1、3p4p1p2p1ps1z2z3z2ps)12()()(11kpszsnjimjj221psps221psps221psps相角条件：1zss2zs221zszs221zszs221zszs3p4p1p2p1z2z3zs03zs在 s 左边的零、极点其相角均为04ps在 s 右边的零、极点其相角均为共轭复根相角为2在实轴上的 s 是否满足相角条件就看 s 右边的零、极点之和是否是奇数在实轴上的 s 是否满足相角条件就看 s 右边的零、极点之和是否是奇数在实轴上的 s 是否满足相角条件就看 s 右边的零、极点之和是否是奇数奇数ImRe-p1-p2-p31z2z1z2z1p2p3p-p4-p55p
2、pc出射角公式：出射角公式：mjnipizjpc1101805321210180ppppzzpcImRe-p1-p2-p31z2z1p2p3p-p42zzc出射角公式：出射角公式：mjnipizjzc110180532120180ppppzpc5.015.125.235.35.015.15.015.1ImRe第四章 控制系统的根轨迹分析法 根轨迹分析法是一种图解分析法，利用它求解高阶系统中某一参数对系统性能的影响将非常方便。4.1 根轨迹的基本概念及分析方法介绍 系统开环中某一参数从0时，闭环系统特征根在 S 平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹。例求系统特征方程的根随开环增益K的变
3、化在S平面上的位置变化情况，并分析K对系统的影响。)1(ssKRYKssKsRsYs2)()()(解系统特征方程为02Kss求得两个极点：Ks4121212,1ImRe0-1当K=0时：s1=0，s2=-1当K=1/4时：s1,2=-1/2K在01/4之间连续变化则 s1 和 s2 也连续变化，并且互相靠近。当K1/4时：1421212,1Kjss 的实部为常数，其虚部随着K是连续变化的，并且上下分开。该根迹表达如下信息：无论 K 如何变化，闭环极点只可能出现在 S平面的左半平面，系统始终稳定。在0K1/4区间：s1,2是实数极点，所以阶跃响应是单调收敛的。由于s1离虚轴最近，所以它主导系统的
4、响应，当K s1远离虚轴，系统响应过程变快。在1/4K区间：s1,2是一对共轭复根，实部为常数，决定了系统的调节时间；-1/2 虚部随着K增大而增大%；1421K画出=0.707 的等阻尼线，找出根迹与该线的交点，可得相应的 s 最佳值。707.0s s s s4.2 绘制根轨迹的基本规则一、根轨迹的幅值条件和相角条件)(sG)(sHRY系统的特征：1+G(s)H(s)=0G(s)H(s)=-1)12()()(1)()(kjsHsGjeesHsG幅值条件:1)()(sHsG相角条件:)12()()(ksHsG在S平面上满足特征方程的 s 一定满足幅、相条件；同理满足幅、相条件的 s一定满足特征
5、方程。利用开环求解闭环设系统的开环传递函数为niimjjgpszsKsHsG11)()()()(开环零点开环极点根轨迹增益将GH中最高阶相的系数化为1提出的常数闭环特征方程)12(1)(1)(111kjnipsjimjzsjjgeepsezsKnjimjj1)()(11niimjjgpszsK111niimjjgpszsK幅值条件幅值条件幅值条件)12()()(11kpszsnjimjj相角条件相角条件相角条件相角条件是根轨迹的充分必要条件；幅值条件只有在求Kg参数时才使用。闭环极点这是什么？二、绘制根轨迹的基本规则1.根轨迹的条数和对称性：特征方程有 n 个根就有 n 条根轨迹，并且是对称于
6、实轴的连续曲线。2.根轨迹的起点和终点：起始于开环极点，终止于开环零点和无穷零点。0)()(111niimjjgpszsK闭环特征方程0)()(11mjjgniizsKpsKg=0 时（起点）闭环极点=开环极点0)()(111mjjniigzspsKKg=时（终点），m个闭环极点=开环零点 (n-m)个闭环极点=无穷零点mnis1)(3.实轴上的根轨迹：实轴上某区间存在根轨迹，则该区间右边的开环零、极点数之和必为奇数。ImReImRe0-14）分离点与会合点：两条或两条以上的根轨迹在S平面上相遇又立即分开的点。重根点在实轴上两个开环极点之间如果是根轨迹，必有分离点；两个开环零点之间是根轨迹，必
7、有会合点。分离点求解特征方程 的重根。02Kss)1(ssKRY例已知0)(2Kssdsd012s21s代入求K021212K41K5）根轨迹的渐近线 与实轴交点：mnzpnimjjia11与实轴交角：2,1,0)12(kmnk 当 nm 时，有 m 条根轨迹终止于开环的有限零点，而 n-m 条根轨迹将沿着与实轴交点为 a、交角为 的一组渐进线终止于无穷远处（无穷零点）。ImRe0-1)1(ssKRY例 在实轴上两开环极点之间是根轨迹，所以有分离点。)1()(ssKsGH系统开环为02mn1021pp可得210201a202)12(k226)根轨迹与虚轴的交点ImRe-p1-p2-p3jj交点
8、js js js js 例例 已知系统开环已知系统开环)2)(1()(sssKsGHg 解解 已知与虚轴交点处已知与虚轴交点处求与虚轴交点js 系统特征方程为系统特征方程为0)2)(1(gKsss0)2)(1(gKjjj代入02323gKjj030223gKjj62gK虚部为零实部为零解得：也可以用劳斯表求交点也可以用劳斯表求交点7）根轨迹的出射角和入射角出射角公式：出射角公式：mjnipizjpc110180所有开环有限所有开环有限零零点点到该点矢量的相角到该点矢量的相角除起点外开环除起点外开环极极点点到该点矢量的相角到该点矢量的相角入射角公式：入射角公式：mjnipizjzc1101808
