1、 C B B B、C C两点被池塘隔开如何测量两点被池塘隔开如何测量B B、C C两点距离两点距离？ 想一想想一想 A B C D E 为了测量一个池塘的宽为了测量一个池塘的宽BC,BC,在池塘一侧的平地上选在池塘一侧的平地上选 一点一点A,A,再分别找出线段再分别找出线段ABAB，ACAC的中点的中点D D、E E，若测出，若测出DEDE 的长，就能求出池塘的长，就能求出池塘BCBC的长，你知道为什么吗？的长，你知道为什么吗？ 想一想想一想 A A B B C C D D E E 合作学习合作学习 剪一刀，将一张三角形纸片剪成剪一刀，将一张三角形纸片剪成 一张三角形纸片和一张梯形纸片一张三角
2、形纸片和一张梯形纸片. . （1 1）要保证剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片，剪）要保证剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片，剪 痕的位置有什么要求？痕的位置有什么要求？ （2 2）若要使）若要使ADEADE与梯形与梯形DBCEDBCE能拼成平行四边形，能拼成平行四边形， 剪痕的位置有什么要求？剪痕的位置有什么要求？ （3）要把所剪得的两个图形拼成）要把所剪得的两个图形拼成 一个平行四边形，可将其中的三角一个平行四边形，可将其中的三角 形作怎样的图形变换？形作怎样的图形变换？ A B C D E F 连结三角形两边中点的线段叫连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线三角形的中位线 三角形有三条中位
3、线三角形有三条中位线 DD、 E E分别为分别为ABAB、ACAC的中点的中点 DEDE为为ABCABC的中位线的中位线 三角形的三角形的中位线中位线和三角形的和三角形的中线中线不同不同 注意注意 同理同理DFDF、EFEF也为也为 ABCABC的中位线的中位线 E E D D F F A A C C B B 三角形的中位线与第三边有什么关系三角形的中位线与第三边有什么关系? 三角形的中位线平行且等于第三边的一半三角形的中位线平行且等于第三边的一半 已知：如图，已知：如图，DEDE是是ABCABC的中位线的中位线. . 求证：求证： BCDE 2 1 / 证明：如图，以点证明：如图，以点E E
4、为旋转中心，把为旋转中心，把ADEADE绕点绕点E E， 按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转180180，得到，得到CFE CFE A B C D E F 得到得到CFECFE，ADECFE.ADECFE. ADE=FADE=F，AD=CFAD=CF，DE=EFDE=EF ABCF ABCF 又又BD=AD=CF, BD=AD=CF, 四边形四边形BCFDBCFD是平行四边形是平行四边形 BCBC 2 2 1 1 /DEDE BCBC/DFDF 证明命题：证明命题：三角形的中位线平行且等于第三边的一半三角形的中位线平行且等于第三边的一半 证明二：如图，延长证明二：如图，延长DEDE到到F F，
5、使使EF=DEEF=DE，连接，连接CFCF ADE=FADE=F，AD=CFAD=CF， ABCF ABCF 又又BD=AD=CF, BD=AD=CF, 四边形四边形BCFDBCFD是平行四边形是平行四边形 BCBC 2 2 1 1 /DEDE BCBC/DFDF A B C D E F DE=EF,AE=EC, AED= CEFDE=EF,AE=EC, AED= CEF ADECFEADECFE 已知：如图，已知：如图，DEDE是是ABCABC的中位线的中位线. . 求证：求证： BCDE 2 1 / A A B B C C E E D D F F 证法三：证法三：延长延长DEDE到点到点
6、F F，使，使EF=DEEF=DE， 连结连结AFAF、CFCF、CDCD AE=ECDE=EFAE=ECDE=EF 四边形四边形ADCFADCF是平行四边形是平行四边形 AD=FCAD=FC 又又D D为为ABAB中点，中点，DB=FCDB=FC 所以，四边形所以，四边形BCFDBCFD是平行四边形是平行四边形 已知：如图，已知：如图，DEDE是是ABCABC的中位线的中位线. . 求证：求证： BCDE 2 1 / 证法四：证法四：如图，过如图，过E E作作ABAB的平行线交的平行线交BCBC于于 F F，自，自A A作作BCBC的平行线交的平行线交FEFE于于G G AGBC EAG=E
7、CFAGBC EAG=ECF AEGAEGCEF AG=FCCEF AG=FC，GE=EFGE=EF 又又ABGFABGF，AGBFAGBF 四边形四边形ABFGABFG是平行四边形是平行四边形 BF=AG=FCBF=AG=FC，AB=GFAB=GF 又又D D为为ABAB中点，中点，E E为为GFGF中点，中点， DB=EFDB=EF 四边形四边形DBFEDBFE是平行四边形是平行四边形 DEBFDEBF，即，即DEBCDEBC，DE=BF=FCDE=BF=FC 即即DE=1/2BCDE=1/2BC A A B B C C E E D D F F G G 三角形的中位线三角形的中位线平行平行
8、且且等于等于第三边的一半第三边的一半. . 几何语言表述几何语言表述： DEDE是是ABCABC的中位线的中位线 （或（或AD=BD,AE=CE)AD=BD,AE=CE) C C E E D D B B A A BCBC 2 2 1 1 /DEDE 证明证明平行平行问题问题 证明一条线段是另一条线段的证明一条线段是另一条线段的两倍两倍或或一半一半 适用范围适用范围 1.1.如图如图1 1：在：在ABCABC中，中，DEDE是中位线是中位线 （1 1）若）若ADE=60ADE=60， 则则B=B= 度，为什么？度，为什么？ （2 2）若）若BC=8cmBC=8cm， 则则DE=DE= cmcm，
