1、第一章第一章 函数与极限函数与极限（一）函数的定义（一）函数的定义（二）极限的概念（二）极限的概念（三）连续的概念（三）连续的概念主要内容主要内容).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或记作记作).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或记作记作2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定理定理1 1、极限定义、极限定义3 3、求极限的常用方法、求极限的常用方法
2、a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;d.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限;e.利用两个重要极限求极限利用两个重要极限求极限.f.利用等价无穷小求极限利用等价无穷小求极限.)()(00既左连续又右连续既左连续又右连续处处在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 5 5、连续的充要条件、连续的充要条件4 4、单侧连续、单侧
3、连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 第二章第二章 导数与微分导数与微分求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数xyx 0lim微微 分分xydy 关关 系系)(xodyydxydyydxdy 高阶导数高阶导数1 1、基本导数公式、基本导数公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx （常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）222111)cot
4、(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxx arc2 2、求导法则、求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1）vuvu )(,（2）uccu )(c是常数是常数),（3）vuvuuv )(,（4）)0()(2 vvvuvuvu.(1)函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则反函数的求导法则.)(1)(),()(xxfxfyyx 则有则有的反函数为的反函数为如果函数如果函数(3)复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufx
5、ydxdududydxdyxfyxuufy 或或的导数为的导数为则复合函数则复合函数而而设设(4)对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.适用范围适用范围:.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,)()(间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx ;)()(ttdtdxdtdydxdy .)()()()()(322tttttdxyd (5)(5)隐函数求导法则隐函数求导法则(6
6、)(6)参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则3 3、高阶导数、高阶导数,)()(lim)(0 xxfxxfxfx 二阶导数二阶导数记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,记作记作阶导数阶导数的的函数函数阶导数的导数称为阶导数的导数称为的的函数函数一般地一般地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或(二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数)4 4、导数与微分的关系、导数与微分的关系).(,)()(000 xfAx
7、xfxxf 且且处处可可导导在在点点可可微微的的充充要要条条件件是是函函数数在在点点函函数数定理定理5 5、微分的求法微分的求法dxxfdy)(求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.第三章第三章 中值定理和导数的应用中值定理和导数的应用洛必达法则洛必达法则型型00,1,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 单调性单调性,极值与最值极值与最值,凹凸性凹凸性,拐点拐点,函数函数图形的描绘图形的描绘;导数的应用导数的应用主要内容主要内容利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步 确
8、定函数确定函数)(xfy 的定义域的定义域,对函数进行对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论论,求出函数的一阶导数求出函数的一阶导数)(xf和二阶导数和二阶导数)(xf;求求出出方方程程0)(xf和和0)(xf 在在函函数数定定义义域域内内的的全全部部实实根根，用用这这些些根根同同函函数数的的间间断断点点或或导导数数不不存存在在的的点点把把函函数数的的定定义义域域划划分分成成几几个个部部分分区区间间.函数图形的描绘函数图形的描绘第三步第三步 确定在这些部分区间内确定在这些部分区间内)(xf和和)(xf的符的符号，并由此确定函数的增减性与
9、极值及曲线的凹号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点凸与拐点（可列表进行讨论）；可列表进行讨论）；第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势他变化趋势;第五步第五步 描描出出与与方方程程0)(xf和和0)(xf的的根根对对应应的的曲曲线线上上的的点点，有有时时还还需需要要补补充充一一些些点点，再再综综合合前前四四步步讨讨论论的的结结果果画画出出函函数数的的图图形形.第四章第四章 不定积分不定积分积分法积分法原原 函函 数数选选择择u u有有效效方方法法基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积
10、分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分一、主要内容1 1、基本积分表、基本积分表 kCkxkdx()1(是常数是常数)1(1)2(1 Cxdxx Cxxdxln)3(dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)10(Cx sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex xdx2cos)8(xdx2secCx tan xdx2sin)9(xdx2cscCx cot dxax)13(Caax ln Cxx
