1、 1.1 1.1 引言引言 1.2 1.2 自动控制系统的基本概念自动控制系统的基本概念 1.3 1.3 控制系统的基本结构形式控制系统的基本结构形式 1.4 1.4 闭环控制系统的组成和基本环节闭环控制系统的组成和基本环节 1.5 1.5 自动控制系统分类自动控制系统分类 1.6 1.6 对自动控制系统的基本要求对自动控制系统的基本要求在没有人在没有人直接参与直接参与的情况下，利用外加的设备或的情况下，利用外加的设备或装置（称装置（称控制装置或控制器控制装置或控制器），使机器、设备或），使机器、设备或生产过程（统称生产过程（统称被控对象被控对象）的某个工作状态或参）的某个工作状态或参数（即数
2、（即被控量被控量）自动地按照预定的规律（）自动地按照预定的规律（给定值给定值）运行。运行。控制系统的基本结构形式控制系统的基本结构形式开环控制系统开环控制系统闭环控制系统闭环控制系统复合控制系统复合控制系统 闭环控制系统的组成和基本环节闭环控制系统的组成和基本环节图中，图中，1 1是给定环节；是给定环节；2 2是比较环节；是比较环节；3 3是校正环节；是校正环节；4 4是放大环是放大环节；节；5 5是执行机构；是执行机构；6 6是被控对象；是被控对象；7 7是检测装置。是检测装置。输出量输入量偏差量控制量 1 2 3 4 5 6 7反馈量闭环控制系统典型结构图闭环控制系统典型结构图扰动量闭环控
3、制系统的分类闭环控制系统的分类 按照按照输入信号分类输入信号分类，控制系统可分为定值控制系，控制系统可分为定值控制系统、伺服系统和程序控制系统统、伺服系统和程序控制系统。按照系统是否满足叠加原理，系统可分为线性系按照系统是否满足叠加原理，系统可分为线性系统和非线性系统两类统和非线性系统两类。按控制系统按控制系统信号性质信号性质分，连续控制系统和离散控分，连续控制系统和离散控制系统制系统 为实现自动控制，必须对控制系统提出一定的要求。为实现自动控制，必须对控制系统提出一定的要求。对于闭环控制系统，输入量和扰动量均不变时，输出量也恒定对于闭环控制系统，输入量和扰动量均不变时，输出量也恒定不变，这种
4、状态称为不变，这种状态称为平衡态或静态、稳态；平衡态或静态、稳态；输入量或扰动量变化时，反馈量将与输入量产生偏差，通过控输入量或扰动量变化时，反馈量将与输入量产生偏差，通过控制器的作用制器的作用,使输出量最终稳定，即达到一个使输出量最终稳定，即达到一个新的平衡状态新的平衡状态；由于各环节存在惯性，系统从一个平衡点到另一个平衡点无法由于各环节存在惯性，系统从一个平衡点到另一个平衡点无法瞬间完成，存在过渡过程，亦称为瞬间完成，存在过渡过程，亦称为动态过程或暂态过程。动态过程或暂态过程。16 对自动控制系统的基本要求 根据系统稳态输出和暂态过程的特性，对闭环控制系统的根据系统稳态输出和暂态过程的特性
5、，对闭环控制系统的基本要求可以归纳为三个方面：稳、快、准。基本要求可以归纳为三个方面：稳、快、准。1 1、稳：、稳：控制系统的稳定性与平稳性。控制系统的稳定性与平稳性。稳定性是指控制系统偏离平衡状态后，自动恢复到平衡状稳定性是指控制系统偏离平衡状态后，自动恢复到平衡状态的能力；态的能力；控制系统必须具有稳定性（系统正常工作的必要条件）；控制系统必须具有稳定性（系统正常工作的必要条件）；稳定的控制系统必然存在过渡过程；稳定的控制系统必然存在过渡过程；稳定与否通常可以用曲线来描述（如下图所示）。稳定与否通常可以用曲线来描述（如下图所示）。Otr(t)c(t)平稳平稳是指动态过程振荡的振幅和频率。即
6、被控量围绕给定是指动态过程振荡的振幅和频率。即被控量围绕给定值摆动的幅度和摆动的次数。好的动态过程摆动的幅度小，值摆动的幅度和摆动的次数。好的动态过程摆动的幅度小，摆动的次数少。摆动的次数少。2 2、快、快：系统的快速性，即动态过程进行的时间长短。：系统的快速性，即动态过程进行的时间长短。稳和快反映了系统在控制过程中的性能。系统在跟踪过程稳和快反映了系统在控制过程中的性能。系统在跟踪过程中，被控量偏离给定值越小，偏离时间越短，说明系统的中，被控量偏离给定值越小，偏离时间越短，说明系统的动态精度越高。动态精度越高。tc(t)r(t)O3、准：准：就是要求被控量和设定值之间的误差达到所要求的精度就
