1、2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英 Department of Mathematics2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英第一章复习2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英第一节第一节集及其运算集及其运算2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英集合集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.通常用大写英文字母通常用大写英文字母A，B，X，Y等表示等表示.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.一般说来，我们总用小写字母一般说来，我们总用小写字母a,b,x,y表示集合中的元素。表示集合中的元素。,
2、21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集无限集无限集2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英()()EAEA定理1.1 分配律()()EAEA2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英()ccAA 定理1.2 (De Morgan公式)注：通过取余集，使注：通过取余集，使A与与Ac，与与互相转换互相转换()ccAA2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英:BxAxxBABA但或差：不一定成立ABBA)(ABcBABA注：ASACs余：（其中S为全集）,简记为Ac2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英,:),(BbAabaBA,2,1,
3、:),(211niAxxxxAiinii,2,1,:),(211niAxxxxAiinnii笛卡尔乘积2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英第二节映射.集的对等.可列集2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英一一.映射映射)(:)(,:,f,yX,x,-f,YX,1 .2xfyxxfXxYXffXDef记为上的一个映射为定义在则称与之对应确定的有唯一对应规则设集合原原像像像像定义域定义域 D(f)值域值域 R(f)1.1.定义定义2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英121212,()()x xX xxf xf x若有,()f XYy YxXf xy 若（）即
4、有称称f为单射为单射；则称则称f为满射；为满射；若f既为单射又是满射，则称f为一一映射。单射单射,满射满射,一一对应一一对应(一一映射一一映射)2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英2 对等与势对等与势定义定义2.2 非空注：称与A对等的集合为与A有相同的势（基数），记作势是对有限集元素个数概念的推广ABA2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英 1,2,3,4,5,6,a1,a2,a3,a4,a5,a6,与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为01).可数集的定义可数集的定义2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英例：1）Z=0，1，-1，2，-2
5、，3，-3，2）0,1中的有理数全体 =0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,注：A可数当且仅当当且仅当 A可以写成无穷序列的形式a1,a2,a3,2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英可数集性质：定理定理2.1 2.1 任何无穷集都包含一个可任何无穷集都包含一个可数子集。数子集。（即可数集（即可数集是无限集中具有最小势的集合是无限集中具有最小势的集合)2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英可数集的性质（并集）可数集的性质（并集）有限集与可数集的并仍为可数集有限集与可数集的并仍为可数集可数个可数集的并仍为可数集可数个可数集的并仍为可数集有限个可
