1、1616 二次根式二次根式小结与复习要 点 梳 理要 点 梳 理1 1二次根式的概念二次根式的概念一般地，形如一般地，形如_(_(a a0)0)的式子叫做二次根式的式子叫做二次根式.对于二次根式的理解：对于二次根式的理解：带有二次根号；被开方数是非负数，即带有二次根号；被开方数是非负数，即a a00.【易错点易错点】二二次根式中，被开方数一定是非负次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义数，否则就没有意义.要 点 梳 理要 点 梳 理2 2二次根式的性质二次根式的性质:3 3最简二次根式最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式次根式(
2、1)(1)被开方数不含被开方数不含_；(2)(2)被开方数中不含能被开方数中不含能_的因数或因式的因数或因式开得尽方开得尽方分母分母220;0000，aa aa aaaa,a a.5 5二次根式的加减二次根式的加减：可以先将二次根式化成可以先将二次根式化成_ _，再，再将将_的二次根式进行合并的二次根式进行合并要 点 梳 理要 点 梳 理被开方数相同被开方数相同 最简二次根式最简二次根式4 4二次根式的乘除法则：二次根式的乘除法则：乘法：乘法：_(_(a a00，b b0)0)；除法：除法：_(_(a a00，b b0)0)abab类似合并同类项类似合并同类项要 点 梳 理要 点 梳 理注意平
3、方差公式与完全平方公式的运用！注意平方差公式与完全平方公式的运用！6 6二次根式的混合运算二次根式的混合运算有理数的混合运算与类似：先算乘（开）方，再有理数的混合运算与类似：先算乘（开）方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.要 点 梳 理要 点 梳 理考点考点一一二二次根式的相关概念有意义的条件次根式的相关概念有意义的条件例例1 1 求下列二次根式中字母求下列二次根式中字母a a的取值范围的取值范围:(1)32;a1(2);12a23203aa，；解解:(1)(1)由题意得由题意得1(2)1202aa由题意得，；2(3)(3)a；(4).1aa
4、 要 点 梳 理要 点 梳 理(3)(3)(a a+3)+3)2 200，a a为全体实数；为全体实数；(4)4)由题意得由题意得 a a00且且a a11.010,aa ，要 点 梳 理要 点 梳 理方法总结方法总结求求二次根式中字母的取值范围的基本依据：二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数大于或等于零；被开方数大于或等于零；分母中有字母时，要保证分母不为零分母中有字母时，要保证分母不为零.要 点 梳 理要 点 梳 理针对训练针对训练1.1.下列各式：下列各式：中，一定是二次根式的个数中，一定是二次根式的个数有（有（）A.3A.3个个 B.4B.4个个 C.5C.5个个 D.6D.6
5、个个3225;3;8;1(1);21axxxxB B要 点 梳 理要 点 梳 理 2 2.求下列二次根式中字母的取值范围求下列二次根式中字母的取值范围:1(2)5.3xx解得解得 -55x x3 3.(1)44;xx解：解：(1)(1)由题意得由题意得 x x=4=4.40,4-0 xx，50,30,xx(2)(2)由题意得由题意得要 点 梳 理要 点 梳 理例例2 2 若若 求求 的的值值.21(31)0,xxy25xy解：解：x x-1=0,3-1=0,3x x+y y-1=0,-1=0,解得解得x x=1,=1,y y=-2=-2.则则21(31)0,xxy2255 1(2)3.xy 【
6、解析解析】根据根据题意及二次根式与完全平方式的非题意及二次根式与完全平方式的非负性可知负性可知 和和 均均为为0.0.1x 2(31)xy考点考点二二 二次根式的性质二次根式的性质要 点 梳 理要 点 梳 理初中阶段主要涉及三种非负数：初中阶段主要涉及三种非负数：0 0，|a a|00，a a2 20.0.如果若干个非负数的和为如果若干个非负数的和为0 0，那么这若干，那么这若干个非负数都必为个非负数都必为0.0.这是求一个方程中含有多个未这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一知数的有效方法之一.a方法总结方法总结要 点 梳 理要 点 梳 理例例3 3 实数实数a a,b b在数轴上的位
7、置如图所示，请化简：在数轴上的位置如图所示，请化简：22|.aabb ba a0 0解：由数轴可以确定解：由数轴可以确定a a0,00，原式原式=-a-a-(-a-a)+b=b.+b=b.22|,.aaaabb 解析解析:化简此代数式的关键是能准确地判断化简此代数式的关键是能准确地判断a,ba,b的的符号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简符号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简.要 点 梳 理要 点 梳 理4.4.若若1 1a a 3 3,化简化简 的的结果是结果是 .222169aaaa2 23.3.若实数若实数a a,b b满足满足 则则 .|2|40,ab2ab1 1针对训练针对训练要
8、 点 梳 理要 点 梳 理5.5.将下列各数写成一个非负数的平方的形式：将下列各数写成一个非负数的平方的形式：21(1)7;(2)1;(3).11x 2(1)77;解：222(2)1=1xx；211(3)=.1111要 点 梳 理要 点 梳 理(1)8122;3(2)5 1515;5解：解：(1)81222 22 323 22 3;3311311(2)5 15155 155 155;5515155155考点考点三三 二次根式的运算及应用二次根式的运算及应用要 点 梳 理要 点 梳 理2(3)65;(4)562562.222(3)656265531 10 6;22(4)562562562584