7、是要求被控量和设定值之间的误差达到所要求的精度范围范围。准确性反映了系统的稳态精度准确性反映了系统的稳态精度 通常控制系统的稳态精度可以用通常控制系统的稳态精度可以用稳态误差稳态误差来表示：来表示：即对一个稳定系统来说，过渡过程结束后，系统输出量的即对一个稳定系统来说，过渡过程结束后，系统输出量的实际值与期望值之差，稳态误差越小，准确度越好。实际值与期望值之差，稳态误差越小，准确度越好。cr(t)系统希望输出；系统希望输出；c(t)实际输出实际输出 两者误差两者误差 e(t)=cr(t)-c(t)稳态误差稳态误差lim()sstee t根据输入点的不同，一般可以分为参考输入稳态误差和根据输入点
8、的不同，一般可以分为参考输入稳态误差和扰动输入稳态误差。扰动输入稳态误差。稳态误差与系统的类型和输入信号有关。稳态误差与系统的类型和输入信号有关。对于随动系统或其他有控制轨迹要求的系统，还应当考对于随动系统或其他有控制轨迹要求的系统，还应当考虑动态误差虑动态误差 。注意：不同性质的控制系统对稳、快、准的要求各有侧重。注意：不同性质的控制系统对稳、快、准的要求各有侧重。而对于同一系统，稳、快、准的要求之间相互制约，提高过而对于同一系统，稳、快、准的要求之间相互制约，提高过程的快速性，可能会引起系统强烈振荡；改善了平稳性，控程的快速性，可能会引起系统强烈振荡；改善了平稳性，控制过程又可能很迟缓，甚
9、至使最终精度也很差。分析和解决制过程又可能很迟缓，甚至使最终精度也很差。分析和解决这些矛盾，将是本课程讨论的重要内容。这些矛盾，将是本课程讨论的重要内容。0.5td延迟时间td0.10.9tr上升时间tr峰值时间tptp超调量%调节时间ts误差带ts振荡次数N稳态误差ess控制系统的典型单位阶跃响应ess=1-h()p()()%100%()h thh 暂态性能指标：1最大超调量（简称超调量）%cmx)(cx 最大超调量是输出量的最大值与稳态值的相对误差。%100)()(%cccmxxx2上升时间 rt 上升时间是指输出量在暂态过程中第一次到达稳态值所需的时间。3调节时间（即过渡过程时间）st
10、调节时间是指输出量与稳态值之间的误差达到所允许范围并维持在此范围内所需的时间。4振荡次数振荡次数是指在调节时间st内，输出量在稳态值附近上下波动的次数。延迟时间上升时间峰值时间调节时间快速性超 调 量 振荡次数稳态误差平稳性最终(稳态)精度自动控制原理自动控制原理：是研究自动控制：是研究自动控制共同规律共同规律的技术科学，而不的技术科学，而不是对某一过程或对象的具体控制实现（正如微积分是一种数是对某一过程或对象的具体控制实现（正如微积分是一种数学工具一样）。学工具一样）。解决的基本问题：解决的基本问题：建立系统的数学模型（建立系统的数学模型（建模建模）分析控制系统的性能（分析控制系统的性能（分
11、析分析）:给定系统结构和参数给定系统结构和参数,计计算分析稳、准、快三个指标算分析稳、准、快三个指标 控制系统的综合与校正控制系统的综合与校正控制器设计（控制器设计（综合综合）：在已）：在已知被控对象和给定性能指标的前提下知被控对象和给定性能指标的前提下,如何选择参数、改如何选择参数、改变结构，或采用何种校正方式使系统满足性能指标变结构，或采用何种校正方式使系统满足性能指标 自动控制原理及其要解决的基本问题自动控制原理研究的主要内容自动控制原理研究的主要内容经典控制理论现代控制理论研究对象 单输入、单输出系统（SISO）多输入、多输出系统（MIMO）数学模型 传递函数 状态方程研究手段 频域法
