1、1一个方程的情形一个方程的情形方程组的情形方程组的情形小结小结 思考题思考题 作业作业第五节第五节 隐函数的求导法隐函数的求导法 第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用2 隐函数在实际问题中是常见的隐函数在实际问题中是常见的.平面曲线方程平面曲线方程空间曲面方程空间曲面方程空间曲线方程空间曲线方程下面讨论如何由下面讨论如何由隐函数方程隐函数方程0),(yxF0),(zyxF 0),(0),(zyxGzyxF如如求偏导数求偏导数.隐函数的求导公式隐函数的求导公式3一、一个方程的情形一、一个方程的情形 在一元函数微分学中在一元函数微分学中,现在利用复合函数的现在利用复合函数的链
2、导法链导法给出隐函数给出隐函数(1)0),(.1 yxF)1(0),(yxF的求导法的求导法.并指出并指出:曾介绍过隐函数曾介绍过隐函数的求导公式的求导公式,隐函数存在的一个充分条件隐函数存在的一个充分条件.隐函数的求导公式隐函数的求导公式4隐函数存在定理隐函数存在定理1 1),(yxF),(00yxP隐函数的求导公式隐函数的求导公式设二元函数设二元函数的某一邻域内满足的某一邻域内满足:在点在点,0),(00 yxFy则方程则方程;0),(00 yxF),(xfy ),(00 xfy 的某一邻域内的某一邻域内并有并有),(),(ddyxFyxFxyyx (1)具有连续偏导数具有连续偏导数;0)
3、,(yxF),(00yxP它满足条件它满足条件在点在点隐函数的求导公式隐函数的求导公式(2)(3)恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(证明从略证明从略)仅推导公式仅推导公式.将恒等式将恒等式两边关于两边关于x求导求导,),(xF由由全导数公式全导数公式,得得)(xf0 5连续，连续，由于由于),(yxFy，且且0),(00 yxFy,0),(yxFy),(),(ddyxFyxFxyyx 或简写或简写:.ddyxFFxy ),(00yx于是得于是得隐函数的求导公式隐函数的求导公式所以存在所以存在的一个邻域的一个邻域,在这个邻域内在这个邻域内),(yx
4、Fx),(yxFy xydd 0),(xF)(xf0 6如如,方程方程,0 yxeexy记记,),(yxeexyyxF ;0)0,0(F(1)xxeyyxF ),(yyexyxF ),(与与)0,0(在点在点的邻域内连续的邻域内连续;,01)0,0(yF所以方程在点所以方程在点)0,0(附近确定一个有连续导数、附近确定一个有连续导数、且且yxFFxy dd.yxexey 隐函数的求导公式隐函数的求导公式隐函数存在定理隐函数存在定理1 1的隐函数的隐函数00 yx时时当当),(xfy 则则(2)(3)7注意注意:1.定理只说明了隐函数的存在性定理只说明了隐函数的存在性,并不一定能解出并不一定能解
5、出.2.定理的结论是局部的定理的结论是局部的.3.隐函数的导数仍含有隐函数的导数仍含有x与与y,理解理解:4.定理的条件只是充分条件定理的条件只是充分条件.如如:5.注意哪个是隐函数注意哪个是隐函数,哪个是自变量哪个是自变量.求高阶导时求高阶导时,利用复利用复合函数的求导方法合函数的求导方法.()(,)dd(,)xyyfxFx yyxFx y 2(,)()0.Fxy x y 隐函数的求导公式隐函数的求导公式8解解 令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFxy dd.xyyx 隐函数的求导公式隐函数的求导公式例例1
6、12222dlnarctan,.dyyxyxx已知求222322 xyd ydxxy9),(zyxF),(000zyxP,0),(000 zyxFz则方程则方程;0),(000 zyxF),(yxfz ),(000yxfz 内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的并有并有具有连续偏导数具有连续偏导数;若三元函数若三元函数的某邻域内的某邻域内0),(zyxF),(000zyx函数函数它满足条件它满足条件在点在点在点在点0),(zyxF2.由三元方程由三元方程确定二元隐函数确定二元隐函数),(yxfz .,yzxz 求求隐函数存在定理隐函数存在定理2 2隐函
7、数的求导公式隐函数的求导公式的某一邻域的某一邻域,zxFFxz .zyFFyz (1)(2)(3)满足满足:10隐函数的求导公式隐函数的求导公式(证明从略证明从略)仅推导公式仅推导公式.将恒等式将恒等式两边分别关于两边分别关于x和和y求导求导,),(yxF应用应用复合函数求导复合函数求导法法得得),(yxf0 xFzF xz ,0,zxFFxz .zyFFyz ),(yxfz 是方程是方程0),(zyxF所确定的隐所确定的隐设设函数函数,则则yFzF yz .0 zF，且且0),(000 zyxFz,0 zF),(000zyx点点所以存在所以存在的一个邻域的一个邻域,在这个邻域内在这个邻域内因
8、为因为连续连续,于是得于是得11例2.求由lnxzzy确定的隐函数,zz x y的一阶偏导.例3.设方程2222,0f xyyz确定了隐函数,zz x y其中f有连续偏导.证明:.zzyzxzxyxy隐函数的求导公式隐函数的求导公式12例4.设,0,F xy yz xz求2,.zzzxyx y 注注对复合函数求高阶偏导数时对复合函数求高阶偏导数时,需注意需注意:导函数仍是复合函数导函数仍是复合函数.故对导函数再求偏导数时故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法仍需用复合函数求导的方法.隐函数的求导公式隐函数的求导公式13隐函数的求导公式隐函数的求导公式zyxzeyexeyxzzzzu
