1、复变函数总复习复变函数总复习第一章：复数与复变函数第一章：复数与复变函数v复数的概念v复数的运算v复数的几何表示1、复平面 1）复数用平面上的点表示；2）复数用平面上的向量 表示Ozzxyizxyi(,)x y3）复数的三角表示式及指数表示式 （三角式）（指数式）2、复球面 复数可以用复球面上的点表示 扩充复平面v复数的乘幂与方根1、积与商设 ，则arg(cos(arg)sin(arg)izzzzizz e121122,iizrezr e1212()()111 21 222,iizrz zrr eezr2(0)r xyPNOS2、乘幂设 则3、方根设 ，则v复平面上的区域v复变函数设v复变函数
2、的极限和连续izre(cossin)nninnzr erninizre222(cossin)(0,1,2,1)kinnnnkkzreriknnn000()(,)(,),f zu x yiv x yAabi zxiy00000lim()lim(,),lim(,)zzxxxxyyyyf zAu x yav x yb;0)(I)1(m z;)(I)2(m z例例 满足下列条件的点组成何种图形满足下列条件的点组成何种图形?是不是区是不是区域域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.解解 是实数轴是实数轴,不是区域不是区域.0)(Im zxyO 是以是以 为界
3、的带形单连通区为界的带形单连通区 域域.,y y解解 )(Imz622)3(zz 是以是以 为焦点为焦点,以以3 3为半为半长轴的椭圆闭区域长轴的椭圆闭区域,它不是区它不是区域域.2 32,32arg3)4(zz且且 不是区域，因为图中不是区域，因为图中32arg,3arg zz解解解解在圆环内的点不是内点在圆环内的点不是内点.oy23xoxy 3 2 2 3例例 函数函数 将将 平面上的下列曲线变成平面上的下列曲线变成 平平面上的什么曲线？面上的什么曲线？zw1 zw.2)2(,9)1(22 xyx解解9 222 zyx因为因为又又iyxzw 11于是于是iyxivuw9191 yvxu91
4、,91 91)(8112222 yxvu表示表示 平面上的圆平面上的圆.w22yxiyx ),(91iyx (1).2)2(x解解iyiyxz 2因为因为iyzw 211所以所以224,42yyvyu 22222)4(4yyvu 因因为为02 22 uvu所所以以表示表示 平面上以平面上以 为圆心，为圆心，为半径的圆为半径的圆.w 0,4141ivuyiy 242,2412uy 1614122 vu000Im()Im()limzzzzzz 例（）（）等于i（）等于i（）等于（）不存在0解0000Im()Im()limlimzzzzzzyzzxyi 当沿，时，有yk x 0 x 0000Im()
5、Im()limlim1zzzzzzykzzxyiki 与有关，极限不存在.kD第二章：解析函数第二章：解析函数v复变函数的导数与微分v解析函数的概念 如果 在点 及 的邻域内处处可导，称在 点解析。如果 在区域D内每一点解析，称 在D内解析，或称 是D内的解析函数（全纯函数或正则函数）。如果 在不解析，称 为 的奇点。()f z0z0z0z()f z()f z()f z()f z0z0z()f z两个解析函数的和、差、积、商（除去分母为0的点）都是解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数。v复变函数连续、可导、解析之间的关系 在 解析 在 可导 在 连续 在区域D内解析 在区域D内可导()f
6、z0z()f z0z()f z0z()f z()f zv函数可导与解析的充要条件 定理1 设函数 定义在区 域D内，则 在D内点 可导 与 在点 可微，且满足柯西-黎曼方程 函数 在点 处的导数公式：()(,)(,)f zu x yiv x y()f z000zxiy(,)u x y(,)v x y00(,)xy00000000(,)(,),(,)(,)xyyxuxyvxyuxyvxy ()(,)(,)f zu x yiv x yzxiy()uvuuvvvufziiiixxxyyxyy 定理2 设函数 在区域D内有定义，则 在D内解析 与在D内可微，且满足柯西-黎曼方程 复变函数可导与解析的判