6、数集的并仍为可数集有限个可数集的并仍为可数集2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英卡氏积设A，B是可数集，则AB也是可数集,|),(ByAxyxBA从而AB也是可数集（可数个可数集的并）利用数学归纳法数学归纳法即得有限个乘积的情形|),(ByyxAx x固定，y在变2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英例例 4 代数数全体是可数集代数数全体是可数集常见可数集举例常见可数集举例:2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英第三节一维开集闭集及其性质2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英定义定义3.13.1 若集合E的每一个点都E的内点，则称E为开集。20
7、22-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英4.开集的性质 定理定理3.1a.空集，空集，R为开集为开集;b.任意多个开集之并仍为开集；任意多个开集之并仍为开集；c.有限个开集之交仍为开集。有限个开集之交仍为开集。A B2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英定义定义若若Ec为开集，则称为开集，则称E为闭集。为闭集。2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英EEEEEEEEE等价于故的孤立点全体由于定理定理3.2 E为闭集的充分必要条件是为闭集的充分必要条件是 EE证明证明:2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英定义定义EE 若，则称若，则称 E为完全集为完全集
8、,.EEEEEE称集合:的孤立点全体为 的闭包 记为EE 2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英闭集的闭集的(等价等价)定义定义EE 若 ,则E为闭集.R中只有空集和R既开又闭，存在大量既不开又不闭的集合，如：E=0,1)定义定义3.32022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英定理3.3 任何集E的导集 E为闭集2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英闭集性质闭集性质:任意一簇闭集之交为闭集；任意一簇闭集之交为闭集；任意有限个闭集之并仍为闭集。任意有限个闭集之并仍为闭集。2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英处连续在，下证任取都为开集，：，由条件知对任
9、意实数00)()(,)(xxfRxcxfxcxfxc例例8 8 f(x)f(x)是直线上的连续函数当且仅当是直线上的连续函数当且仅当对任意实数对任意实数a a，E=x|f(x)aE=x|f(x)a和和E E1 1=x|f(x)a=x|f(x)a都是闭集都是闭集为开集，：)()()()()()()(,00000 xfxfxxfxfxxfxfxfx证明：我们先证充分性：证明：我们先证充分性：2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英处连续。在所以时，有也即当000)(|)()(|xxfxfxfxx)()()()()()(),(,0000000的内点：是因为：使得从而xfxfxfxxxfxf
10、xfxxO2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英()xf(x0)+f(x0)f(x0)-a由f(x)在x0处连续及极限的保号性极限的保号性知，存在存在0,当当|x-x0|a 任取x0 E=x|f(x)a,则f(x0)a,必要性必要性:若若f(x)是直线上的实值连续函是直线上的实值连续函数，只要证对任意常数数，只要证对任意常数a，E=x|f(x)a与与E1=x|f(x)a是开集是开集2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英()xf(x0)+f(x0)f(x0)-a类似可证类似可证x|f(x)a为开集为开集,从而从而x|f(x)a=x|f(x)a,即即x0为为E的内点，从而的
11、内点，从而E为开集；为开集；2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英第四节 开集的构造目的目的：掌握：掌握CantorCantor集的构造，集的构造，熟悉直线上开集与闭集的构造。熟悉直线上开集与闭集的构造。重点与难点重点与难点：CantorCantor集的构造。集的构造。2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英(,),G,G 且定义定义4.1 1 设设GG是直线上有界开集，如果开区是直线上有界开集，如果开区间满足下面条件间满足下面条件:(,)则称区间则称区间 为为G的构成区间的构成区间.2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英定理定理4.1-1 4.1-1 直线直
