1、 第八章第八章 根轨迹法根轨迹法 8.4 8.4 根轨迹法设计与校正控制系统根轨迹法设计与校正控制系统 8.1 8.1 根轨迹法基本概念根轨迹法基本概念 8.2 8.2 绘制根轨迹图的基本规则绘制根轨迹图的基本规则 8.3 8.3 控制系统的根轨迹分析控制系统的根轨迹分析 8.3 8.3 控制系统的根轨迹分析控制系统的根轨迹分析 根轨迹图上希望闭环极点的位置参数变化对闭环极点的影响(广义根轨迹、根轨迹簇)比例微分控制作用与微分反馈对系统性能的影响开环零点和极点对根轨迹的影响增加开环极点的影响)/(1cps 增加一个惯性环节增加开环零点的影响加入一阶微分环节（szc）)/()(ccpszs加入环
2、节增加一对开环零极点的影响开环偶极子|zc|pc|根轨迹图上希望闭环极点的位置根轨迹图上希望闭环极点的位置二阶系统的等Mp线（即等线）二阶系统的等ts线闭环传递函数特征根的分布与动态性能指标的关系闭环传递函数特征根的分布与动态性能指标的关系21ndptdptgeeeMdnn%221110010010005.033nstddnjjs2,1等tp线等ts线等Mp线由实部决定由实部决定由实部决定由实部决定由实部虚部比由实部虚部比值决定值决定Ts减小减小Tp减小减小Mp减小减小Mp增大增大开环传递函数上增加极点降低了系统的相对稳定性降低了系统的相对稳定性)(180)12(mnka渐近线与实轴倾角随着n
3、数增大而减小根轨迹向右方向弯曲)()(mnzpiia渐近线与实轴交点随着pc增大（pc点在实轴上向右移）而右移，故更靠近原点。向右弯曲趋势随着所增加的极点移近原点而加剧增加开环极点的影响增加开环极点的影响1cp右移极点2cp增加一个极点的情况开环传递函数上增加零点提高了系统的相对稳定性)(180)12(mnka渐近线与实轴倾角随着m数增大而增加根轨迹向左方向弯曲)()(mnzpiia渐近线与实轴交点随着Zc增大（Zc点在实轴上向右移）而左移3cZ增加一个零点的情况2cZ右移零点增加的零点相对靠近虚轴而起主导作用)()(ccpszscc零极点对应的矢量幅角)(cc附加提供一个超前角“超前校正”相
4、当于附加零点的作用(使根轨迹向左弯曲，改善了系统动态性能。)|zc|pc|zc|pc|zc|pc|开环偶极子开环偶极子开环偶极子距离原点较远极点pc 和零点zc 到较远的s点的矢量基本相等；幅值条件和幅角条件中的作用相互抵消；对离其较远的近虚轴区域的根轨迹形状和开环增益几乎没有影响，基本上不影响系统静动态性能。ccniimiipzpzKK11开环偶极子位于原点附近零点zc和极点pc到主导极点的矢量也基本相等；幅角条件和幅值条件中作用也基本抵消。不影响主导极点附近的根轨迹及根轨迹增益K零极点自身比值zc/pc-较大影响系统的开环增益、改变稳态误差。01.0cp1.0cz提高系统开环增益10倍参数
5、变化对闭环极点的影响参数变化对闭环极点的影响 控制系统开环传递函数 ，试绘制以为参变量的根轨迹以及同时变化K时的根轨迹。)(1()()(sssKsHsG0)(1(1)()(1sssKsHsG0)1()1(2Kssss以为参变量的根轨迹方程00)1(12ssK1)1()1()1()1(22KssssKssss闭环控制系统的特征方程 将特征方程进行数学处理，把待定将特征方程进行数学处理，把待定参数放到增益参数放到增益K的位置的位置1)1()1(2Kssss不同K值，可得到系统不同根轨迹图，即根轨迹簇0123ssssKaKaaa!)1(110Ka0)1(K根轨迹与虚轴交点2411K以为参变量的根轨迹
6、方程（b）为加入比例微分（PD）校正后的系统)15()8.01(5)()(ssssHsGbb)866.0 j5.0s)(866.0 j5.0s(1s8.01ss1s8.0)s(2b比例微分控制作用与微分反馈对系统性能的影响比例微分控制作用与微分反馈对系统性能的影响（a）为无校正的位置伺服系统)2.0(1)15(5)()(sssssHsGaa（c）为加入速度内反馈校正后的系统)866.0 j5.0s)(866.0 j5.0s(11ss1)s(2c)2.0()25.1(8.0)()(ssssHsGcc（a）为无校正的位置伺服系统)2.0(1)15(5)()(sssssHsGaa（c）为加入速度内反
7、馈校正后的系统)866.0 j5.0s)(866.0 j5.0s(1)s(c)2.0()25.1(8.0)()(ssssHsGcc)()()()(sHsGsHsGccbb相同的开环传递函数,相同的零极点分布，根轨迹形状相同。)()(sscb闭环零点使极点上的留数不同，不同瞬态响应具有相同的类型，但具体曲线形状不同。（b）为加入比例微分（PD）校正后的系统)15()8.01(5)()(ssssHsGbb)866.0 j5.0s)(866.0 j5.0s(1s8.0)s(b8.4 8.4 用根轨迹法设计与校正控制系统用根轨迹法设计与校正控制系统超前校正 当未校正系统的主导共轭极点离虚轴很近时，系统
