1、小结和复习小结和复习 第19章 四边形 四边形四边形 平行四边形平行四边形 矩形矩形 菱形菱形 正方形正方形 四边形四边形 两组对边两组对边 分别平行分别平行 平行四边形平行四边形 矩形矩形 菱形菱形 正方形正方形 1.1.四边形与特殊四边形的四边形与特殊四边形的关系关系 关关 系系 图图 要点回眸要点回眸 项目项目 四边形四边形 边边 角角 对角线对角线 对称性对称性 平行四边形平行四边形 矩形矩形 菱形菱形 正方形正方形 对边平行且对边平行且 相等相等 对边平行且对边平行且 相等相等 对边平行对边平行 且四边相等且四边相等 对边平行对边平行 且四边相等且四边相等 对角相等对角相等 邻角互补
2、邻角互补 四个角四个角 都是直角都是直角 对角相等对角相等 邻角互补邻角互补 四个角四个角 都是直角都是直角 对角线互相平分对角线互相平分 对角线互相平对角线互相平 分且相等分且相等 对角线互相垂直平对角线互相垂直平 分，且每一条对角分，且每一条对角 线平分一组对角线平分一组对角 对角线互相垂直平分对角线互相垂直平分 且相等，每一条对角且相等，每一条对角 线平分一组对角线平分一组对角 中心对称中心对称 图形图形 中心对称图形中心对称图形 轴对称图形轴对称图形 中心对称图形中心对称图形 轴对称图形轴对称图形 中心对称图形中心对称图形 轴对称图形轴对称图形 2.几种特殊四边形的性质：几种特殊四边形
3、的性质： 四边形四边形 条件条件 平行平行 四边形四边形 矩形矩形 菱形菱形 正方形正方形 3.几种特殊四边形的常用判定方法：几种特殊四边形的常用判定方法： 1.定义：两组对边分别平行的四边形定义：两组对边分别平行的四边形 2.两组对边分别相等的四边形两组对边分别相等的四边形 3.一组对边平行且相等的四边形一组对边平行且相等的四边形 4.对角线互相平分的四边形对角线互相平分的四边形 1.定义：有一角是直角的平行四边形定义：有一角是直角的平行四边形 2.三个角是直角的四边形三个角是直角的四边形 3.对角线相等的平行四边形对角线相等的平行四边形 1.定义：一组邻边相等的平行四边形定义：一组邻边相等
4、的平行四边形 2.四条边都相等的四边形四条边都相等的四边形 3.对角线互相垂直的平行四边形对角线互相垂直的平行四边形 1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2.有一组邻边相等的矩形有一组邻边相等的矩形 3、有一个角是直角的菱形、有一个角是直角的菱形 题型一题型一 平行四边形的性质与判定平行四边形的性质与判定 2如图如图 ，在平行四边形，在平行四边形 ABCD中，已知中，已知ODA90， AC10 cm，BD6 cm，则，则AD的长为（的长为（ ） A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm A 1.如图，如图，口口ABCD与与口口
5、DCFE的周长相等，且的周长相等，且BAD=60， F=110，则，则DAE的度数为的度数为 第第1题图题图 第第2题图题图 25 考题分类考题分类 3如图如图,ABCD中，点中，点O是是AC与与BD的交点，过点的交点，过点O的直线的直线 与与BA、DC的延长线分别交于点的延长线分别交于点E、F. (1)求证：求证：AOECOF； (1)证明：证明：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形， AOOC，ABCD. EF.又又AOECOF. AOECOF(AAS) (2)请连接请连接EC、AF，则，则EF与与AC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形 AECF是矩形？并说明理由是矩形
6、？并说明理由 (2)解：连接解：连接EC、AF，则，则EF与与AC满足满足EF AC时，四边形时，四边形AECF是矩形是矩形 理由如下：理由如下： 由由(1)可知可知AOECOF， OEOF. AOCO， 四边形四边形AECF是平行四边形是平行四边形 EFAC， 四边形四边形AECF是矩形是矩形 题型二题型二 特殊平行四边形的性质与判定应用特殊平行四边形的性质与判定应用 1.如图如图1，在矩形，在矩形ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相交于点相交于点O，点，点 E，F分别是分别是AO、AD的中点，若的中点，若AB=6cm ,BC=8cm,则则 AEF的周长的周长= cm. A B C D
7、F E O 9 2如图如图2， P 是菱形是菱形 ABCD 对角线对角线 BD 上的一点，上的一点，PEAB 于点于点 E，PE4 cm，则点，则点 P 到到 BC 的距离是的距离是_cm. 4 3如图如图1 四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，ACD=30，BD=6cm, 那么那么BAD= ，AB= cm, AC= cm. 60 6 6 3 4.如图如图 2，在正方形，在正方形 ABCD 中，中，E为对角线为对角线 AC 上的一点，连上的一点，连 接接EB，ED.延长延长 BE 交交 AD 于点于点 F，若，若DEB140，那么，那么 AFE 的度数是的度数是 . 65 5.如图如图3，四边