12、线R R中任何非空的中任何非空的有界开集有界开集G G都可都可表示为有限个或可数个互不相交的构表示为有限个或可数个互不相交的构成区间的并。成区间的并。2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英定理定理4.1-24.1-2 设设F F是非空的有界闭集，则是非空的有界闭集，则F F是由一闭是由一闭区间中去掉有限个或可数个互不相交的开区区间中去掉有限个或可数个互不相交的开区间间(F(F的余区间的余区间)而成。而成。根据开集与闭集的互余关系，可得如下闭集根据开集与闭集的互余关系，可得如下闭集的构造定理的构造定理.2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英 定义定义 （i）若 ，即 的每
13、一点都是 自身的聚点，则称 是自密集自密集；（ii）若 ，则称 是完备完备(全全)集集。EEEEEEE二自密集、疏朗集、完备二自密集、疏朗集、完备(全全)集集 2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英 定义定义 若E是实直线R的子集,若 ，则称E为R中稠密集.当 的补集在R中稠密时,则称 为疏朗集.即 为疏朗集 在R中稠密。ER E()E EE2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英CantorCantor三分集三分集Cantor集的构造:将0，1均分为三段，删去中间的开区间 ，将剩下的两个区间 再次三等分，删去中间的两个区间 。如此继续下去，最终剩下的点集记作P，称之为C
14、antorCantor集集。32,311,32,31,098,97,92,912022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英Cantor集的性质集的性质注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n的开区间11231323111nnnb.mP=0.去掉的区间长度和去掉的区间长度和a.P是闭集是闭集.2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英c.P没有内点没有内点d.P中的点全为聚点中的点全为聚点,没有孤没有孤立点立点,P为完备为完备(全全)集集.e.P(0,1)0,1 R+(a,b)(ab)2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英第五节集的势序集2022-12-27福州大学数学与
15、计算机学院聂建英定义：与0,1区间对等的集合称为连续势集，其势记为 ，显然：0n例：例：1）R(0,1)0,1 0,1)R+(a,b)(ab)5.连续势集的定义连续势集的定义2）无理数集为连续势集）无理数集为连续势集（无理数要比有理数多得多，同理超越数要比（无理数要比有理数多得多，同理超越数要比代数数多得多）代数数多得多）2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英；则称若BABA,)1基数的大小比较12),ABBABAB若则称；相当于：到有一个单射.定义定义5.12022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英 3).假设A、B是两个集合，若A与B的某个真子集B*对等，但不与B对等，
16、则说A的势小于B的势，记作 ，或说B的势大于A的势，记作 。BABA 2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英(1,1)(1,1)(,)如：3),ABABABAB中若且，则称注：不能用 与 的一个真子集对等描述2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英5.1(:2.ACantorAA定理定理)设 是一个任意的非空集合，则从而说明无限也是分很多层次，从而说明无限也是分很多层次，且不存在最大的集合且不存在最大的集合.4 无最大势定理无最大势定理2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英.,*BABABBABAABA则，使的子集及，使的子集是两个集，若有设.),BAABBA
