxyeedxCeedxCex edxCxx eeCxCx e代入初值：x=1，y=0，得12Ce 213112xxye 2(4)3.求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点（求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点（x,y）处的切斜率等于处的切斜率等于2x+y解：设曲线方程解：设曲线方程 y=y(x),2yxy02,|0 xyyx y2 =2 =22 =22dxdxxxxxxxyexedxCexe dxCexeeCxCe0,02xyC2(1)xyex综合练习综合练习3.设f(x)可导，则满足20(
10、)(),(0)0.().xtf t dtf xxff x求()()2xf xfxx解：()()2fxxf xx221122()2 =2xdxxdxxxf xexedxCeeC(0)0202fCC 212()22xf xe4.设可微函数f(x),g(x)满足 设()(),()().fxg x g xf x(0)0,()0,fg x()(),()f xxg x试导出 所满足的微分方程，并求()x()x 2()()()()1 ()()fx g xf x g xxgx()()()1()g xxxg x整理得 2 ()(),()()()()0;()()0fxg x g xf xfxf xgxg xQ2101rr 1234()()xxxxf xC eC eg xC eC e123400CCCC()(),()().fxg x g xf x132412CCCCCC 令C1=a(),0()xxxxf xaeaeag xaeae22()1()()1xxf xexg xe