7、别方法（1）利用可导与解析的定义及运算法则（2）利用可导与解析的充要条件()(,)(,)f zu x yiv x y()f z(,)u x y(,)v x y,xyyxuvuv v初等函数1、指数函数性质：（1），（2）对任意的 ，有加法定理（3）是以 为周期的周期函数（4）在复平面上处处解析，且1212zzzzeee zxee 2(0,1,2,)zArgeykk 12,z zze2 i 2zizee ze()zzee (cossin)zxyixeeeyiy 2、对数函数 主值分支 对数函数的每个分支在除去原点和负实轴的复平面内处处解析，且ln(arg2)(0,1,2,)wLnzzizk ik
8、 lnlnargzziz1()Lnzz 3、幂函数 为复数 当 为正整数 及分数 时，就是 的次乘幂及 次根，此时幂函数 分别为单值函数和 值函数。一般来说，幂函数 是一个多值函数。当定义中对数函数取主值时，相应的幂函数也称其主值，幂函数的各个分支在除去原点及负实轴的复平面内也是解析的，且(0)aaLnzzez aan1nazznnaznaz 1()aazaz 例例 函数函数 在何处在何处可导，何处解析可导，何处解析.)2()()(222yxyixyxzf 解解,),(22xyxyxu ;2,12yuxuyx ,2),(2yxyyxv ;22,2yxvyvyx .,xyyxvuvu 故故 仅在
9、直线仅在直线 上可导上可导.)(zf21 y,21)(,不解析不解析上处处上处处在直线在直线由解析函数的定义知由解析函数的定义知 yzf故故 在复平面上处处不解析在复平面上处处不解析.)(zf时，时，当且仅当当且仅当21 y例例 设设 为解析函数，求为解析函数，求 的值的值.)(2323cxyxiybxay cba,解解 设设ivucxyxiybxayzf )()()(2323故故2323,cxyxvybxayu ,2bxyxu ,2cxyyv ,322cyxxv ,322bxayyu 由于由于 解析，所以解析，所以)(zfxvyuyvxu ,即即,22cbcxybxy 3,3332222 b
10、cacyxbxay故故.3,3,1 cba例例解解).3(Ln)3();33(Ln)2();32(1)Ln:ii求下列各式的值求下列各式的值)32(1)Lni )32(Arg32lniii .223arctan13ln21 ki),2,1,0(k.6232ln ki),2,1,0(k)3(Ln)3()3(Arg3ln i.)12(3lnik ),2,1,0(k)33(Ln)2(i)33(Arg33lniii ki233arctan32ln例例 .1 2的值的值和和求求ii解解Ln1221e 22 ike)22sin()22cos(kik .,2,1,0 k其中其中iiieiLn ikiie22
11、 ke22 .,2,1,0 k其中其中答案答案课堂练习课堂练习.3)(5 计算计算),2,1,0(.)12(5sin)12(5cos3)3(55 kkik例例 .)(1 的辐角的主值的辐角的主值求求ii 解解)Ln(1)1(iiiei ikiie242ln21 .,2,1,0 k其中其中)1(Arg1lniiiie 2ln2124 ike 2ln21sin2ln21cos 24iek ln2.21)(1 的辐角的主值为的辐角的主值为故故ii 第三章：复变函数的积分第三章：复变函数的积分v复积分的定义v复积分存在的条件设函数在区域内连续，曲线光滑，则复积分存在，且01()lim()nkkckf
12、z dzfz ()(,)(,)f zu x yiv x y ()cccf z dzudxvdyivdxudyv复积分的性质、曲线的长度为，函数在上满足()()ccf z dzf z dsML()()ccf z dzf z dz ()()cckf z dzkf z dz ()()()()cccf zg z dzf z dzg z dz()f zM v复积分计算的一般方法设沿曲线连续，曲线的参数方程为，其中起点为，终点为，则特别的，有()f z()()zz tt()z()z()()()cf z dzf z t z t dt 211()01nz aindzzan v复积分的基本定理、柯西古萨定理如果