8、的阻尼比较小，稳定程度差。滞后校正 系统的动态性能指标满足要求、而稳态性能达不到预定指标时。控制系统的稳态性能和动态性能都达不到指标要求时。滞后超前校正!试探方法 (通过重新配置零、极点，使闭环系 统根轨迹满足性能指标的要求。)超前校正超前校正)2(4)(sssG设单位反馈系统的开环传递函数为 试设计串联校正装置，满足下列性能指标：最大超调量Mp=16%，调整时间ts=2s(1）根据性能指标，确定闭环主导极点sd5.0%2nst/4sn432212jjsnndMp=16%（2）绘制未校正系统根轨迹图依靠调整增益是不能使根轨迹通过sd，拟采用超前校正装置。?如果不能，则应该采用何种校正装置。?仅
9、调整增益，能否使根轨迹通过希望主导极点sd。(3)计算超前校正装置应提供的超前角。)()(cdcdpszs30)90120(180)2(4(180)12(dssssk根据幅角条件校正根轨迹通过希望主导极点(4)超前校正装置的零点zc和极点pc的位置，得到超 前校正装置传递函数。)()()(cccpszssG9.2cz4.5cp4.5s9.2s)s(Gc求zc和pc可采用试探法和图解法图解法主导极点位置sd和超前角（5）附加增益Kc 补偿因接入超前校正装置而引起的开环增益下 降，使希望主导极点sd满足幅值条件。)ps()zs(K)s(G)s(G)s(Gcccc)4.5)(2()9.2(4.59.
10、2)2(4)()(ssssKssKsssGsGcccKK414.529.2ddddssssK6.186.38.44.31.4K根轨迹图上量得各矢量幅值65.44/6.184/KKc)4.5)(2()9.2(6.18)()(sssssGsGc希望主导极点sd的幅值条件求附加增益Kc：很接近（6）校验。？希望主导极点sd处的增益是否满足稳态精度指标；？希望主导极点是否符合系统闭环主导极点条件。？如果已校正系统不能满足性能指标，调整校正装置的零极点位置，重复上述步骤，直到满足指标为止。1005)4.5)(2()9.2(6.18lim)()(limsssssssGssGKscsv系统稳态速度误差系数3
11、22jsd)4.5)(2()9.2(6.188.104.7)4.5)(2()9.2(6.181)()(123ssssssssssssHsG4.7)322()322(3pjjpi4.33p9.2cz已校正系统根轨迹作图规则9已知闭环极点开环前向通道的零点就是闭环零点故极点p3对系统瞬态响应影响相当小！极点sd的主导性增加的开环零点图解法图解法1）过已知的希望极点sd作水平线sdA；2）作0sdA的角平分线；3）在直线sdB两侧各作夹角为/2的两条直线sd pc和sd zc 交负实轴于zc和pc点分别为校正装置的零点和极点。滞后校正滞后校正 TsTsTsTssGc11111)(1ccpz校正作用基
12、本上是提高开环增益，而不使动态性能有明 显的变化；对闭环主导极点附近的根轨迹不产生明显影响，但开环 增益要有明显增加；滞后校正装置的零极点是一对靠近原点的开环偶极子，且极点相对离原点更近。系统的动态性能指标满足要求而稳态性能达不到预定指标时(1)绘制未校正系统的根轨迹。已知一控制系统如图,该系统动态性能满足要求，需要将稳态速度误差系数增大至5s-1，试设计滞后校正装置。（2）根据瞬态响应指标，找出根轨迹上的希望闭环主导极点sd。58.033.0jsd5.0167.0sn图解法未校正系统主导极点K=1.06时(3)(由幅值条件)确定希望闭环主导极点所对应的开环增益或稳态误差系数，决定采用校正装置
13、的形式。1053.0)2)(1(06.1limsssssKsv(4)求出所需要增加的误差系数(需要增加的开环增益)。未校正系统15 sKv10vvKK给定的稳态误差系数滞后校正装置的参数！滞后校正(5)确定滞后校正装置的零点和极点.要求：既能提高开环增益，又不使原来的根轨迹发生明 显的变化。！作图法！作图法8zs0cd1.0cz01.0cp10ccpz01.01.0101)(sssGcccKsssG01.01.0101)()2)(1)(01.0()1.0()2)(1(06.101.01.010)()(sssssKsssssKsGsGcc10/06.1cKK 滞后校正装置的传递函数增加附加增益K
14、c已校正系统开环传递函数7cdcpsz(6)校验系统动静态指标绘制已校正系统的根轨迹；确定根轨迹上新的主导极点计算动静态性能指标。?不太满意，稍加调整零极点51.028.0jsdstns4.1428.0/4)/(4%)2(5.0156.05.0/28.0sn作=0.5线与根轨迹的交点为闭环主导极点已校正系统:(7)根据已校正系统的主导极点位置，按幅值条件调 整附加增益。98.01.02101.0dddddsssssK25.998.006.11006.110KKc)15.0)(1)(1100()110(9.4)2)(1)(01.0()1.0(98.0)()(sssssssssssGsGc109.
