1、微专题微专题5角平分线模型角平分线模型第6章1.角平分线上的点向两边作垂线角平分线上的点向两边作垂线如图如图,P是是MON的平分线上一点的平分线上一点,过点过点P作作PAOM于点于点A,PBON于点于点B,则则PB=PA.【模型分析】利用角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等,构造模型,为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件,进而可以快速找到解题的突破口.AD平分CAE,CAD=EAD.DFADEC.这个模型巧妙地把角平分线和“三线合一”联系了起来.DFADEC.【模型分析】有角平分线时,常过角平分线上一点作角的一边的平行线,构造等腰三角形,为证明结论提供更多的条件,体现了角平分
2、线与等腰三角形之间的密切关系.如图,P是MON的平分线上一点,APOP于点P,延长AP交ON于点B,则AOB是等腰三角形.例6如图,在ABC中,BE是角平分线,ADBE,垂足为D.EF=ED+DF=BE+CF.EF=ED+DF=BE+CF.求证:BC=AB+CD.BC=EC+BE=AC+DA=16+8=24.AD=DE,A=1.AC-ABPC-PB.求证:BAD+BCD=180.这个模型巧妙地把角平分线和“三线合一”联系了起来.EAP=BAP.练习7如图,在ABC中,AD平分BAC,点E,F分别在BD,AD上,EFAB,且DE=CD.BAD=CED.这个模型巧妙地把角平分线和“三线合一”联系了
3、起来.ABD=ACF.AD=DE,A=1.【模型分析】【模型分析】利用角平分线的性质利用角平分线的性质:角平分线上的点到角角平分线上的点到角两边的距离相等两边的距离相等,构造模型构造模型,为边相等、角相等、三角形全等为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件创造更多的条件,进而可以快速找到解题的突破口进而可以快速找到解题的突破口.真题特训真题特训例例1如图如图,在在ABC中中,C=90,AD平分平分CAB,BC=6,BD=4,那么点那么点D到直线到直线AB的距离是的距离是.【解析】【解析】如图如图,过点过点D作作DEAB于点于点E.AD平分平分CAB,CD=DE.CB=6,BD=4,DE=CD
4、=2,即点即点D到直线到直线AB的距离是的距离是2.【答案】【答案】2例例2如图如图,1=2,3=4,求证求证:AP平分平分BAC.【解析】【解析】如图如图,过点过点P作作PDAB于点于点D,PEBC于点于点E,PFAC于点于点F.1=2,PD=PE.3=4,PE=PF.PD=PF.又又PDAB,PFAC,AP平分平分BAC.练习练习1如图如图,在四边形在四边形ABCD中中,BCAB,AD=DC,BD平分平分ABC.求证求证:BAD+BCD=180.【解析】【解析】作作DEBC于于E,DFBA的延长线于的延长线于F,则则F=DEC=90.BD平分平分ABC,DF=DE.又又AD=DC,DFAD
5、EC.FAD=C.FAD+BAD=180,BAD+BCD=180.练习练习2如图如图,ABC的外角的外角ACD的平分线的平分线CP与内角与内角ABC的平分线的平分线BP相交于点相交于点P,若若BPC=40,则则CAP=.502.截取构造对称全等截取构造对称全等如图如图,P是是MON的平分线上的一点的平分线上的一点,点点A是射线是射线OM上任意上任意一点一点,在在ON上截取上截取OB=OA,连接连接PB,则则OPBOPA.【模型分析】【模型分析】利用角平分线图形的对称性利用角平分线图形的对称性,在角的两边构在角的两边构造对称全等三角形造对称全等三角形,可以得到对应边、对应角相等可以得到对应边、对
6、应角相等,利用对称利用对称性把一些线段或角进行转移性把一些线段或角进行转移,这是经常使用的一种解题技巧这是经常使用的一种解题技巧.例例3如图所示如图所示,在在ABC中中,AD是是BAC的外角平分线的外角平分线,P是是AD上异于点上异于点A的任意一点的任意一点,试比较试比较PB+PC与与AB+AC的大小的大小,并说明理由并说明理由.【解析】【解析】PB+PCAB+AC.理由理由:如图如图,在在BA的延长线上取点的延长线上取点E,使使AE=AC,连接连接PE.AD平分平分CAE,CAD=EAD.在在AEP与与ACP中中,AC=AE,CAD=EAD,AP=AP,AEPACP.PE=PC.在在PBE中