12、、根轨迹法 状态空间方法研究目的 系统综合、校正 最优控制、系统辨识、最佳估计、自适应控制 自动控制的一般概念 基本控制方式 控制系统的基本组成 控制系统的分类 对控制系统的要求 课程研究的内容第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型n微分方程式的编写微分方程式的编写 n非线性数学模型线性化非线性数学模型线性化 n传递函数传递函数 n系统动态结构图系统动态结构图 n系统传递函数和结构图的变换系统传递函数和结构图的变换 n信号流图信号流图 n小结小结 学习重点学习重点 v简单物理系统的微分方程和传递函数简单物理系统的微分方程和传递函数的列写及计算；的列写及计算；v非线性模型的
13、线性化方法；非线性模型的线性化方法；v结构图和信号流图的变换与化简；结构图和信号流图的变换与化简；v开环传递函数和闭环传递函数的推导开环传递函数和闭环传递函数的推导和计算。和计算。第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型1.数学模型的含义数学模型的含义分析和设计控制系统，首先要建立它的分析和设计控制系统，首先要建立它的数学模型。（基础）数学模型。（基础）数学模型数学模型：用：用数学的方法和形式数学的方法和形式表示和表示和描述系统中各变量间的关系描述系统中各变量间的关系,即描述系统即描述系统输入、输出及系统内部各变量之间关系输入、输出及系统内部各变量之间关系的数学表达式。的数
14、学表达式。2.2.静态模型和动态模型静态模型和动态模型 静态关系或静态特性静态关系或静态特性：系统中各变量随时间变化：系统中各变量随时间变化缓慢缓慢，其对时间的变化率（导数）可忽略不计时其对时间的变化率（导数）可忽略不计时(变量的各阶导变量的各阶导数为数为0)0)，这些变量间的关系称为，这些变量间的关系称为静态关系或静态特性静态关系或静态特性，系统称为系统称为静态系统静态系统。相应的数学模型称为。相应的数学模型称为静态模型静态模型。p静态模型中静态模型中不含有变量对时间的导数不含有变量对时间的导数。动态关系或动态特性动态关系或动态特性：系统中变量对时间的变化率不可：系统中变量对时间的变化率不可
15、忽略，这时各变量之间的关系称为忽略，这时各变量之间的关系称为动态关系或动态特性，动态关系或动态特性，系统称为动态系统，相应的数学模型称为动态模型系统称为动态系统，相应的数学模型称为动态模型(描述描述变量之间各阶导数之间关系的微分方程变量之间各阶导数之间关系的微分方程)。p控制系统中的数学模型绝大部分都指的是动态系统的数控制系统中的数学模型绝大部分都指的是动态系统的数学模型。学模型。3.3.控制系统中常见的三类数学模型控制系统中常见的三类数学模型 输入输出描述，或外部描述输入输出描述，或外部描述 把系统的输入量和输出量之间的关系用把系统的输入量和输出量之间的关系用数学方式表达出来。数学方式表达出
16、来。微分方程式、传递函数、频率特性和差微分方程式、传递函数、频率特性和差分方程分方程 。状态空间描述或内部描述状态空间描述或内部描述不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性。还可以描述系统的内部特性。它特别适用于它特别适用于多输入、多输出多输入、多输出系统，（系统，（MIMOMIMO）也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统 图形化表示图形化表示：用比较直观的结构图（：用比较直观的结构图（方块图方块图）和）和信信号流图号流图进行描述。进行描述。同一系统的数学模型可以表示为不同的形式，
17、需要同一系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同的情况对这些模型进行取舍，以利于对控根据不同的情况对这些模型进行取舍，以利于对控制系统进行有效的分析。制系统进行有效的分析。数学模型的形式数学模型的形式 时间域时间域：微分方程：微分方程 差分方程差分方程 状态方程状态方程 复数域复数域：传递函数：传递函数 动态结构图动态结构图 频率域：频率域：频率特性频率特性建立数学模型时必须建立数学模型时必须:全面了解系统特性全面了解系统特性,确定研究目的以及准确性要求确定研究目的以及准确性要求,决定能否忽略一些次要因素而简化系统的数学模决定能否忽略一些次要因素而简化系统的数学模型型.根据所应用的系统