8、形，四边形ABCD是菱形，对角线是菱形，对角线AC=8，DB=6， DEBC于点于点E，则，则DE的长为的长为 . A B C D O 图图1 图图2 图图3 4.8 6.过正方形过正方形ABCD对角线对角线BD上的一点上的一点P，作，作PEBC于于E， PFCD于于F. 求证：求证：AP=EF. A B C D E F P 证明：证明： 连结连结AC、PC 四边形四边形ABCD是正方形是正方形 BD垂直且平分垂直且平分AC PA=PC PEBC，PFCD，BCD=90 四边形四边形PECF是矩形是矩形 EF=PC AP=EF 题型三题型三 特殊平行四形的综合应用特殊平行四形的综合应用 1.如
9、图，在如图，在ABC中，分别以中，分别以AB,AC,BC为边在为边在BC的同侧作的同侧作 等边三角形等边三角形ABD,ACE,BC （1）求证：四边形）求证：四边形DAEF是平行四边形；是平行四边形； E D F A BC （1）证题思路：）证题思路： 先要证明先要证明FDBCAB（SAS）可得）可得 AC=DF，再由，再由AEC是等边三角形，是等边三角形， 则有则有AC=AE，所以有，所以有AE=DF；同理可；同理可 证得证得AD=EF，故命题得证。，故命题得证。 1.如图，在如图，在ABC中，分别以中，分别以AB,AC,BC为边在为边在BC的同侧作的同侧作 等边三角形等边三角形ABD,AC
10、E,BC （2）探究下列问题）探究下列问题 当当ABC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形DAEF是矩形？是矩形？ 当当ABC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形DAEF是菱形？是菱形？ 当当ABC满足什么条件时，以满足什么条件时，以D,A,E,F为顶点的四边形不为顶点的四边形不 存在？存在？ 当当ABC满足什么条件时，平行四边形是正方形满足什么条件时，平行四边形是正方形. E D F A BC BAC=150 AB=AC BAC=60 AB=AC且且BAC=150 2如图，四边形如图，四边形ABCD是边长为是边长为2的正方形，点的正方形，点G是是BC延延 长线上一点，连接长线
11、上一点，连接AG，点，点E、F分别在分别在AG上，连接上，连接BE、DF， 12，34.(1)证明：证明：ABEDAF； (2)若若AGB30，求，求EF的长的长 解：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形， ABAD. 在ABE 和DAF 中， ABEDAF. (2)四边形 ABCD 是正方形， 1490，34， 1390，AFD90. 在正方形 ABCD 中， ADBC，1AGB30. 在 RtADF 中，AFD90，AD2，AF 3，DF1. 由(1)得ABEDAF， AEDF1，EFAFAE 31 . 题型四题型四 中点四边形及三角形中位线中点四边形及三角形中位线 解题小结：依次连接四
12、边形各边中点所得到的新四边形解题小结：依次连接四边形各边中点所得到的新四边形(即即 中点四边形）的形状与原四边形对角线的关系中点四边形）的形状与原四边形对角线的关系(相等、垂直、相等、垂直、 相等且垂直相等且垂直)有关有关 1.如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，E、F、G、H分别是边分别是边AB、 BC、CD、DA的中点，请添加一个条件即的中点，请添加一个条件即 ， 使得四边形使得四边形EFGH为菱形为菱形. AC=BD 图图1 E F A D CB P 1.如图如图1，在四边形，在四边形ABCD中，点中，点E、F分别是分别是AP、BP的中点，的中点， 当点当点P在线段在线段CD上从
13、点上从点C向点向点D移动时，线段移动时，线段EF的长度将的长度将 （填（填“变大变大”“”“变小变小”或或“不变不变”）. 2.已知：如图已知：如图2，E、F、G、H分别是分别是AB、BC、CD、DA 的中点求证：四边形的中点求证：四边形EFGH是平行四边形是平行四边形 图图2 对应训练：对应训练： 不变不变 1.如图在边长为如图在边长为2cm的正方形的正方形ABCD中，点中，点Q为为BC边的中边的中 点，点点，点P为对角线为对角线AC上一动点，连接上一动点，连接PB、PQ,则则 周长的最小值是周长的最小值是 cm (结果不取近似值）结果不取近似值）. A D P B Q C 题型五题型五 特
14、殊平行四边形的对称性特殊平行四边形的对称性 2如图如图 在平面直角坐标系中，菱形在平面直角坐标系中，菱形 OACB 的顶点在原点，的顶点在原点， 点点 C 的坐标为的坐标为(4,0)，点，点 B 的纵坐标是的纵坐标是1，则顶点，则顶点 A 的坐标的坐标 是是 . y x o A B C (2,1) 15 题型六题型六 创新作图类创新作图类 创创 新新 作作 图图 尺尺 规规 作作 图图 1.如图如图，已知已知AOB，OA=OB，点点E在在OB边上边上，四边形四边形 AEBF是矩形是矩形请你只用无刻度的直尺在图中画请你只用无刻度的直尺在图中画AOB的平的平 分线分线 (请保留画图痕迹请保留画图痕