17、则即：若 定理5.2(Bernstein定理)2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英从前面我们已经看到：从前面我们已经看到：0n Cantor认为在 之间不存在别的基数，即不存在这样的集合A,使得但Cantor证明不了,这就是著名的Cantor连续统假设。与0A0连续统假设2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英AxxxxAin则定理：设),1,0(:),(212 连续势集的性质（卡氏积）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英的势为空间维nREuclidn平面与直线有平面与直线有“
18、相同多相同多”的点的点推论推论2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英正方形的一条边与正方形的面积有正方形的一条边与正方形的面积有“相同多相同多”的点的点例例1 闭区间闭区间0,1与闭正方形与闭正方形0,1;0,1具有相同的势具有相同的势推论推论2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英例例2 闭区间闭区间0,1与与R等势等势,又闭正方又闭正方形形0,1;0,1与整个平面等势与整个平面等势,且它们的且它们的势均为势均为推论推论2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英其次所以RREffE2|在平面坐标系下的图象 2E 2E首先所以1,021,0|)(AxEA 2M例3
19、 设E表示0,1 上一切有界实函数的类,证明E的势为2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英 证明：证明：回忆一下前面的回忆一下前面的 进位表示法以进位表示法以及及CantorCantor集的构造立刻看到，这里用三集的构造立刻看到，这里用三进制小数表示进制小数表示(0,1)(0,1)中的点，将会更方便于中的点，将会更方便于讨论。讨论。我们先来看看，去掉的三等分区间中我们先来看看，去掉的三等分区间中的点用三进制表示的话，有什么规律。显的点用三进制表示的话，有什么规律。显然，第一次删去的区间然，第一次删去的区间pPC例例4 4 。2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英 内的点
20、对应的三进制数第一位必然是内的点对应的三进制数第一位必然是1 1，进一步观察，进一步观察 不难发现，只要不难发现，只要 点在某个删去的区间内，则点在某个删去的区间内，则 的三的三 进制表示中，必有某一位是进制表示中，必有某一位是1 1。反之，如果。反之，如果 不是分不是分 点，且在某位出现点，且在某位出现1 1，则在经过若干次删除手续后，则在经过若干次删除手续后，必然在删去的区间内，即必然在删去的区间内，即 。因此，除了分。因此，除了分点外，点外，在在 中当且仅当其三进制表示中不出现数中当且仅当其三进制表示中不出现数1 1。xxPxxxPx2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英 由
21、由Cantor集的作法中去掉的点为小数集的作法中去掉的点为小数位出现位出现1的点的全体，从而的点的全体，从而Cantor集集P为小为小数位只是数位只是0,2的点的全体的点的全体.现在作对应现在作对应P到到0,1的对应如下的对应如下:(严格严格说是说是P到到0,1的二进制数之间的对应的二进制数之间的对应)(.0.0)(222321321二进制数三进制数aaaaaa则显然是一一对应则显然是一一对应，则立得，则立得 。所以所以 证毕。证毕。0,1PPC2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英 连续势集的性质（并集）连续势集的性质（并集）p连续势集的（有限个，可数个，连续连续势集的（有限个，
22、可数个，连续势个）并仍为连续势集势个）并仍为连续势集2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英半序集定义半序集定义aa baabba则若,cacbba则若,自反性:反对称性:传递性:则称A按 成一半序集（偏序集）。设A是一集合，为A中的某些元素的关系且满足:2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英2 Zorn引理与选择公理引理与选择公理),(AZorn引理：设引理：设 是一偏序集，是一偏序集，A中的中的每个全序子集有上界，则每个全序子集有上界，则A必有极大元。必有极大元。AAB,选择公理：设选择公理：设 为一簇两两不交的为一簇两两不交的 非空集簇，则存在一集非空集簇，则存在一
23、集B使得使得 是单元素集。是单元素集。2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英1.集合的并、交、差、补等概念，以及集合集合的并、交、差、补等概念，以及集合的运算律点集的内点、聚点、孤立点、的运算律点集的内点、聚点、孤立点、边界等基本概念边界等基本概念.2.直线上开集、闭集的构造定理直线上开集、闭集的构造定理.康托集是本章的一个重要例子康托集是本章的一个重要例子.本章主要基本知识本章主要基本知识:2022-12-27福州大学数学与计算机学院聂建英3.可列集的定义和性质可列集的定义和性质.可列集是无限集中基可列集是无限集中基数最小的一类集合者数最小的一类集合者.连续集及其性质连续集及其性
