1、三角形全章复习（第二课时）例 如图1，在ABC中，BD平分ABC，CE平分ACB，BD与AC相交于点O 若ABC=40，ACB=60，则BOC=图1条件：ABC=40；条件：BD平分ABC；条件：ACB=60；条件：CE平分ACB；条件：三角形的内角和为180.图1BOC的大小OBC条件OCB条件在OBC 中条件分析：分析：CE平分ACB，ACB=60，BD平分ABC，ABC=40，在OBC 中，DBC+ECB+BOC=180，BOC=130.图1解：解后反思解后反思（1）三角形中的求角的度数问题，往往把所求的角放在一个三角形中，借助三角形内角和定理求解.图1ABC+ACB=180-A.思路3
2、：（利用对顶角）=90-ACB+90-ABCBD平分ABC，ABC=40，即DBC=90-ACB.=180-(ABC+ACB)ABC+ACB与A的关系ABC+ACB与A的关系=180-(180-A)ABC=40,BCE=30.条件：BD平分ABC；解：在ABC中，ABC+ACB+A=180，A=80,变式 如图2，将例题中的条件“两条角平分线交于点O”换成“两条高线交于点O”，将“若ABC=40，ACB=60”去掉，BOC与A又有怎样的数量关系？条件：CEAB；ABC+BEC+BCE=180，BOC=180-(DBC+ECB)从特殊到一般，得到一般结论.变式 将例题中的条件“若ABC=40，A
3、CB=60”变成“若A=80”，则BOC=BDA=90，CEA=90.从特殊到一般，得到一般结论.即DBC=90-ACB.条件：BDAC；解后反思解后反思（2）同时，本题也可以利用外角，结合三角形的内角和定理求解.图1另解：另解：CE平分ACB，ACB=60，BD平分ABC，ABC=40，图1条件：CEAB；A+EOD=180.条件：BDAC；即DBC=90-ACB.条件：三角形的内角和为180；从特殊到一般，得到一般结论.A+EOD=180.条件：CEAB；BOC=130.变式 将例题中的条件“若ABC=40，ACB=60”变成“若A=80”，则BOC=变式 如图2，将例题中的条件“两条角平
4、分线交于点O”换成“两条高线交于点O”，将“若ABC=40，ACB=60”去掉，BOC与A又有怎样的数量关系？DBC+ECB+BOC=180，把不规则图形，通过添加辅助线，转化为规则图形，便于计算.条件：ACB=60；条件：CEAB；（1）三角形中的求角的度数问题，往往把所求的角放在一个三角形中，借助三角形内角和定理求解.ABC+BEC+BCE=180，=180-(180-A)解：在ABC中，ABC+ACB+A=180，A=80,条件：CE平分ACB；（2）同时，本题也可以利用外角，结合三角形的内角和定理求解.条件：BDAC；在BCE中，ABC+BEC+BCE=180，ABC=40,BCE=3
5、0.BEC=110.BOC是 BOE的外角，BOC=ABO+BEC=130.图1解后反思解后反思（3）事实上，利用三角形内角和定理或外角的性质，图1中的所有角都可以求出度数.同时，在求BOC时，还可以转化为求其对顶角EOD，而求EOD，可以利用四边形的内角和为360求解.图1变式 将例题中的条件“若ABC=40，ACB=60”变成“若A=80”，则BOC=图1条件：BD平分ABC；条件：CE平分ACB；条件：三角形的内角和为180；条件：A=80.图1条件条件ABCABC 中中ABC+ACB条件条件DBC+ECB条件在在BOCBOC 中中BOC的大小分析：分析：解：在ABC中，ABC+ACB+
6、A=180，A=80,ABC+ACB=100，CE平分ACB，BD平分ABC，图1在OBC 中，DBC+ECB+BOC=180，BOC=130.图1解后反思解后反思在解决问题的过程中，如果不能求出需要的每一个量，可以考虑用整体思想解决问题.变式 将例题中的条件“若ABC=40，ACB=60”去掉，BOC与A有怎样的数量关系？图1条件：BD平分ABC；条件：CE平分ACB；条件：三角形的内角和为180.图1条件ABCABC 中中ABC+ACB与A的关系条件条件DBC+ECB与A的关系BOC与A的关系条件BOCBOC 中中分析：分析：解 解：在ABC中，ABC+ACB+A=180,ABC+ACB=
7、180-A.CE平分ACB，BD平分ABC，图1图1在OBC 中，DBC+ECB+BOC=180，BOC=180-(DBC+ECB)图1解后反思解后反思从特殊到一般，得到一般结论.变式 如图2，将例题中的条件“两条角平分线交于点O”换成“两条高线交于点O”，将“若ABC=40，ACB=60”去掉，BOC与A又有怎样的数量关系？从特殊到一般从特殊到一般图2不妨设若ABC=40，ACB=60，求BOC.图2分析：分析：即DBC=90-ACB.BD平分ABC，ABC=40，BDA=90，CEA=90.变式 将例题中的条件“若ABC=40，ACB=60”变成“若A=80”，则BOC=ABC+ACB与A
8、的关系从特殊到一般，得到一般结论.条件：三角形的内角和为180.BDA=90，CEA=90.A+EOD=180.DBC+ECB与A的关系 BOC=ABO+BEC=130.条件：ACB=60；条件：BDAC；BD平分ABC，BD平分ABC，ABC=40，ABC+ACB与A的关系在四边形AEOD中，条件：CEAB；分析：接下来我们依然假设A=80，求BOC.条件：三角形的内角和为180；从特殊到一般，得到一般结论.BOC=ABO+BEC=130.图2BOC的大小OBC条件OCB条件在OBC 中条件条件：ABC=40；条件：BDAC；条件：ACB=60；条件：CEAB；条件：三角形的内角和为180.