7、中,PB+PEBE,BE=AB+AE=AB+AC,PB+PCAB+AC.例例4如图所示如图所示,AD是是ABC的内角平分线的内角平分线,P是是AD上异于点上异于点A的任意一点的任意一点,试比较试比较PC-PB与与AC-AB的大小的大小,并说明理由并说明理由.【解析】【解析】AC-ABPC-PB.理由理由:如图如图,在在AC上取一点上取一点E,使使AE=AB.AC-AE=AC-AB=CE.AD平分平分BAC,EAP=BAP.在在AEP和和ABP中中,AE=AB,EAP=BAP,AP=AP,AEPABP.PE=PB.在在CPE中中,CECP-PE,AC-ABPC-PB.AD=DE,A=1.又BE=
8、AB,BD=BD,AC-ABPC-PB.例5如图,已知等腰直角三角形ABC中,A=90,AB=AC,BD平分ABC,CEBD,交BD的延长线于E.【解析】EF=BE-CF.又BE=AB,BD=BD,EF=DE-DF=BE-CF.ABCM,2=4.AD平分CAE,CAD=EAD.【解析】PB+PCAB+AC.AC-ABPC-PB.BAD=CED.求证:BAD+BCD=180.如图,P是MON的平分线上一点,APOP于点P,延长AP交ON于点B,则AOB是等腰三角形.在AEP与ACP中,【解析】如图,延长AD交BC于F.【名师点拨】由BD平分ABC,DEBC,推出EDB=EBD=DBC.如图,P是
9、MON的平分线上一点,过点P作PAOM于点A,PBON于点B,则PB=PA.EF=ED+DF=BE+CF.理由:如图,在BA的延长线上取点E,使AE=AC,连接PE.练习4如图,在ABC中,AB=AC,A=108,BD平分ABC.例6如图,在ABC中,BE是角平分线,ADBE,垂足为D.随堂测试随堂测试练习练习3如图如图,已知已知,在在ABC中中,A=2B,CD是是ACB的的平分线平分线,AC=16,AD=8.求线段求线段BC的长的长.【解析】【解析】如图如图,在在BC边上截取边上截取CE=AC,连接连接DE.在在ACD和和ECD中中,AD=DE,A=1.A=2B,1=2B.1=B+EDB,B
10、=EDB.EB=ED.EB=DA=8.BC=EC+BE=AC+DA=16+8=24.练习练习4如图如图,在在ABC中中,AB=AC,A=108,BD平分平分ABC.求证求证:BC=AB+CD.【解析】【解析】在在BC上截取上截取BE=BA,连接连接DE.BD平分平分ABC,ABD=EBD.又又BE=AB,BD=BD,3.角平分线角平分线+垂线构造等腰三角形垂线构造等腰三角形如图如图,P是是MON的平分线上一点的平分线上一点,APOP于点于点P,延长延长AP交交ON于点于点B,则则AOB是等腰三角形是等腰三角形.【模型分析】【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的构造此模型可以利用等腰三角形的
11、“三线合三线合一一”,得到两个全等的直角三角形得到两个全等的直角三角形,进而得到对应边、对应角相进而得到对应边、对应角相等等.这个模型巧妙地把角平分线和这个模型巧妙地把角平分线和“三线合一三线合一”联系了起来联系了起来.【解析】EFBC,ABD=EDB.如图,P是MON的平分线上一点,APOP于点P,延长AP交ON于点B,则AOB是等腰三角形.EF=ED+DF=BE+CF.求证:BD=2CE.又BE=AB,BD=BD,这个模型巧妙地把角平分线和“三线合一”联系了起来.例6如图,在ABC中,BE是角平分线,ADBE,垂足为D.CB=6,BD=4,【模型分析】利用角平分线的性质:角平分线上的点到角
12、两边的距离相等,构造模型,为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件,进而可以快速找到解题的突破口.如图,P是MON的平分线上一点,APOP于点P,延长AP交ON于点B,则AOB是等腰三角形.如图,P是MON的平分线上一点,APOP于点P,延长AP交ON于点B,则AOB是等腰三角形.AC-ABPC-PB.ABEF,CMEF.这个模型巧妙地把角平分线和“三线合一”联系了起来.【解析】如图,过点C作CMAB交AD的延长线于点M.又BE=AB,BD=BD,AEPACP.例7如图,ABC中,EFBC,点D在EF上,BD,CD分别平分ABC,ACB.【解析】EFBC,【解析】在BC上截取BE=BA,连接