18、分析方法根据所应用的系统分析方法,建立相应形式的数学建立相应形式的数学模型模型4.4.建立数学模型的两种基本方法建立数学模型的两种基本方法解析法（机理分析法）：解析法（机理分析法）：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律（电学中基尔霍夫、力学中牛顿定律、热力学中热力学定（电学中基尔霍夫、力学中牛顿定律、热力学中热力学定律律）列写出相应的数学关系式，建立模型。）列写出相应的数学关系式，建立模型。n 适用于比较简单的系统适用于比较简单的系统实验法（系统辨识）：实验法（系统辨识）：人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并人为地对系统施加某
19、种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识系统辨识。（测量输入、输出之间的关系，推断出数学模型）（测量输入、输出之间的关系，推断出数学模型）n 适用于复杂系统适用于复杂系统5.5.数学模型的概括性数学模型的概括性许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电气系统、液压系统和经济学系统）有时却可能气系统、液压系统和经济学系统）有时却可能具有完全相同的数学模型。具有完全相同的数学模型。数学模型表达了这些系统的共性数学模型表达了这些系统的共性。数学模型建立以后，研究系统主要是以数学模数学模
20、型建立以后，研究系统主要是以数学模型为基础分析并综合系统的各项性能，而不再型为基础分析并综合系统的各项性能，而不再涉及实际系统的物理性质和具体特点。涉及实际系统的物理性质和具体特点。由数学模型确定系统性能的主要途径由数学模型确定系统性能的主要途径求解求解观察观察线性微分方程线性微分方程性能指标性能指标传递函数传递函数时间响应时间响应 频率响应频率响应拉氏变换拉氏变换拉氏反变换拉氏反变换估算估算估算估算计算计算傅傅氏氏变变换换S=j频率特性频率特性 划分环节 写出每或一环节(元件)运动方程式 消去中间变量 写成标准形式找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。消去中间变
21、量，得到一个仅含有系统输入量与输出消去中间变量，得到一个仅含有系统输入量与输出量的微分方程。量的微分方程。写成标准形式写成标准形式将与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降幂排列。CRur(t)uc(t)i(t)例例2-1 2-1 根据电路理论中的基尔霍夫定理，根据电路理论中的基尔霍夫定理，建立建立RC无源网络的微分方程。无源网络的微分方程。rcc()()()1()()du tRi tu tu ti ttC 输入量为电压输入量为电压ur(t),输出量为电压输出量为电压uc(t)i(t)为流经电阻为流经电阻R和电容和电容C的电流，消去中的电流，消
22、去中间变量间变量i(t)，可得，可得ccrd()()()du tRCu tu tt令令RC=T，则上式又可写为则上式又可写为ccrd()()()du tTu tu tt式中式中：T称为无源网络的时间常数称为无源网络的时间常数,单位为秒单位为秒(s)一般情况下把输出变量写在等式的左边一般情况下把输出变量写在等式的左边,输输入变量写在等式的右边。入变量写在等式的右边。例例2-2 RL电路电路 取取u u为输入量为输入量,i,i为输出量为输出量diLRiudt 例例2-3 直流电动机电枢电路直流电动机电枢电路 取取u ud d为输入量为输入量,n,n为输出量为输出量2222375375dddddme