11、dxcoslntan)16(Cxxdxsinlncot)17(Cxxxdx)tanln(secsec)18(Cxxxdx)cotln(csccsc)19(Caxadxxa arctan11)20(22Cxaxaadxxa ln211)22(22Caxdxxa arcsin1)23(22Caxxdxax )ln(1)24(2222Caxaxadxax ln211)21(22Cx sh)14(xdxch xdxCx ch)15(sh3 3、第一类换元法、第一类换元法2 2、直接积分法、直接积分法定理定理 1 设设)(uf具有原函数，具有原函数，)(xu 可导，可导，则有换元公式则有换元公式 dxx
12、xf)()()()(xuduuf 第一类换元公式（第一类换元公式（）由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法定积分的方法.;)(.11dxxxfnn;)(.2dxxxf;)(ln.3dxxxf;)1(.42dxxxf;cos)(sin.5xdxxf;)(.6dxaafxx常见类型常见类型:;sec)(tan.72xdxxf;1)(arctan.82dxxxf 4 4、第二类换元法、第二类换元法定理定理 设设)(tx 是单调的、可导的函数，并是单调的、可导的函数，并且且0)(t，又设，又设)()(ttf 具有原函数，具有原函数，则有换元公式则有
13、换元公式 )()()()(xtdtttfdxxf 其中其中)(x 是是)(tx 的反函数的反函数.第二类换元公式第二类换元公式常用代换常用代换:.,)(.1Rbatx .sin,)(.222taxxaxf 令令如如三角函数代换三角函数代换.,)(.322ashtxxaxf 令令如如双曲函数代换双曲函数代换.1.4tx 令令倒置代换倒置代换5 5、分部积分法、分部积分法分部积分公式分部积分公式dxvuuvdxvu duvuvudv 6.6.选择选择u u的有效方法的有效方法:LIATELIATE选择法选择法L-反三角函数；反三角函数；I-对数函数；对数函数；A-幂函数；幂函数；T-三角函数；三角
14、函数；E-指数函数；指数函数；哪哪个在前哪个选作个在前哪个选作u.讨论类型：讨论类型：),(nbaxxR),(necxbaxxR 解决方法：解决方法：作代换去掉根号作代换去掉根号;necxbaxt 令令;nbaxt 令令 简单无理函数的积分简单无理函数的积分第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理定积分定积分定积分定积分的应用的应用定积分的定积分的计算法计算法牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 主要内容主要内容1 1、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公
15、式 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函数上连续，则积分上限的函数dttfxxa )()(在在,ba上具有导数，且它的导数上具有导数，且它的导数是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 定理定理2（原函数存在定理）（原函数存在定理）如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一个个原原函函数数.定理定理 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）如果如果)(xF是连续函数是连续函数)(xf在区间在区间,ba上的一个原函数，则上的一个原函数，则 )()()(aFbFdxxfba .)()
16、(babaxFdxxf 也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式.,:上的增量上的增量它的任一原函数在区间它的任一原函数在区间上的定积分等于上的定积分等于一个连续函数在区间一个连续函数在区间表明表明baba2 2、定积分的计算法、定积分的计算法 dtttfdxxfba )()()(换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式 bababavduuvudv3 3、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积平面图形的面积xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角
17、坐标情形直角坐标情形abab dA2)(21xo d)(r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122极坐标情形极坐标情形(2)体积体积xdxx xyo2()bxaVf xdxdyyVdc2)(xyo)(yx cd2()byaVxf x dxxo badxxAV)(xdxx ab平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积)(xA(3)平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoyabxdxx dy弧长弧长dxysba 21A曲线弧为曲线弧为 )()(tytx )(t其其中中)(),(tt 在在,上上具具有有连连续续导导数数弧长弧长dttts )()(22)(xfy B曲线弧为曲线
18、弧为第六章第六章 微分方程微分方程 微分方程解题思路微分方程解题思路一阶方程一阶方程二阶方程二阶方程分离变量法（可分离变量）分离变量法（可分离变量）常数变易法（一阶线性方程）常数变易法（一阶线性方程）特征方程法（二阶线性齐次）特征方程法（二阶线性齐次）待定系数法（二阶线性非齐次）待定系数法（二阶线性非齐次）dxxfdyyg)()(形如形如(1)可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法 dxxfdyyg)()(分离变量法分离变量法1 1、一阶微分方程的解法、一阶微分方程的解法(2)一阶线性微分方程一阶线性微分方程)()(xQyxPdxdy 形如形如 dxxPdxxPeCdxexQy)()
19、()(（常数变易法）（常数变易法）02 qprr0 qyypy 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2,1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 特征方程为特征方程为2 2、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法3 3、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程型型)()()1(xPexfmx 解法解法待定系数法待定系数法.,)(xQexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根 2,10k型型sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 设设次次多多项项式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1(nlm,max .1;0是特征方程的单根时是特征方程的单根时不是特征方程的根时不是特征方程的根时 jjk