13、函数在单连通区域内处处解析，为内任一条封闭曲线，则()0cf z dz ()f z、复合闭路定理设为多连通区域内的一条简单闭曲线，为内的简单闭曲线，它们互不包含又互不相交，并且以为边界的区域全部属于，如果在内解析，则其中与均取正向其中是由与组成的复合闭路12,nc cc12,nc c cc()f z11.()()2.()0knkccf z dzf z dzf z dz ckcckc 、牛顿莱不尼茨公式设函数在单连通区域内解析，为的一个原函数，则、柯西积分公式设函数在区域内处处解析，为内任意一条正向简单闭曲线，它的内部完全属于，为内任一点，则()f z()G z()f z2121()()()zz
14、f z dzG zG z()f z0z001()()2cf zf zdzizz 、解析函数的高阶导数公式解析函数的导数仍为解析函数，它的阶导数为其中为函数的解析区域内围绕的任意一条简单闭曲线，而且它的内部全含于。、解析函数与调和函数的关系）如果二元实函数在区域内具有二阶连续偏导数，且满足Laplace方程称为区域内的调和函数调和函数。()f zn()010!()()(1,2,)2()nncnf zfzdznizz c0z()f z(,)x y(,)x y 22220 xy）区域内的解析函数的实部和虚部都是调和函数。而且虚部是实部的共轭调和函数。（这里与的位置不能颠倒）由调和函数（或）确定另一个
15、调和函数或解析函数的方法：偏微分法：从柯西黎曼方程出发，解简单的一阶微分方程。不定积分法：从出发，将其写成的函数，利用积分求出。()f zuivuvvuuv(,)u x y(,)v x y()f zuiv()uufzixy z()f z32:Czi沿指定路径计算以下积分例例 CCzzzzezzz.d)1()2(;d)1(1)1(22解解由复合闭路定理有由复合闭路定理有则则及及为半径作圆为半径作圆以以为圆心为圆心及及以以分别分别及及内有两个奇点内有两个奇点在在,41,00)1(1)1(212CCizzizzCzz CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(1222 解法一 利用柯西
16、-古萨基本定理及重要公式izizzzz 1211211)1(12由柯西由柯西-古萨基本定理有古萨基本定理有,0d1211 zizC,0d1211 zizC,0d12 zzC,0d1212 zizCyxOi i C2C1C 21d)(21d1d)1(12CCCzizzzzzzii 2212.i 解法二解法二 利用柯西积分公式利用柯西积分公式,11)(121内解析内解析在在Czzf ,)(1)(22内解析内解析在在Cizzzf CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(1222 21d)(1d)1(12CCzizizzzzz)(2)0(221iiffi 2122ii.i 由复合闭路定
17、理有由复合闭路定理有则则及及为半径作圆为半径作圆以以为圆心为圆心及及以以分别分别及及内有两个奇点内有两个奇点在在,41,00)1()2(212CCizzizzCzzez CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222,1)(121内解析内解析在在Czezfz ,)()(22内解析内解析在在Cizzezfz 因此由柯西积分公式得因此由柯西积分公式得 CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222 21d)(d)1(2CzCzzizizzezzze)(2)0(221iiffi 222ieii).1cos2(1sin i)2(iei 3d011,().