9、 8）闭环特征方程）闭环特征方程根之和与与根之积a）(n-m)2时，根之和与根轨迹增益 Kg 无关，是个常数，即b）根之和不变 Kg 增大，一些根轨迹分支向左移动，则一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。niiniips11闭环极点开环极点0)()()(11111 mjjgnjiniinmjjgniizKppszsKps闭环极点与特征方程的系数关系闭环极点与特征方程的系数关系（n-m2）abcsacbcabscbascsbsas)()()()(23 mjjmmjjniinininniizszspspsps111111)()()(0)()()(11111 niinniinniisssssssG
10、Hiinpsa1=常数常数 例例11已知系统开环已知系统开环)2)(1()(sssKsGHg试绘制闭环系统的概略根轨迹试绘制闭环系统的概略根轨迹解解 已知开环已知开环03mn210321pppImRe0-1-2在在-1，0和和-，-2区间有根轨迹。区间有根轨迹。实轴上两个开环极点之实轴上两个开环极点之间有根轨迹，必有分离点间有根轨迹，必有分离点0)2)(1(gKsssdsd02632 ss得得58.142.021ss（不合理）（不合理）渐近线渐近线103210a33)12(k虚轴交点虚轴交点将将 s=j 代入特征方程代入特征方程0)2)(1(gKjjj02323gKjj030223gKjj62
11、gK例例2已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数)22)(3()(2ssssKsGHg试绘制闭环系统的概略根轨迹试绘制闭环系统的概略根轨迹解解 由开环传递函数知由开环传递函数知04mn3021ppjp14,3将零、极点标在图上将零、极点标在图上5.015.125.235.35.015.15.015.1ImRe实轴上实轴上-3，0有根轨迹有根轨迹求分离点求分离点0)22)(3(2gKssss0685234gKssss求导求导061615423sss试探法，得试探法，得3.2s代入得代入得33.4gK求渐近线求渐近线n-m=4 有四条渐近线25.14)1()1(30jja000135,454
12、)12(180k求与虚轴交点求与虚轴交点js 代入特征方程代入特征方程0)(6)(8)(5)(234gKjjjj06508324gK16.81.1gK画出根轨迹画出根轨迹111niimjjgpszsK)12()()(11kpszsnjimjj幅值条件相角条件模值方程与相角方程的应用模值方程与相角方程的应用所有开环所有开环零零点到点到闭环闭环 s 的距离的距离所有开环所有开环极极点到点到闭环闭环 s 的距离的距离所有开环所有开环零零点指向点指向闭环闭环 s 的相角的相角所有开环所有开环极极点指向点指向闭环闭环 s 的相角的相角mjjniigzspsK11S1=1.5+j1.2553幅幅k*=0.
13、2643.826相相39.91.82668.35.576147.91.82613.82621.826111.7160.3164.4k*=0.266180.3o4.3 参量根轨迹广义根轨迹 初根轨迹初根轨迹 Kg 以外，系统其它参数变化时的根以外，系统其它参数变化时的根轨迹称为参量根轨迹轨迹称为参量根轨迹（或广义根轨迹）。（或广义根轨迹）。1.开环开环零零点变化的根轨迹点变化的根轨迹 设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为)22()(2sssKsGHg)(1zs5.015.125.235.35.015.15.015.1ImRe没有附加开环零点情况没有附加开环零点情况相当于相当于1z1z1z1z
14、1z设置设置31 z5.015.125.235.35.015.15.015.1ImRe31 z31 z设置设置21 z21 z21 z5.015.125.235.35.015.15.015.1ImRe零点在零点在 2 左左边时根轨边时根轨迹与虚轴有交点，在迹与虚轴有交点，在右右边时，根轨迹与虚边时，根轨迹与虚轴没有交点。轴没有交点。设置设置5.015.125.235.35.015.15.015.1ImRe01 z01 z01 z5.015.125.235.35.015.15.015.1ImRe1z5.015.125.235.35.015.15.015.1ImRe31 z5.015.125.23
15、5.35.015.15.015.1ImRe21 z5.015.125.235.35.015.15.015.1ImRe01 z在在虚虚轴轴的的左左边边配配置置适适当当的的零零点点2.开环开环极极点变化的根轨迹点变化的根轨迹 设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为)2()(ssKsGHg)(1ps没有配置极点没有配置极点1p15.123ImRe配置极点配置极点41 p123ImRe4配置极点配置极点11 p123ImRe配置极点配置极点01 p123ImRe15.123ImRe1p123ImRe441 p123ImRe123ImRe01 p11 p配配置置在在虚虚轴轴左左边边的的极极点点要要远远
16、离离虚虚轴轴5)15(1ssRY)15(1ssRY)1(5sTa)15(1ssRY1sTa5)1(5)15()1(5)()15()1(5)(sTsssTssssTsGHaaa)1(5)15(5)()15()1(5)(sTssssssTsGHaa5)15(5)()15(5)(ssssssGH闭环传递函数分母一样，所以闭环传递函数分母一样，所以极点极点是是一样一样的。的。A系统开环具有零点，系统开环具有零点，闭环也闭环也有有零点并且相同。零点并且相同。B系统开环具有零点，但闭环系统开环具有零点，但闭环没没有零点。有零点。AB但是不是都具有闭环零点！但是不是都具有闭环零点！控制器控制器被控对象被控对象测量装置测量装置指令指令被控参数被控参数4.4 系统性能的根轨迹分析ImRecos3st%100%21 eImReImReImReImRe练习练习画出概略根轨迹画出概略根轨迹（a）（b）（c）（d）作业：作业：4-3