24、质.掌握可列集、连续集的基本例子掌握可列集、连续集的基本例子.4.无最大基数定理无最大基数定理.5.伯恩斯坦定理伯恩斯坦定理.它是判断两个集合对等的有效方法它是判断两个集合对等的有效方法第三章复习 本章讨论一类重要的函数可测函数。它和连续函数有密切的联系，同时又在理论上和应用上成为足够广泛的一类函数。我们可以看到可测函数取极限相当方便，可测函数的极限仍是可测函数。第三章 可测函数第一节可测函数的基本性质Lebesgue积分积分,(从分割值域入手从分割值域入手)011iinmyyyyyMyiyi-1iniibamEdxxfL10,lim)()()(:1iiiyxfyxEiiiyy1用用 mEi
25、表示表示 Ei 的的“长度长度”10,0,1,2,iiyyin且要使要使Lebesgue积分的思想得以实现积分的思想得以实现,必必须要求分割得出的点集须要求分割得出的点集 Ei 都是可测集都是可测集.或更一般地要求或更一般地要求:(|()|),afbf xa bR abEE 希望,=x|af(x)a,则f(x)a,由连续性局部保号性知()x f(x0)+f(x0)f(x0)-a反 之例例3.可测集可测集E上的连续函数上的连续函数f(x)一定一定为可测函数为可测函数可测函数关于子集、并集的性质可测函数关于子集、并集的性质11,EEE l即即:若若f(x)是是E上的可测函数上的可测函数,可测，则可
26、测，则f(x)限限制在制在E1上也是可测函数；上也是可测函数；3.可测函数的性质11,f af aEEE证明证明:注意到注意到1.fanfanEE nnEE1l若若 ,f(x)限制在限制在En上是上是 可测函数，则可测函数，则f(x)在在E上也是可测函数。上也是可测函数。证明证明:注意到注意到 设设S S是某个命题或某个性质是某个命题或某个性质,若若S S在集在集E E上除了某个零测度集上除了某个零测度集外处处成立外处处成立,则称则称S S在在E E上几乎处上几乎处处成立处成立.记为记为S,a.e.S,a.e.于于E E 或或S,a.e.S,a.e.（almost everywherealmo
27、st everywhere）定义定义1.3 (几乎处处概念几乎处处概念)若若m(Em(Efgfg)=0,)=0,则称则称f(x)=g(x)f(x)=g(x)在在 E E上几乎处处相等上几乎处处相等,记记f(x)=g(x)a.e.f(x)=g(x)a.e.于于E E。例如例如:几乎处处相等几乎处处相等例如例如:Dirichlet函数几乎处处等于函数几乎处处等于0例例3 设设f(x)=g(x)a.e.于于E，f(x)在在E上上可测，则可测，则g(x)在在E上也可测上也可测 例题说明例题说明,在一零测度集上改变函数的取在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性值不影响函数的可测性例如例如:几乎处
28、处收敛几乎处处收敛)()(limxfxfmm )(xfn)(xfEE 0，00 mE0EEx E.)(lim)(eaxfxfmm 设设 是是E E上的函数列，上的函数列，是是E E上上的函数，若存在的函数，若存在 ，使，使 且对任意且对任意 ，有，有 则称在上几乎处处收敛到则称在上几乎处处收敛到f f，记作，记作()sup();()inf()nnh xf xl xf x若若fn(x)是可测集是可测集E上的可测函数上的可测函数列列,则下列函数仍为则下列函数仍为E上可测函数。上可测函数。定理1.1.为方便我们把一般函数分解成两为方便我们把一般函数分解成两个非负函数来考察个非负函数来考察.一般函数可
29、分解成正部和负部如一般函数可分解成正部和负部如下：下：()max(),0fxf x()max(),0fxf x|()|sup(),()f xfxfx(),(),|()|fxfxfx推论推论1 设设f(x)是可测集是可测集E上的可测函上的可测函数列数列,则下列函数在则下列函数在E上均为可测函数。上均为可测函数。lim()inf sup();lim()sup inf().nmnnmnnmmnnnfxfxfxfx 推论推论2 若若fn(x)是可测集是可测集E上的可测上的可测函数列函数列,则下列函数仍为则下列函数仍为E上可测函数。上可测函数。证明证明 两次应用定理两次应用定理1.1即可即可.由于函数的
30、可测性不受一个零测度集由于函数的可测性不受一个零测度集的值的影响的值的影响,于是我们有下面定理于是我们有下面定理1,2.定理定理1.2 1.2 如果如果 是是可测集可测集E E上的可测函数序列，上的可测函数序列，且几乎处处收敛到且几乎处处收敛到 ，即，即 则则 在在E E上可测。上可测。1)(mmxf)(xfE.)(lim)(eaxfxfmm )(xf可测函数与简单函数的关系)(lim)(xxfnn12()()()nxxx)(xn设设f(x)是可测集是可测集E上的非负可测函数上的非负可测函数,则则存在非负递增的简单函数列存在非负递增的简单函数列使极限使极限 在在E上处处成立上处处成立.定理3.