23、meLRRuGDd n GDdnnRC C dtC C dtCe ded ddddiC nR iLudtdtdnGDM3752m dMC i 例例2-4 机械位移系统机械位移系统 取取f(tf(t)为输入量为输入量,x,x为输出量为输出量()()ddx tf tBdt22()()()()d x tdx tmBKx tf tdtdt22()()()()sdd x tf tf tf tmdt()()sf tKx t由上述例题可见：线性系统微分方程式的一般形式为：rmrmmrmmrmcncnncnncnxbdtdxbdtxdbdtxdbxadtdxadtxdadtxda11110111102.32.
24、3 拉氏变换是求解线性系统微分方程的简便方法，拉氏变换是求解线性系统微分方程的简便方法，将时域方程变换为代数方程，利用查表求解。将时域方程变换为代数方程，利用查表求解。将微分方程变换为动态数学模型将微分方程变换为动态数学模型-传递函数传递函数。补充：补充：拉氏变换拉氏变换拉普拉斯变换简称为拉氏变换，它是一种函数之间的积分变换。拉氏变换是研究控制系统的一个重要数学工具,它可以把时域中的微分方程变换成复域中的代数方程，从而使微分方程的求解大为简化。同时还引出了传递函数、频率特性等概念。微分方程初始条件方程的解代数方程方程的解拉氏变换拉氏反变换t 域s域用拉氏变换解微分方程示意图用拉氏变换解微分方程
25、示意图复习复数有关概念复习复数有关概念（1 1）复数、复函数）复数、复函数 复数复数 复函数复函数 例：例：（2 2）复数模、相角）复数模、相角js yxjFFsF j22ssF xy2y2xFFarctgsFFFsF（3 3）复数的共轭）复数的共轭（4 4）解析：若）解析：若F(sF(s)在在s s点的各阶导数都存在，称点的各阶导数都存在，称F(sF(s)在在s s点解析。点解析。yxjFFsF一、一、拉氏变换的定义和存在定理拉氏变换的定义和存在定理1.1.定义定义设函数设函数f f(t t)在在t t0 0时有定义，如果线性积分时有定义，如果线性积分 0()edstf tt ()js为为复
26、复变变量量存在，则由此积分所确定的函数可写为存在，则由此积分所确定的函数可写为-0()()e dstF sf tt ()()F sf t L LF(sF(s)称为称为f(tf(t)的象函数，而的象函数，而f(tf(t)称为称为F(sF(s)的原函数，的原函数，由象函数求原函数的运算称为拉氏反变换，记作由象函数求原函数的运算称为拉氏反变换，记作 1()()f tF s L L称其为函数称其为函数 f(tf(t)的拉普拉斯变换，并记作的拉普拉斯变换，并记作2.拉普拉斯变换的存在定理拉普拉斯变换的存在定理若函数若函数f f(t t)满足下列条件：满足下列条件：在在t t0 0的任一区间上分段连续。的
27、任一区间上分段连续。在在t t充分大后满足不等式充分大后满足不等式|f f(t t)|)|MMe ectct，其中，其中MM、c c都是实都是实常数。则常数。则f f(t t)的拉氏变换的拉氏变换在平面上在平面上Re(sRe(s)c)c一定存在，此时右端的积分绝对而且一一定存在，此时右端的积分绝对而且一定收敛，并且在这半平面内定收敛，并且在这半平面内F(sF(s)为解析函数。为解析函数。-0()()e dstF sf tt 二、几种典型函数的拉氏变换二、几种典型函数的拉氏变换数学表达式为数学表达式为其拉氏变换为其拉氏变换为 tOf(t)1000()()()ed1111 ede01stststF