9、为什么？，为什么？ 2.2.如图如图2 2：在：在ABCABC中，中，D D、E E、F F 分别是各边中点分别是各边中点AB=6cmAB=6cm，AC=8cmAC=8cm， BC=10cmBC=10cm，则，则DEFDEF的周长的周长= = cmcm 6060 4 4 1212 图图1 A B C D。 。E 图图2 B A C D 。 。 E 。F 5 4 3 练一练练一练 三角形三条中位线围成的三角形的周长与原三角形三角形三条中位线围成的三角形的周长与原三角形 的周长的关系？的周长的关系？ 面积呢？面积呢？ A B C D E 3 3、为了测量一个池塘的宽、为了测量一个池塘的宽BC,BC
10、,在池塘一侧的平地上选在池塘一侧的平地上选 一点一点A,A,再分别找出线段再分别找出线段ABAB，ACAC的中点的中点D D、E E，若测出，若测出 DE=15mDE=15m，就能求出池塘，就能求出池塘BCBC的长吗？的长吗？ 练一练练一练 例例1 1、已知：如图，在四边形、已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，E E、F F、G G、H H分别分别 是是ABAB、BCBC、CDCD、DADA的中点的中点. . 求证：四边形求证：四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形. . A B C D E F G H 证明：如图，连接证明：如图，连接ACAC EFEF是是ABCABC的中位线
11、的中位线 ACAC 2 2 1 1 /EFEF 同理得：同理得： ACAC 2 2 1 1 /GHGH EFEF/GHGH 四边形四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形 有中点连线而无三角形有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形要作辅助线产生三角形 有三角形而无中位线有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线要连结两边中点得中位线 温馨提示：温馨提示： 顺次连接顺次连接四边形各边中点四边形各边中点的线段组成一个的线段组成一个平平 行四边形行四边形 （1） 顺次连结顺次连结平行四边平行四边 形形各边中点所得的四边形是各边中点所得的四边形是 _？ （2）顺次连结）顺次连结矩形矩形各边中
12、点各边中点 所得的四边形是所得的四边形是_？ （3）顺次连结）顺次连结菱形菱形各边中点各边中点 所得的四边形是所得的四边形是_？ 平行四边形平行四边形 菱形 矩形矩形 想一想想一想 （4）顺次连结顺次连结正方正方 形形各边中点所得的四各边中点所得的四 边 形 是边 形 是 _ ？ （5）顺次连结）顺次连结梯形梯形各边各边 中点所得的四边形是中点所得的四边形是 _？ （6）顺次连结）顺次连结等腰梯形等腰梯形 各边中点所得的四边形各边中点所得的四边形 是是_？ 正方形正方形 平行四边形平行四边形 菱形菱形 想一想想一想 （7）顺次连结顺次连结对角线相等对角线相等 的四边形各边中点所得的四的四边形各
13、边中点所得的四 边形是什么边形是什么？ （9）顺次连结）顺次连结对角线相等且对角线相等且 垂直垂直的四边形各边中点所得的四边形各边中点所得 的四边形是什么？的四边形是什么？ （8）顺次连结顺次连结对角线垂直对角线垂直 的四边形各边中点所得的四的四边形各边中点所得的四 边形是什么边形是什么？ 菱形菱形 想一想想一想 不相等且不互相垂直的四边形各边中点不相等且不互相垂直的四边形各边中点 组成组成_ 对对 角角 线线 平行四边形平行四边形 互相垂直的四边形各边中点组成互相垂直的四边形各边中点组成_ 矩形矩形 相等的四边形各边中点组成相等的四边形各边中点组成_ 菱形菱形 相等且互相垂直的四边形各边中点
14、相等且互相垂直的四边形各边中点 组成组成_ 正方形正方形 共同归纳共同归纳 1.1.已知已知: : 如图如图,DE,EF,DE,EF是是ABCABC的两条中位线的两条中位线. .求证求证: : 四边形四边形BFEDBFED是平行四边形是平行四边形. . 2.2.如图如图,DE,DE是是ABCABC的中位线的中位线,AF,AF是是BCBC边上的中线边上的中线,DE,DE 和和AFAF交于点交于点O.O.求证求证:DE:DE与与AFAF互相平分互相平分. . D B C F E A (第第1题题) F E D C B A O (第第2题题) 练一练练一练 练一练练一练 3 3、已知：如图，、已知：
15、如图，ABCABC是锐角三角形。分别以是锐角三角形。分别以ABAB， ACAC为边向外侧作等边三角形为边向外侧作等边三角形ABMABM和等边三角形和等边三角形CANCAN， D D，E E，F F分别是分别是MBMB，BCBC，CNCN的中点，连结的中点，连结DEDE，FEFE， 求证：求证：DE=FEDE=FE A A N N M M F F E E D D C C B B 本节课你学到什么本节课你学到什么？ 方法点拨：方法点拨： 在处理问题时在处理问题时,要求同时出现三角形及中位线要求同时出现三角形及中位线 有中点连线而无三角形有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形要作辅助线产生三角形 有三角形而无中位线有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线要连结两边中点得中位线 三角形中位线定理应用：三角形中位线定理应用： 定理为证明定理为证明平行关系平行关系提供了新的工具提供了新的工具 定理为证明一条线段是另一条线段的定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或倍或 一半一半 提供了一个新的途径提供了一个新的途径 由 因 导 果 顺 藤 摸 瓜 由 因 导 果 顺 藤 摸 瓜 执 果 索 因 逆 推 破 案 执 果 索 因 逆 推 破 案 得心应手