9、34 33.要 点 梳 理要 点 梳 理二次根式的混合运算的运算顺序与整式的运算顺序二次根式的混合运算的运算顺序与整式的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，在具体运算中可灵活运用运算律的先算括号内的，在具体运算中可灵活运用运算律和乘法公式简化运算和乘法公式简化运算.方法总结方法总结要 点 梳 理要 点 梳 理例例5 5 把两张面积都为把两张面积都为1818的正方形纸片各剪去一的正方形纸片各剪去一个面积个面积为为2 2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一
10、个双层底的无盖长方体纸盒求这合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒求这个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）解解：182243 22242 22416S=-=-=-=-=（）（）要 点 梳 理要 点 梳 理6.6.下列运算正确的下列运算正确的是（是（）A.235B.2 23 26 2C.1232D.3 223C C7 7.若若等腰三角形底边长为等腰三角形底边长为 ，底边的底边的高为高为 则三角形的面积为则三角形的面积为 .12cm(32)cm.2(36)cm针对训练针对训练要 点 梳 理要 点 梳 理(2)3(23)24|63|.8.8.计算计算：011(1)244(1
11、2);38解：解：(1)(1)原式原式1224412 222;34(2)2)原式原式632 6366.要 点 梳 理要 点 梳 理解：根据题意得解：根据题意得 （千米千米/时）时）答：肇事汽车在出事前的速度是答：肇事汽车在出事前的速度是 千米千米/时时16 20 1.232 6v 32 69.9.交警为了估计肇事汽车在出事前的速度，总结出经验公交警为了估计肇事汽车在出事前的速度，总结出经验公式式 ，其中其中v v是车速（单位：千米每小时），是车速（单位：千米每小时），d d是汽是汽车刹车后车轮滑动的距离（单位：米），车刹车后车轮滑动的距离（单位：米），f f是摩擦系数在是摩擦系数在某次交通事故
12、调查中，测得某次交通事故调查中，测得d d=20=20米，米，f f=1.2=1.2，请你帮交警计，请你帮交警计算一下肇事汽车在出事前的速度算一下肇事汽车在出事前的速度16vdf要 点 梳 理要 点 梳 理例例6 6 先化简，再求值：先化简，再求值：，其中其中22xyxyxy12 3,1 2 3xy 解：解：当当 时时，原式原式2222()().xyxyxy xyxyxyxyxyxy12 3,1 2 3xy 12 31 2 32.解析解析：先利用分式的加减运算化简式子，然后：先利用分式的加减运算化简式子，然后代入数值计算即可代入数值计算即可.考点考点四四 二次根式的化简求值二次根式的化简求值要
13、 点 梳 理要 点 梳 理例例7 7 有这样一道题：有这样一道题：“计算计算 的值，其中的值，其中x x=2018”.=2018”.小卿把小卿把“x x=2018=2018”错抄成错抄成“x x=2081=2081”，但是她的计算结果仍然是正确的，这是为什么？但是她的计算结果仍然是正确的，这是为什么？2222244244xxxxxxxxxx要 点 梳 理要 点 梳 理2222222222222222222444444=4424=2=24xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx，解：解：无论无论x x取何值，原式的值都为取何值，原式的值都为-2.-2.要 点 梳 理要 点 梳 理10.
14、10.先化简，再求值：先化简，再求值：,其中其中 22221444aaaaaa2.a 解：解：原式原式22242(1)(2)(2)(2)(2)(1)(2)(2)(2)(1)2aaa aaaaaaaaaa aaa当当 时，时，原式原式2a 2212.2 针对训练针对训练要 点 梳 理要 点 梳 理例例8 8 已知已知a a是实数，求是实数，求 的值的值.2221aa解：解：分分三种情况讨论：三种情况讨论：当当a a-2-2时，原式时，原式=(-=(-a a-2)-(-2)-(a a-1)=-1)=-a a-2+-2+a a-1=-3;-1=-3;当当-2-2a a11时时，原式原式=(=(a a
15、+2)+(+2)+(a a-1)=-1)=2 2a a+1;+1;当当a a1 1时时，原式原式=(=(a a+2)-(+2)-(a a-1)=-1)=3.3.222121,aaaa考点考点五五 本章解题思想方法本章解题思想方法分类讨论思想分类讨论思想 要 点 梳 理要 点 梳 理整体思想整体思想 例例9 9 已知已知 ，求求 的的值值.21,21xyxyyx解：解：21212 2,21211.xyxy 222222 226.1xyxyxyxyyxxyxy 要 点 梳 理要 点 梳 理类比思想类比思想 例例10 10 阅读材料：阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写小明在学
16、习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的成另一个式子的平方，如平方，如 ，善于思考的，善于思考的小明进行了以下探索：小明进行了以下探索：设设 （其中其中a a、b b、m m、n n均为整数），则有均为整数），则有 这样这样小明就找到了一种把类似小明就找到了一种把类似 的的式子化为平方式式子化为平方式的方法的方法232 212222abmn22222222,2,2.abmnmnamn bmn2ab要 点 梳 理要 点 梳 理请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1 1)当当a a、b b、m m、n n均为正整数时，若均为正整数时，若 ，用，用含含m m、n n的式子分别表示的式子分别表示a a，b b，得得a a=_;_;b b=_;_;(2 2)利用所探索的结论，用完全平方式表示出：利用所探索的结论，用完全平方式表示出：(3 3)请化简：请化简：233abmn74 3_;126 3.m m2 2+3+3n n2 22 2m mn n2232126 33333.解：解：2126 333,课 堂 小 结课 堂 小 结加、减、乘、除运算加、减、乘、除运算二次根式二次根式性质性质2 =0 aaa()()200a aaaa a00，bbabaa 最简二次根式最简二次根式