18、zCezCzz 计算其中 是不经过 与 的光滑闭曲线例例解解分以下四种情况讨论：分以下四种情况讨论：则则也不包含也不包含既不包含既不包含若封闭曲线若封闭曲线,10)1C,)1()(3内解析内解析在在Czzezfz .0d)1(3 Czzzze古萨基本定理得古萨基本定理得由柯西由柯西则则而不包含而不包含包含包含若封闭曲线若封闭曲线,10)2C由柯西积分公式得由柯西积分公式得内解析内解析在在,)1()(3Czezfz xyOC 1zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33 03)1(2 zzzei.2 i 则则而不包含而不包含包含包含若封闭曲线若封闭曲线,01)3C,)(内解析内解析在在Czez
19、fz 由高阶导数公式得由高阶导数公式得zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33 zzzeCzd)1(3 )1(!22fi 132)22(zzzezzi.ie ,01)4又包含又包含既包含既包含若封闭曲线若封闭曲线C,0,1,0212121互不包含互不包含互不相交互不相交与与且且内内也在也在和和使使为半径作圆为半径作圆以以为圆心为圆心则分别以则分别以CCCCCCC 据复合闭路定理有据复合闭路定理有 Czzzzed)1(3 21d)1(d)1(33CzCzzzzezzzexyOC 11C2C Cziezzze.)2(d)1(3所以所以,)3d)1(23iezzzeCz 的结果的结果即为即为而积
20、分而积分,2)2d)1(13izzzeCz 的结果的结果即为即为而积分而积分解解0)1(1)1()!1(2d)1(znznnizz;0 0)1(1)()!1(2d)2(znzznzenizze0)!1(2 zzeni.)!1(2 ni.d)2(,d)1(11zzezzznzzn 为大于为大于1 1的自然数的自然数.n 例 计算下列积分所以所以的奇点的奇点和和是是因为因为,10nznzezz 22(,).(,)()(,)(,).u x yxyxyv x yf zu x yiv x y已知调和函数求其共轭调和函数及解析函数例例解法一解法一 不定积分法不定积分法.利用柯西利用柯西黎曼方程黎曼方程,2
21、)2(xyxyyuxv ),(22d)2(2ygxxyxxyv 得得).(2ygxyv .2yxxuyv 又又,2)(2:yxygx 比较两式可得比较两式可得.)(yyg 故故 .2d)(2Cyyyyg即即)(22222为任意常数为任意常数因此因此CCyxxyv 因而得到解析函数因而得到解析函数),(),()(yxiyxuzf iCyxxyixyyx 222)(2222iCyixyxiyixyx )2(2)2(2222.)2(22iCiz 解法二 线积分法.),()0,0(),(d),(yxCyxvyxv因因为为 ),()0,0(ddyxCyyvxxv,dd),()0,0(yxCyxuxyu
22、),()0,0(d)2(d)2(),(yxCyyxxxyyxv所所以以 )0,()0,0()0,()0,0(d)2(d)2(xxyyxxxy ),()0,(),()0,(d)2(d)2(yxxyxxCyyxxxy xyCyyxxx00d)2(d)0(),(22222为任意常数为任意常数CCyxyx 因而得到解析函数因而得到解析函数),(),()(yxiyxuzf .2)2(2iCiz Cyyxxxyxxyyx d)2(d)2(000解法三 全微分法yyvxxvvddd 因为因为yxuxyudd yyxxxyd)2(d)2()dd()dd(2xxyyyxxy 22d)(d222xyxy,222d
23、22 xyxy)(222),(22为任意常数为任意常数所以所以CCxyxyyxv 得得代入代入ivuzf )(.)2(2)(2iCizzf 解解xuyv 因为因为yyxyxyxvd)3123(),(22 所以所以),(63322xgyxyyx ,yuxv 因为因为)666()(66222yxyxxgyxy 所以所以26)(xxg xxxgd6)(2 ,23Cx 3223236),(yxyyxxyxu ivuzf )(.0)0(f例 已知 求解析函数 ,使符合条件,312322yxyx )263(236)(33223223Cxyxyyxiyxyyxxzf iCzi 3)21(0)0(f.)21(
24、)(3zizf 故故Cxyxyyxyxv 3322263),(且且,0 C第四章：级数第四章：级数v复数项级数、复数列收敛实部和虚部都收敛。设、复级数收敛实部级数与虚部级数都收敛、复级数收敛的必要条件：nnnaib limlim,limnnnnnnaibaabb 1212111,nnnnnnsisasbs 1nn lim0nn v幂级数、阿贝尔（Abel）定理幂级数如果在处收敛，则对满足的，级数绝对收敛；如果在处发散，则对满足的，级数发散。、幂级数收敛半径的求法）比值法如果，则）根值法如果，则0()nnnz 0()zz 0zzz1zz 1zzz0()nnnz 1limnnn 1R limnnn