31、1)(lim)(xxfnn12|()|()|()|nxxx)(xn设设f(x)f(x)是可测集是可测集E E上的可测函数上的可测函数,则则f(x)f(x)总可表示成一列简单函数总可表示成一列简单函数 的极限的极限而且还可办到而且还可办到注注:由于一般函数由于一般函数f f可表示成它的正部可表示成它的正部与负部之差与负部之差,对对f f的正部与负部分别应的正部与负部分别应用定理用定理1.31.3即得即得:)(lim)(xxfnn定理定理(可测函数的充分必要条件可测函数的充分必要条件):):函数函数f(x)f(x)是可测集是可测集E E上的可测上的可测函数的充分必要条件是函数的充分必要条件是f(x
32、)f(x)总可表总可表示为一列简单函数的极限示为一列简单函数的极限.引理引理1.11.1 函数函数(x),(x),(x)(x)是可测集是可测集E E上上的简单函数的简单函数,则它们的和、差、积、则它们的和、差、积、商商(分母几乎处处不为零分母几乎处处不为零)仍然是简仍然是简单函数单函数.定理定理1.41.4 可测集可测集E E上的两个可测函数的上的两个可测函数的和、差、积、商和、差、积、商(假定运算几乎处假定运算几乎处处有定义处有定义)仍然是仍然是E E上可测函数上可测函数.第二节可测函数列的收敛性,:nAxNnNx使是一个集合序列设,21nAAA():limsuplimnnnnnnnAAx
33、xAxAxA或属于无限多个集合存在无限多个，使 1NNnnANB定义定义2.1(2.1(上、下极限集上、下极限集)():limlim infnnnnnnAAxxAxnxA或除去有限个集外，有当 充分大时，有 1NNnnA,:nAxNnNx有NB(2)下极限集定义为下极限集定义为:nAlimlimnnnnAAA nAnAl i mnnAA定义定义2.1：极限集：极限集11limlimnnnnnnnnAAAA容易知道上、下极限集有关系：;),(1为单调减少则称满足若集列nnnnANnAAA;),(1为单调增加则称满足若集列nnnnANnAAA.)21limnnnnnAAA 单调减少，则若;,)11
34、limnnnnnAAA则单调增加若单调单调增增集列集列极限极限 函数逼近是分析中十分重要的问题，它的本质就是用“好”的或“简单”的函数去逼近“坏”的或“复杂”的函数.,0,(,)0,(,),|()()|nx ENxnNxf xf x 有点点收敛点点收敛:函数列的几种收敛定义()()nfxf x记作记作一致收敛一致收敛:0,()0,(),|()()|nNnNxEfxf x 有()()nfxf xE 于记作记作:Eeaffn于.去掉某个零测度集，在留下的集去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛合上处处收敛0nffmE即几乎处处收敛几乎处处收敛:记作记作:例例1：试考察函数列：试考察函数列fn(x
35、)=xn ,n=1,2,在在0,1上处处收敛上处处收敛(自然几乎收自然几乎收敛敛).但不一致收敛但不一致收敛(因为极限函数不连因为极限函数不连续续).但去掉一小测度集合但去掉一小测度集合(1-,1,在留在留下的集合上一致收敛下的集合上一致收敛.1-0.20.40.60.810.20.40.60.81fn(x)=xnfeEEfmeEen上一致收敛于在使得可测子集,0定义定义2.2 设设E为可测集为可测集,mE0,有有nffE于则称则称fn 在在E上依测度收敛于上依测度收敛于f,记作记作Effn于0lim,0|ffnnmE有|0,0,0,nffNnNE有m依测度收敛依测度收敛0,0|不收敛于使得f
36、fnmE|0,0,0,nffNnNE 使得m不依测度收敛不依测度收敛n1(0,(),1,2,0(,)nxnfxnxn 在在R+上处处收敛于上处处收敛于 f(x)=1,几种收敛的区别几种收敛的区别例例2说明：当说明：当n越大，取越大，取1的点越多，故的点越多，故fn(x)在在R+上处处收敛于上处处收敛于1|(01),limlim()nffnnmEm n 有，所以所以fn(x)在在R+上不依测度收敛于上不依测度收敛于1.,0(1),(0)(nxnxnxf又例又例.上述上述n12,)22()()(),kkkniiifxfxx令例例3 3（依测度收敛但处处不收敛）（依测度收敛但处处不收敛）取基本集取基
37、本集E=0,1),n=2k+i,0i2k,k=0,1,2,3,()1,)22inkkii 令I()fx 0 1f1f60 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 1f7f5f40 1f30 1f20 1/8 1/4 1f8fn如下图如下图:1|221201,limlim,)lim0kknkiiffnkkmEm 有因为因为Effn于则但是,对任何x0,1),fn(x)有两个子列，一个恒为1，一个恒为0，所以fn(x)在(0,1上处处不收敛；例：函数列fn(x)=xn在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-,1