9、分析：分析：图2分析：分析：接下来我们依然假设A=80，求BOC.图2条件：BDAC；条件：CEAB；条件：三角形的内角和为180；条件：A=80.条件条件ABCABC 中中ABC+ACB条件条件DBC+ECB条件B O CB O C 中中BOC的大小分析：分析：图2分析：分析：回到本题要研究的问题：BOC与A的数量关系.图2条件：BDAC；条件：CEAB；条件：三角形的内角和为180.条件ABCABC 中中ABC+ACB与A的关系条件条件DBC+ECB与A的关系条件BOCBOC 中中BOC与A的关系分析：分析：解：在ABC中，ABC+ACB+A=180,ABC+ACB=180-A.BDAC，
10、BDC=90，BDC为直角三角形.ACB与DBC互余，即DBC=90-ACB.图2同理可得,ECB=90-ABC.DBC+ECB=90-ACB+90-ABC=180-(ABC+ACB)=180-(180-A)=A.图2在OBC 中，DBC+ECB+BOC=180，BOC=180-(DBC+ECB)=180-A.图2解后反思解后反思（1）这个变式的研究，可以从例题及前面两个变式的研究过程中得到启发，虽然条件、发生了变化，但从条件、中依然可以得到DBC和ECB的度数，所以仍然可以按照同样的方法解决问题.解后反思解后反思（2）其他解决问题的方法.思路2：（利用外角）B O C 与A的关系ABO与 A
11、 的关系条件BOE 的外角条件BEC=90条件：BDAC；条件：CEAB.图2解后反思解后反思思路3：（利用对顶角）图2图2解后反思解后反思思路3：（利用对顶角）图2解后反思解后反思思路3：（利用对顶角）图2 BDA=90，CEA=90.在四边形AEOD中，A+CEA+BDA+EOD=360,A+EOD=180.EOD=180-A.BOC=EOD=180-A.BDAC，CEAB，解后反思解后反思思路3：（利用对顶角）解后反思解后反思（3）三角形中求角的大小问题，可以从三角形的内角和、三角形外角的性质，对顶角以及邻补角的角度来考虑.DBC+ECB+BOC=180，解：在ABC中，ABC+ACB+
12、A=180，A=80,条件：ACB=60；=90-ACB+90-ABC条件：三角形的内角和为180.BOC=ABO+BEC=130.条件：ABC=40；BOC是 BOE的外角，（3）事实上，利用三角形内角和定理或外角的性质，图1中的所有角都可以求出度数.BDA=90，CEA=90.解：在ABC中，ABC+ACB+A=180,条件：BDAC；条件：CEAB；A+EOD=180.条件：三角形的内角和为180.本节课主要是通过一题多变，体会转化和从特殊到一般的思想方法的应用.同时，在求BOC时，还可以转化为求其对顶角EOD，而求EOD，可以利用四边形的内角和为360求解.在四边形AEOD中，条件：A
13、=80.探究一：已知：如图（1），在ADC中，DP、CP分别平分ADC和ACD，试探究P与A的数量关系并说明理由从特殊到一般，得到一般结论.条件：CEAB.本节课主要是通过一题多变，体会转化和从特殊到一般的思想方法的应用.本章的转化问题主要是把求角问题转化到多边形中，利用多边形的内角和或外角性质解决；把不规则图形，通过添加辅助线，转化为规则图形，便于计算.如把不规则图形的内角求和通过作辅助线转化为三角形的外角进行计算等.课堂小结1.如图所示，在ABC 中，ADBC 于D，AE平分BAC，且 B=36，B=76，求EAD的度数.课后作业2.探究一：已知：如图（1），在ADC中，DP、CP分别平分ADC和ACD，试探究P与A的数量关系并说明理由课后作业图（1）2.探究二：若将ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分ADC和BCD，请你利用上述结论探究P与A+B的数量关系，并说明理由课后作业图（2）2.探究三：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF如图（3）所示，请你直接写出P与A+B+E+F的数量关系图（3）课后作业同学们，再见！