15、迹）. A F O B E P 2.如图如图，在正方形在正方形ABCD中中，点点M是是BC边上任意一点边上任意一点，请你请你 仅用无刻度直尺仅用无刻度直尺、用连线的方法用连线的方法，分别在图分别在图（1）、图图（2） 中按要求作图中按要求作图（保留作图痕迹保留作图痕迹，不写作法不写作法）. （1）在图（）在图（1）中，）中，AB边上求作一点边上求作一点N，连接，连接CN，使，使CN=AM ； （2）在图（）在图（2）中，）中，AB边上求作一点边上求作一点Q，连接，连接CQ，使，使CN/AM ； A B C D M 图（图（1） A B C D M 图（图（2） N E O N 1.四边形与特殊
16、平行四形的关系；四边形与特殊平行四形的关系； 2.平行四边形与特殊平行四形的性质与判定；平行四边形与特殊平行四形的性质与判定； 3.三角形中位线与中点四边形；三角形中位线与中点四边形； 4.特殊平行四边形的对称性；特殊平行四边形的对称性； 5.与特殊平行四边形有关的创新作图与特殊平行四边形有关的创新作图. 复习归纳复习归纳 1将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺 平，平， 得到的图形是得到的图形是（ ） (第1题) C 课后演练课后演练 2.已知已知ABC 的三边长分别为的三边长分别为 7 cm，9 cm，10 cm，那么，那么 这个
17、三角形的三条中位线所围成的三角形的周长为这个三角形的三条中位线所围成的三角形的周长为( ) A. 13 cm B26 cm C12 cm D8 cm A 3.如图如图，四边形，四边形 ABCD 的对角线的对角线 AC，BD 互相垂直，则下列条互相垂直，则下列条 件能判定四边形件能判定四边形 ABCD 为菱形的是为菱形的是( ) ABABC BAC，BD 互相平分互相平分 CACBD DABCD 第第3题图题图 B 5如图如图，在，在 ABCD 中，已知中，已知 AD6 cm，AB4 cm，AE 平平 分分BAD 交交 BC 边于点边于点 E，则，则 EC_ cm. 第第 5 题题图图 4.如图
18、如图，矩形，矩形 ABCD 中，中，AB6，AD8，顺次连接各边，顺次连接各边 中点得到四边形中点得到四边形 A1B1C1D1，再顺次连接四边形，再顺次连接四边形 A1B1C1D1各边各边 中点得到四边形中点得到四边形 A2B2C2D2， ， 依此类推， 则四边形， 依此类推， 则四边形 A7B7C7D7 的周长为的周长为( ) 第第 4 题题图图 A14 B10 C5 D2.5 2 D 7.如图，正方形 ABCD 的边长为 4，DAC 的平分线交 DC 于点 E，若点 P，Q 分别是 AD 和 AE 上的动点，则 DQPQ 的 最小值是_ 第 7 题图 2 2 6.如果平行四边形的两邻边分别
19、为如果平行四边形的两邻边分别为3，4，那么其对角线必，那么其对角线必 ( ) A大于大于1 B小于小于7 C大于大于1且小于且小于7 D小于小于7或大于或大于1 C 8.矩形矩形ABCD中，中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使，若将矩形折叠，使C点与点与 点点A重合，求折痕重合，求折痕EF的长的长. 解题要点：解题要点： 1.先利用勾股定理求出先利用勾股定理求出AC=5； 2.设设BE=x,则则CE=4-x,由折叠可知由折叠可知 AE=CE=4-x,在在RtABE中利用中利用 勾股定理建立方程求得勾股定理建立方程求得x=7/8; 3.EF是折痕，是折痕，AC被被EF垂直平分，垂直平分， 在
20、在RtAEO中，求得中，求得EO=15/8； 4.EF=15/4. 9.(1) 如图所示如图所示-1，在正方形，在正方形 ABCD 中，点中，点 E，F 分别在边分别在边 BC， CD 上，上，AE，BF 交于点交于点 O，AOF90 .求证：求证：BECF； 第第 9 题图题图-1 答案答案 略略 (2) 如图所示如图所示-2，在正方形，在正方形 ABCD 中，点中，点 E，H，F，G 分别在分别在 边边 AB，BC，CD，DA 上，上，EF，GH 交于点交于点 O，FOH90 ， EF 4.求求 GH 的长；的长； 第第 9 题图题图-2 答案答案 4 (3) 已知点已知点 E，H，F，G 分别在矩形分别在矩形 ABCD 的边的边 AB，BC，CD， DA 上，上，EF，GH 交于点交于点 O，FOH90 ，EF4.求解下列两题：求解下列两题： 如图所示如图所示-3，矩形，矩形 ABCD 由两个全等的正方形组成，求由两个全等的正方形组成，求 GH 的长；的长； 第第 8 题题图图3 答案答案 8 如图如图所所示示-4 所示，矩形所示，矩形 ABCD 由由 n 个全等的正方形组成，求个全等的正方形组成，求 GH 的长的长(用用 n 的代数式表示的代数式表示) 第第 8 题题图图-4 答案答案 4n