38、),在留下的集合上一致收敛一致收敛收敛的联系（叶果洛夫定理的引入）收敛的联系（叶果洛夫定理的引入）1-0.20.40.60.810.20.40.60.81fn(x)=xn.nff a uE于Eeaffn于若.设设E为可测集为可测集,mE+，fn，f是是E上上几乎处处有限的可测函数，几乎处处有限的可测函数，即：可测函数列的即：可测函数列的(收敛收敛)几乎处几乎处处收敛处收敛“基本上基本上”是一致收敛是一致收敛.定理2.1(叶果洛夫定理)引理：设引理：设mE+，fn，f在在E上几乎处处有限且可测，上几乎处处有限且可测，|.0,lim()0nnffNn Nff aeEmE 若于，则有注注:a.叶果洛
39、夫定理中条件叶果洛夫定理中条件mE+不可少不可少n,0(1),(0)(nxnxnxf则fn 在R+上处处收敛于 f(x)=1,fn不几乎一致收敛于f于R+例例:设设Eeaffn于则.，于即：若Euaffn.Eeaffn于若.Effn于，则Lebesgue定理：设mE+，fn，f在E上几乎处处有限且可测，Effn于Euaffn于.Eeaffn于.mE+Lebesgue定理 mE+子列Egfgfnn于)2(Egfgfnn于)3(Ehfn于EggEffnn于于,定理定理2.4令令mE+，则，则 (1)若又有若又有 ,则则f(x)=h(x)a.e.于于E。依测度收敛的性质（唯一性和四则运算）Effn于
40、|)4(5)sup(,)sup(,);inf(,)inf(,).nnnnfgf gEfgf gE于于第三节可测函数的构造可测函数可测函数问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？可测集E上的连续函数连续函数定为可测函数，闭集EF,0设设f(x)为为E上几乎处处有限的可测函数，上几乎处处有限的可测函数，则则 使得使得 m(E-F)且且f(x)在在F上连续。上连续。（去掉一小测度集，在留下的集合上成（去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数）即：可测函数为连续函数）即：可测函数“基本上基本上”是连续函数是连续函数定理3.1(鲁津定理)（1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并）（3）
41、任一点点收敛的可测函数列集差不多就是一致收敛列（2）任一可测函数差不多就是连续函数实变函数的三条原理（J.E.Littlewood）定理3.2(鲁津定理推论)RE 若f(x)为 上几乎处处有限的可测函数，使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)0，存在闭集 ，使 且f(x)在 上连续，则f(x)是E上的可测函数 EE E()m E E一、可测函数的概念及其运算性质一、可测函数的概念及其运算性质.可测函数关于加、减、乘、除四可测函数关于加、减、乘、除四则运算和极限运算是封闭的。则运算和极限运算是封闭的。可测函数上、下确界函数和上、可测函数上、下确界函数和上、下极限函数还是可测的。下极限函数还是
42、可测的。本章内容要点二、可测函数列的收敛性、几乎处处收敛和依测度收敛是勒贝格积分理论中经常使用的收敛形式。叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间的关系。通过它，可以把几乎处处收敛的函数列部分地“恢复”一致收敛，而一致收敛在许多问题的研究中都起着重要作用。勒贝格定理告诉我们：在测度有限的集合上，几乎处处收敛的可测函数列必是依测度收敛的，反之并不成立。黎斯定理指出：依测度收敛的可测函数列必有几乎处处收敛的子序列。三、可测函数的构造定理。连续函三、可测函数的构造定理。连续函数，单调函数等都是可测函数。反数，单调函数等都是可测函数。反之不然之不然(如迪里克雷函数如迪里克雷函数)。鲁金定
43、理指出了可测函数与连鲁金定理指出了可测函数与连续函数之间的关系，通过它常常能续函数之间的关系，通过它常常能把可测函数的问题又转化为关于连把可测函数的问题又转化为关于连续函数的问题来讨论，从而带来很续函数的问题来讨论，从而带来很大的方便。大的方便。四、关于论证方法和技巧方面也有四、关于论证方法和技巧方面也有不少值得注意的。不少值得注意的。如定理证明中的构造方法是富如定理证明中的构造方法是富有启发性的；叶果洛夫定理证明中有启发性的；叶果洛夫定理证明中的思想和分析的方法以及鲁金定理的思想和分析的方法以及鲁金定理证明中先考虑简单函数、然后再往证明中先考虑简单函数、然后再往一般的可测函数过渡，这种由特殊一般的可测函数过渡，这种由特殊到一般的证明方法在许多场合都是到一般的证明方法在许多场合都是行之有效的。行之有效的。Its The End！Thank You！Department of MathematicsReal Analysis