25、 1R xyo.R收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径、幂级数的运算及性质）在收敛半径较小的区域内，幂级数可以进行加法、减法、乘法运算，利用乘法运算，可定义除法运算；幂级数也可以进行复合运算。）幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数；而且可逐项求导与逐项积分，收敛半径不变。，0()nnnz ()f zzR R10()()nnnfznz 10()()1nncnf z dzzn v泰勒（Taylor）级数1、函数展开成泰勒级数如果函数在圆域内解析，则函数在此圆内可以展开成幂级数，且展开式惟一。、函数展开成泰勒级数的方法）直接法：利用泰勒级数公式，求各阶导数）间接法：利用已知级数，逐项积分或求导zR()f z(
26、)0()()()!nnnff zzn v罗朗（Laurent）级数、函数展开成罗朗级数如果函数在圆环区域内解析，则在此区域内可以展开成罗朗级数，且展开式惟一。其中为圆环内绕的任意一条正向简单曲线。函数展开成罗朗级数一般用间接方法函数展开成罗朗级数一般用间接方法(0,)rzR rR ()f z()()nnnf zcz 11()(0,1,2,)2()nnf zcdzniz 例例 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.;21)1(1 nnin解解 11 nn因为因为发散，发散，121nn收敛，收敛，.21 1发散发散所以所以 nnin;251)2(1 nni解解,226251 nni 因为因为,0226
27、lim nn.251 1发散发散所以所以 nni;)3(1 nnni解解 541321 1iiininn因为因为 614121,51311 i.1收敛收敛故故 nnni收敛收敛收敛收敛.)32(1)4(1 nni解解 ,)32(1nni 设设innnn321limlim 1 因为因为131,1 由正项级数的比值判别法知由正项级数的比值判别法知 1)32(1nni绝对收敛绝对收敛.例例 求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径2000123()()()!nnnnnnzzn znn解解nnncc1lim )1(由由22)1(lim nnn,1.1 R得得nnncc1lim )2(由由)!1(!
28、lim nnn,0.R得得nnncc1lim )3(由由!)!1(limnnn ,.0 R得得,0 内内在在 z nzznzzzez!1!2111 2212所以所以.!1!31!2122 nznzzz 0!nnznze因为因为例例.0 12的去心邻域的洛朗级数的去心邻域的洛朗级数在在求求 zezz解解,!101 nnzzne例例1 2()()().f zziz 将在下列圆环域内展开成洛朗级数,21)1(z.2)2(z解解,21 )1(内内在在 z有有.12,1 zzi )2)(1)(zizzf zizi21121 21211121zzizi 00112)(21nnnnnnzzii.221)(2
29、10110 nnnnnnzizii,2 )2(内内在在 z12,1 zzi 21121)(zizizf故故 zzzizi2111121 00112)(21nnnnnnzzii .2)(2101 nnnnzii 同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开式同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开式是不同的是不同的.第五章：留数第五章：留数v孤立奇点、孤立奇点分类：可去奇点、极点、本性奇点。、奇点的特征）可去奇点孤立奇点为的可去奇点在的去心邻域内的罗朗展开式中不含的负幂指数项（有限数）()a ()f zaza lim()zaf zb()f z）极点孤立奇点为的级极点在的去心邻域内的罗朗展开式中只含有限个负幂
30、指数项且关于的最高幂为次在的去心邻域内可表示为其中在点解析且孤立奇点为的极点（此特征没有指出极点的级数）()a ()f zm()f za1()za m()f za()()()mg zf zza ()g za()0g a ()f zlim()xaf z a）本性奇点孤立奇点为的本性奇点在的去心邻域内的罗朗展开式中含有无穷多个的负幂指数项不存在且不为无穷大。）零点与极点的关系若不恒为零的解析函数在的邻域内能表示为，其中在解析，且，为正整数，称为的级零点。()a ()f z()f zaza lim()xaf z()f z0z0()()()mf zzzz()z 0z0()0z m0z()f zm为的级