28、 sf tf tttsss L L10()1()00tf ttt 斜坡函数抛物线函数32002s1s100s121s1dtteetstst（欧拉公式）正弦函数正弦函数00sin0 tf(t)t t001sin2stj tj tstL f(t)t edteeedtj012-(s-j)t(sj)teedtj001112(sj)t(sj)teej sjsj22221111222jj sjsjj ss洛必达法则单位阶跃函数单位斜坡函数等加速函数三角函数指数函数单位脉冲函数幂函数223222211()1 112sin,cos1()1!atnnL l tsL tsLtssLtLtssL esaLtnL t
29、s三、拉氏变换的基本法则三、拉氏变换的基本法则1.1.线性法则线性法则 设设F1=L f1(t)F1=L f1(t)，F2=L f2(t)F2=L f2(t)，a a和和b b为常为常数，则有数，则有121212()()()()()()af tbftaf tbftaF sbF sLLLLLL2.2.微分法则微分法则 设设F=L f(t)F=L f(t)，则有，则有d()()(0)df tsF sftL L222d()()(0)(0)df ts F ssfft L L式中：式中：f(0),ff(0),f(0),f(n-1)(0)(0),f(n-1)(0)为为f(tf(t)及其各阶导数及其各阶导数
30、在在t=0t=0处的值。处的值。()1(1)()()(0)(0)nnnnfts F ssffL L stst00-stst00st0ftedtedf t e f tf t de 0-f 0s f t edt sF sf 0 证明：左右求求?)cos(tL 解解.ttnsi1cos tLtL nsi1cos 221 ss22 ss3.3.积分法则积分法则 设设F(sF(s)=L)=L f(tf(t)，f(0)=0 f(0)=0，则有，则有1()d()f ttF ss L L例例1 1 求求 Lt=?=?解解.dttt 1 dttLtL1例例2 2 求求解解.dttt 22?22 tL0111 t
31、tsss21s dttLtL2231s 0222111 ttsss4.4.终值定理终值定理若若F(sF(s)=L)=L f(tf(t)，且当，且当t t时，时，f(tf(t)存在一个确定存在一个确定的值，则其终值的值，则其终值 0lim()lim()tsf tsF s 该式为求系统的稳态误差（即该式为求系统的稳态误差（即t t ）提供了方便。）提供了方便。0()lim()lim()tsee tsE s 证明：由微分定理证明：由微分定理)(lim)(lim0sFstfst )0()()(0fsFsdtedttdft s )(1)(bsasssF 例例3 3（(极限极限)终值确实存在时终值确实存在
32、时）)0()(lim)(lim000fsFsdtedttdfst ss dtedttdft ss 00lim)(左 0)(tdf tttdf0)(lim )0()(limftft )0()(lim0fsFss 右右 abbsasssfs11lim0 22ssF ttfsin例例4 40lim220 sss0lim()ss F slim()tf t取极限取极限5.5.位移定理位移定理设设F(sF(s)=L)=L f(tf(t)，则有，则有00()e()sf tF s L L及及e()()atf tF sa L L分别称为时域中的位移定理和复域中的位移定理。分别称为时域中的位移定理和复域中的位移定
33、理。)()(00sFetfLs 证明：证明：00()t sf tedt 令令 0t00()()sfed 00()ssefed 右原函数平移原函数平移 像函数乘以像函数乘以 e e-s-s 证明：证明：)()(AsFtfeLtA 0()Att sef tedt 左令令sAs 0()s tf tedt()F s右()0()s A tf tedt()F sA原函数乘以指数函数原函数乘以指数函数eat像函数在复数域中作位移像函数在复数域中作位移a ate L teLt-5cos3 )t(eLt35cos2222155 sss-sse 例例5 5例例6 6例例7 7 22533 ss3225 ssss