13、DE.ABD=DBC.例例5如图如图,已知等腰直角三角形已知等腰直角三角形ABC中中,A=90,AB=AC,BD平分平分ABC,CEBD,交交BD的延长线的延长线于于E.求证求证:BD=2CE.【解析】【解析】如图如图,延长延长CE,BA交于点交于点F.CEBD交交BD的延长线于的延长线于E,BAC=90,BAD=CED.ABD=ACF.又又AB=AC,BAD=CAF=90,ABDACF.BD=CF.BD平分平分ABC,CBE=FBE.又又BE=BE,BEC=BEF=90,BCEBFE.CE=EF.BD=2CE.例例6如图如图,在在ABC中中,BE是角平分线是角平分线,ADBE,垂足为垂足为D
14、.求证求证:2=1+C.【解析】【解析】如图如图,延长延长AD交交BC于于F.ADBE,ADB=BDF=90.ABD=FBD,2=BFD.BFD=1+C,2=1+C.BAD=CED.在CPE中,CECP-PE,又BE=AB,BD=BD,【模型分析】有角平分线时,常过角平分线上一点作角的一边的平行线,构造等腰三角形,为证明结论提供更多的条件,体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系.例7如图,ABC中,EFBC,点D在EF上,BD,CD分别平分ABC,ACB.AD=DE,A=1.例6如图,在ABC中,BE是角平分线,ADBE,垂足为D.EF=DE-DF=BE-CF.PB+PCAB+AC.这个模型
15、巧妙地把角平分线和“三线合一”联系了起来.如图,P是MON的平分线上一点,APOP于点P,延长AP交ON于点B,则AOB是等腰三角形.写出线段EF与BE,CF之间的数量关系.求证:2=1+C.AC-ABPC-PB.又BE=AB,BD=BD,这个模型巧妙地把角平分线和“三线合一”联系了起来.如图,P是MON的平分线上一点,过点P作PAOM于点A,PBON于点B,则PB=PA.例6如图,在ABC中,BE是角平分线,ADBE,垂足为D.又BE=AB,BD=BD,EDB=DBC.理由:如图,在AC上取一点E,使AE=AB.AD=DE,A=1.【解析】【解析】如图如图,延长延长BE交交AC于点于点F.4
16、.角平分线角平分线+平行线平行线【模型分析】【模型分析】有角平分线时有角平分线时,常过角平分线上一点作角的常过角平分线上一点作角的一边的平行线一边的平行线,构造等腰三角形构造等腰三角形,为证明结论提供更多的条件为证明结论提供更多的条件,体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系.例例7如图如图,ABC中中,EFBC,点点D在在EF上上,BD,CD分别平分别平分分ABC,ACB.写出线段写出线段EF与与BE,CF之间的数量关系之间的数量关系.【解析】【解析】EFBC,EDB=DBC.BD平分平分EBC,EBD=DBC=EDB.EB=ED.同理同理DF=FC.
17、EF=ED+DF=BE+CF.例例8如图如图,BD平分平分ABC,CD平分外角平分外角ACG,DEBC交交AB于点于点E,交交AC于点于点F,线段线段EF与与BE,CF有什么数量关系有什么数量关系?并并说明理由说明理由.【解析】【解析】EF=BE-CF.理由理由:BD平分平分ABC,ABD=DBC.又又DEBC,EDB=DBC.ABD=EDB.DE=EB.同理可证同理可证CF=DF.EF=DE-DF=BE-CF.【名师点拨】【名师点拨】由由BD平分平分ABC,DEBC,推出推出EDB=EBD=DBC.练习练习6如图如图,在在ABC中中,ABC和和ACB的平分线交于点的平分线交于点E,过点过点E作作MNBC交交AB于于M点点,交交AC于于N点点.若若BM+CN=9,则则线段线段MN的长为的长为.9练习练习7如图如图,在在ABC中中,AD平分平分BAC,点点E,F分别在分别在BD,AD上上,EFAB,且且DE=CD.求证求证:EF=AC.【解析】【解析】如图如图,过点过点C作作CMAB交交AD的延长线于点的延长线于点M.ABEF,CMEF.3=4.DE=CD,5=6,DEFDCM.EF=CM.ABCM,2=4.1=2,1=4.CM=AC.EF=AC.