31、零点不恒为零的解析函数的零点是孤立的。为的级零点是的级极点0z()f zn(1)()0000()()()0,()0nnf zfzfzfz 0z()f zm0z1()f zm）函数在无穷远点的性态函数在处的性态就是在的性态。如果为的可去奇点、级极点、本性奇点，则为的可去奇点、级极点、本性奇点。()f zz 1()ft0t 0t 1()ftmz ()f zm为的可去奇点、极点、本性奇点分别为当时，的极限为有限数、无穷大、不为无穷大的不存在在内罗朗展开式中不含正幂项、含有有限个正幂项、含有无穷多个正幂项。z ()f zz ()f z()f zrz 011()nnnnnnf zczcc z v留数及其
32、计算1、定义设为的孤立奇点，则在点的留数其中是的去心邻域内包含的任意一条正向简单闭曲线。()a ()f z()f za11Re (),()2cs f z af z dzci caa、留数的计算方法）利用罗朗展开式，求出的系数）讨论奇点的类型 如果是可去奇点，则 如果是本性奇点，只能利用罗朗展开式求它的留数。如果是极点，可利用下面规则1c 11()cza aRe (),0s f z a aa规则如果为的级极点，则特别的，当时，注意：如果极点的实际级数比低时，此规则仍然有效规则设为的一级极点（只要与在点解析，且，），则a()f zm111Re (),lim()()(1)!mmmzads f z a
33、zaf zmdz 1m Re (),lim()()zas f z aza f zama()()()P zf zQ z()P z()Q za()0P a ()0Q a ()0Q a 规则()()Re,()()P zP asaQ zQ a 211Re (),Re(),0s f zsfzz v留数定理定理设函数在区域内除去有限个孤立奇点外处处解析，是内包含诸奇点的一条正向简单曲线，它的内部全部含于，则定理若函数在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（含点），设为则()f z12,na aac1()2Re (),nkckf z dzis f z a ()f z12,na aa 1Re (),Re (),0n
34、kks f zs f z a (),.f z求下列函数在扩充复平面上的奇点 并判别类型例例;)2(;sin)1(1tan3zezzz 解解:0)()1(内的洛朗展式为内的洛朗展式为在在由于由于 zzf zzzzzzzzzzf!7!5!31sin)(75333 !9!7!5!31642zzz.)(,)(0的本性奇点的本性奇点是是的可去奇点的可去奇点是是得得zfzzfz ;)2(1tanze解解,1tanzw 令令,01cos z由由,1tan 的一级极点的一级极点为为zw 又又且为本性奇点且为本性奇点仅有唯一的奇点仅有唯一的奇点而而,zew zkzz1tanlim),1,0(211 kkzk得得
35、.)(wezf 则则),1,0(211 kkzk所以所以.)(的本性奇点的本性奇点都是都是zf因为因为时时当当,zzzzezf1tanlim)(lim .)(的可去奇点的可去奇点是是故知故知zfz ,1 例例 求下列各函数在有限奇点处的留数求下列各函数在有限奇点处的留数.,11sin)1(z,1sin)2(2zz,sin1)3(zz解解(1)(1)在在 内内,10z,)1(!311111sin3 zzz11,)1sin(1Res Cz所以所以.1,!5!3sin53 zzzz因为因为内内，所所以以在在 z0 5322!51!3111sinzzzzzz 3!51!31zzz120,1sinRes
36、 Czz故故.61 解解zz1sin)2(2zzsin1)3(解解),2,1,0(nnz为奇点为奇点,0 n当当 时时 为一级极点，为一级极点，nzznznzsin1)(lim 因为因为)sin()1(limnzznznnz ,1)1(nn zzzfzzzsinlim)(lim020 由由.0是二级极点是二级极点知知 z,1,1)1(,sin1Resnnzzn 所以所以 zzzzzzzsin1ddlim0,sin1Res20zzzzz20sincossinlim .0 例例.d)1()5(3243213zzzzz 解解248326131151)(zzzzzzf24321115111 zzz28
37、434211125511 zzzzz在在 内内,z3)1(2d)1()5(3243213 izzzzz故故.2 i 1),(Res Czf所所以以,1 42211511zzz,1 z此题可直接利用规则3计算。51255),(Res2d)1)(3(1kkzzzfizzz解解例例 计算计算.d)1)(3(1255zzzz ),(Res3),(Res),(Res51 zfzfzzfkk)1)(3(1)3(lim3),(Res53 zzzzfz,2421 55511311)1)(3(1zzzzzz,1131156 zzz,0),(Res zf所所以以 51255),(Res2d)1)(3(1kkzzzfizzz24212 i.121i
