1、第二讲第二讲 第二换元积分法第二换元积分法 内容提要内容提要 1.1.第二第二类换元积分法的分析；类换元积分法的分析；2.2.第二第二类换元类换元积分法的运算和熟悉；积分法的运算和熟悉；3.3.基本积分表。基本积分表。教学要求教学要求 掌握并能熟练运用第二类换元积分法。掌握并能熟练运用第二类换元积分法。二、第二类换元法二、第二类换元法回顾：回顾：第一类换元法第一类换元法)()(xdxf dxxg)(恒等变形恒等变形.)(CxF )(xu 代换代换duuf)(CuF )()(xu 回代回代有时会遇到这样的情形：有时会遇到这样的情形：dxxf)()(ux 令令duuuf)()(CuF )()(xu
2、 回代回代CxF)(第二类换元法第二类换元法的的函函数数。是是其其中中引引进进的的新新变变量量xu是是自自变变量量。其其中中引引进进的的新新变变量量u定理定理2 2,)(可可导导的的函函数数是是单单调调设设ux dxxf)(duuuf)()(CuF )(CxF )(若若则则.)()(的反函数的反函数是是其中其中uxxu 0)(u 且且证明：证明：)(uF)(uf )(xf 分析：分析：由已知条件，只要证明由已知条件，只要证明)()(xfdxxdF dxxf)(dxxdF)(dxudF)(dxduuF )(dudxxf )(dxdu)(xf CxF )()(u dudx故故dxduuF )(.1
3、nbax 被积函数含有根式被积函数含有根式dxx 11.1求求例例解解，令令ux )0(2 uuxududx2 dxx 11duuu 12duuu 11)1(2)111(2duu Cuu )1ln(2Cxx )1ln(2回代回代dxxf)()(ux 令令duuuf)()(CuF )()(xu 回代回代CxF)(使用第二类换元法的关键是合理地选择变量代换使用第二类换元法的关键是合理地选择变量代换：dxxxx 41.2 求求例例解解，令令ux 4)0(42 uuxududx2 dxxxx 41uduuuu2)4(1422 duu41122Cuu )2arctan21(2回代回代Cxx 24arct
4、an42解解，令令ux 312dxxx 3123 求求例例),1(213 ux,232duudx dxxx 312)1(213 uduuu )(4336Cuu 47163283Cxx 3437)12(163)12(283u duu223 为各根指数的最小公倍数）为各根指数的最小公倍数）当被积函数含有两种或两种以上根式当被积函数含有两种或两种以上根式 时，时，例例4 4 求求.)1(13dxxx 解解令令6ux ,65duudx dxxx )1(13 duuuu)1(6235 duuu2216 duuu221116 duu)111(62Cuu )arctan(6Cxx )arctan(666lk
5、xx,nux n.2可采用令可采用令（其中（其中例例5 5 求求.132dxxx 解解令令6ux ,65duudx dxxx 321 431uuduu56 duuu 162duuu 11162duuu 1116Cuuu|)1|ln21(62Cxxx|1|ln6636632222.3axxa 或或被积函数含有根式被积函数含有根式)0(622 adxxa求求例例解解),)2,2(sin uuax，令令 dx 22xauduaua coscosdxxa 22则则duua 22cosduua )2cos1(22Cuua )2sin21(22uax22xa ,sinaxu axau22cos uuuco
6、ssin22sin 2222xaxa dxxa 22Cxaxaxa 22221arcsin2uacos?uduacos)0(1722 adxax求求例例解解),)2,0(sec uuax，令令,tansecuduuadx 22axax22ax dxax 221则则duuauua tantansec udusec,tansecln1Cuu ，axu secaaxu22tan dxax 221122lnCaaxax Caxx 22lnuuatan?)0(1822 adxax求求例例解解),)2,2(tan uuax，令令,sec2uduadx 22xaax22ax dxax 221则则duuaua
7、 secsec2duu sec1tanseclnCuu ,tanaxu aaxu22sec 122lnCaxaax dxax 221Caxx 22lnuuasec?说明说明：以上三个例子所使用的均为以上三个例子所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：一般规律如下：22)1(xa 可令可令,sinuax 22)2(xa 可令可令,tanuax 22)3(ax 可令可令,secuax )2,2(u)2,0(u)2,2(u当被积函数中含有当被积函数中含有dxax 221Caxx 22ln下面两个结果常作为积分公式使用。下面两个结果常作为积分公式使
8、用。.41922dxxx 求求例例解解，令令uxsin2,cos2ududx 24x,cos2u?dxxx 2241duuuu cos2sin4cos22uduccs241 Cu cot41u2x24x，2sinxu ，xxu24cot dxxx 2241Cxx 442解解.423dxxx 求求令令,sin2ux ududxcos2 dxxx 234 uduuucos2sin44sin223 uduu23cossin32 uduuu22cos)cos1(sin32 uduucos)cos(cos3242 Cuu 53cos51cos31322x24x.)4(51)4(345232Cxx u练习
9、练习)0(1222 adxaxx求求解解),)2,2(tan uuax，令令,sec2uduadx uaxasec22 ax22ax dxaxx 2221则则duuauaua sectansec222duuua 22tansec1duuua 22sincos1Cua sin11222sinaxxu dxaxx 2221则则Cxaax 222u当被积函数中含有根式当被积函数中含有根式dxxx 25110 求求例例（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）21xt 令令,122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242C
10、xxx 解解需根据被积函数的情况来定需根据被积函数的情况来定.指出：指出：,222222axaxxa 为了化掉根式，为了化掉根式，是否一定采用三角代换，是否一定采用三角代换，并不是并不是绝对的，绝对的，dxaxx 22（用凑微分法简单用凑微分法简单）dxaxx 2211求求例例)()(21222122axdax Cax 2322)(31解解dxxx 24求求解解dxxx 24)4()4(212212xdx Cx 232)4(31习习练练解解.1112dxex 求求例例xet 1令令,12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx小结小结第二类换元积分法：第二类换元积分法：常用的代换有：三角代换、根式代换等常用的代换有：三角代换、根式代换等.dxxf)()(ux 令令duuuf)()(CuF )()(xu 回代回代CxF)(换元的目的是为了去掉根式，便于积分换元的目的是为了去掉根式，便于积分.一般地，一般地，当被积函数含有根式时，当被积函数含有根式时，可考虑用第二类换可考虑用第二类换元积分法，元积分法，