34、atetL 1asss 1 )(teLt155cos2 22215522 ssesas 1小结：拉氏变换的基本定理小结：拉氏变换的基本定理 线性定理线性定理 微分定理微分定理 如果初始条件如果初始条件 成立，则有成立，则有 积分定理积分定理 初值定理初值定理 终值定理终值定理011()()(),tLf t dtL f tF sss0001()()tttnLdtdtf t dtF ss0lim()(0)lim()tsf tfsF s0lim()()lim()tsf tfsF s 121212()()()()()(),L af tbf taL f tbL f taF sbF s()()L k ft
35、k Fs(1)(0)(0)(0)0nfff()()()nnL fts F s121212()()()()()(),L f tf tL f tL f tF sF s四、拉氏反变换四、拉氏反变换 j1j1()()()e d2jstF sf tF st L L一般由一般由F F(s s)求求f f(t t)，常用部分分式法。首先将，常用部分分式法。首先将F F(s s)分解成一些简单的有理分式函数之和，然分解成一些简单的有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数即得所求的原函数f f(t t)。F(sF(s)通常是通常是s s
36、的有理分式函数，即分母多项式的阶的有理分式函数，即分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，次高于分子多项式的阶次，F(sF(s)的一般式为的一般式为1011111()mmmmnnnnb sb sbsbF ssa sasa 式中式中a1a1、a2a2、anan及及b1b1、b2b2、bmbm为实数，为实数，m m、n n为正数，且为正数，且mnmn。如果如果F(sF(s)可分解成下列分量可分解成下列分量12()()()()nF sF sFsF s并且并且F F1 1(s)(s)、F F2 2(s s)、F Fn n(s s)的拉氏反变的拉氏反变换可以很容易地求出，则换可以很容易地求出，则 1111
37、1212()()()()()()()nnF sF sFsF sf tftftLLLLLLLL例例2.1 求求 的拉氏反变换的拉氏反变换。22()43sF sss 解解：222()43(1)(3)1/21/213ssF sssssss进行反变换得进行反变换得311()ee22ttf t五、用拉氏变换求解微分方程五、用拉氏变换求解微分方程用拉普拉斯方法求在给定初始条件下微分方程用拉普拉斯方法求在给定初始条件下微分方程的步骤如下：的步骤如下：对微分方程两端进行拉氏变换，将微分方程对微分方程两端进行拉氏变换，将微分方程变为以象函数为变量的代数方程，方程中初始变为以象函数为变量的代数方程，方程中初始条件
38、是条件是t t=0=0-时的值。时的值。解代数方程，求出象函数的表达式。解代数方程，求出象函数的表达式。用部分分式法进行反变换，求得微分方程的用部分分式法进行反变换，求得微分方程的解。解。例例 用拉氏变换求解微分方程用拉氏变换求解微分方程。0()2()()0,(0)0,(0)x tx tx txxx解解：对微分方程两端进行拉氏变换对微分方程两端进行拉氏变换2()(0)(0)2()2(0)()0s X ssxxsX sxX s代入初始条件，求出象函数代入初始条件，求出象函数X(s)的表达式的表达式022()21sX sxss 例：求的拉氏变换。解：例：求F(s)=(s+2)/(s2+4s+3)的拉氏反变换。解：F(s)=(s+2)/(s2+4s+3)=(s+2)/(s+1)(s+3)=1/21/(s+1)+1/(s+3)进行拉氏反变换 f(t)=1/2(e-t+e-3t)teetttfttsin13)(223222()231sin23111(1)ttF sLtteetsssss 1.求 拉氏变换。2.P17:1-4teetttfttsin13)(2