15、4)()(limssGssGKcsv附加增益Kc对于主导极点，由幅值条件已校正系统的开环传递函数已校正系统的稳态速度误差系数系统稳态速度误差系数基本达到5s的设计要求无阻尼自然频率0.67s-1 058s-1校正后系统的动态性能比校正前略低调整时间12.1s14.4s?!减小角，将所取零点zc的位置向右移动（例如取zc-0.05、0.02等）31.23p137.04p1.0z极点p3较主导极点sd离虚轴远得多51.028.0jsd另两个闭环极点靠近直线0 sd为线，以sd为顶点在线左 侧作小角度，；10ccpz 5连接希望主导极点sd和原点0；与实轴的交点zc 滞后校正装置的零点zc；在zc右
16、侧找到一点pc，使 ；滞后校正装置的一对零极点对sd 点所产生的附加滞后角为，。！不对希望主导极点sd附近根轨迹带来相当程度的变化！不改变未校正系统的动态性能作图法作图法滞后超前校正滞后超前校正 ccKTsTsTsTssG2211111)(cK1控制系统的稳态性能和动态性能都达不到指标要求滞后超前校正系统应提高的附加增益网络参数)5.0(4)(sssG5.015 sn150sKv要求闭环主导极点单位反馈系统的开环传递函数设计适当的校正装置,使系统满足上述全部性能指标。)5.0(4)(sssG98.125.02,1js125.012sn18 sKv未校正系统未校正系统的动静态性能指标都不满足要求
17、，且相差较大 滞后超前校正装置未校正系统分析ccKTsTsTsTssG2211111)(希望闭环主导极点33.45.2jsd给定的性能指标希望闭环主导极点5.015 sn150sKv为使闭环主导极点位于希望位置上，相位超前部 分应提供的超前角55)235(180)5.0s(s4180)1k2(dd根据给定的误差系数要求，计算附加增益滞后超前校正装置的传递函数ccKTsTsTsTssG2211111)()5.0(25111)5.0(4111)()(22112211ssTsTsTsTsssKTsTsTsTssGsGcc校正后系统的稳态速度误差系数50K8)s(G)s(sGlimKcc0sv25.6
18、cK校正后的系统开环传递函数)5.0(4)(sssG未校正系统确定校正装置超前部分参数T1和。1T/1sT/1s2d2d)()1(11TsTs用图解法确定出超前部分的零点和极点，并求得和T1值 11/1 Tzc11/Tpc1)s(GKTsT1s)s(G)s(Gdc1d1ddcd577.4111TsTsdd55)()1(11TsTs则主极点处幅值条件：设滞后部分的一对零极点靠近原点、偶极子177.45TsT1s)5.0s(s25TsT1s1d1ddd1d1d幅角条件：以sd为顶点旋转 直至AB 平行实轴 55577.4BsAsddBAsd11 T1/T5.00A_50_B5.011T5/1T21
19、T1055.0ss相位超前部分的传递函数以sd为顶点任意作顶角取该角两边sdA 和sdB连接AB延长sdA 和sdB分别交负实轴于A和B两点 确定校正装置滞后部分参数T21/1/122TsTsdd3)/1()/1(022TsTsdd滞后部分零极点为一对近原点的偶极子选择T2使为了便于在实际工程中能够实现，滞后超前网络最大时间产常数T2不能太大。1.0/12T01.012T选择T2=10，滞后部分零点极点滞后超前校正装置的传递函数25.601.01.055.0)(sssssGc)01.0)(5.0()1.0(25)()(sssssGsGc校正后系统的开环传递函数零点0.1和极点0.01构成偶极子，且近原点，基本上不影响根轨迹形状。1)01.0()1.0(ddss101.01.0ddss 二阶系统根轨迹33.45.2jsd