9、由由方方程程且且设设),(,22.d,)1(uz求求所所确确定定 解解 法一法一 利用全微分利用全微分.zzzud2d2d zzd)1(2 xxexxedd yyeyyedd zzezzedd xxex)d(1 yyey)d(1 xxexexxdd yyeyeyydd zzezezzdd zzezd)(1 )1(d)1(d)1(dzeyyexxezzyx .d)1(d)1(2dyeyxexeuyxz 例514zyxzeyexeyxzzzzu 由由方方程程且且设设),(,22.d,)1(uz求求所所确确定定 隐函数的求导公式隐函数的求导公式解解 法二法二 利用隐函数求导公式利用隐函数求导公式.令
10、令),(zyxFzyxzeyexe ,)1(xxexF ,)1(yyeyF ,)1(zzezF 故故,11zxezxxz ,11zyezyyz ).1(z xu yuyyuxxuuddd ,)1(2zxex xzz)22(yzz)22(.)1(2zyey 15二、方程组的情形(隐函数组)下面讨论由联立方程组所确定的隐函数的下面讨论由联立方程组所确定的隐函数的 0),(0),(vuyxGvuyxF确定两个确定两个二元函数二元函数,xu ,yu ),(yxuu 求求故由方程组故由方程组求导方法求导方法.).,(yxvv ,xv .yv 隐函数的求导公式隐函数的求导公式16将恒等式将恒等式 0),(
11、),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF两边关于两边关于x求偏导求偏导,xu 0),(0),(vuyxGvuyxF解这个以解这个以,xu xv 为未知量的线性方程组为未知量的线性方程组,由由链导法则链导法则得得:xG xF uF vF xv 0 uG xu vG xv 0 隐函数的求导公式隐函数的求导公式,xu ,yu 求求,xv .yv 17解得解得 00 xvvGxuuGxGxvvFxuuFxF当系数行列式不为零时当系数行列式不为零时,即即vGuGvFuF ),(),(vuGFJ雅可比行列式雅可比行列式.0 Jacobi,C.G.j.(德德)1804-1851 xu
12、vGuGvFuFvGxGvFxF xvvGuGvFuFxGuGxFuF ,),(),(1vxGFJ .),(),(1xuGFJ 隐函数的求导公式隐函数的求导公式18同理同理,vGuGvFuFvGyGvFyFyu vGuGvFuFyGuGyFuFyv ,),(),(1vyGFJ .),(),(1yuGFJ 0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF 00yvvGyuuGyGyvvFyuuFyF两边关于两边关于y求偏导求偏导,得得隐函数的求导公式隐函数的求导公式,xu ,yu 求求,xv .yv 19特特,0),(0),(时时 vuxGvuxF如果方程组如果方程组它可
13、能确定两个它可能确定两个现假定它确定现假定它确定),(),(xvvxuu 且两个函数都且两个函数都则求则求xvxudddd与与的方法同前面求的方法同前面求与与xu xv 的方法相同的方法相同.0),(0),(vuyxGvuyxF为为可微可微,别别一元函数一元函数,隐函数的求导公式隐函数的求导公式20例例6 设方程组设方程组,0022222 vuxyuvyx确定函数确定函数和和),(yxuu ),(yxvv .,yvxvyuxu 求求解解直接代入公式；直接代入公式；运用公式推导的方法运用公式推导的方法.原方程组两边分别对原方程组两边分别对法二法二法一法一x2x求偏导数：求偏导数：2yv u 0
14、xu xv u2 v2 0 xu xv 0 隐函数的求导公式隐函数的求导公式u与与v都视为都视为x,y的的二元函数二元函数21解方程组得解方程组得,2222 yxvvxuuxxvuxuv移项得：移项得：,022022 xvvxuuyxvuxuvx.)(24222vuvyxvxv ,0的条件下的条件下在在 J xu,)(24222vuuxu vuuv22 vu2x22y 隐函数的求导公式隐函数的求导公式22原方程组两边分别对原方程组两边分别对,022202 yvvyuuxyyvuyuvy,222vuxyvyvyu .222vuxyvyuyv 解方程组得解方程组得yvyu ,求求 0022222v
15、uxyuvyxy求偏导数：求偏导数：隐函数的求导公式隐函数的求导公式23求求例例7,xr ,x ,yr y 解解 法一法一 sincosryrx对对 x求偏导：求偏导：),(),(yxyxrr 隐函数的求导公式隐函数的求导公式1cossin0sincosrrxxrrxx cossinsincosrrxr cos0sin1rr cos 24对对 y求偏导求偏导,r sin ry cos ,sin yr同理，同理，xrxrxrxr cossin0sincos1 cossinsincosrrx 0sin1cos 自己练自己练.隐函数的求导公式隐函数的求导公式25法二法二 用全微分形式不变性用全微分形
16、式不变性 xd,xr ,x ,yr y sincosryrx求求 cossinsincosdrrr cosdsindryrx yd cosrd r d)sin(sinrd r dcos 隐函数的求导公式隐函数的求导公式cosdsindxy cos xr sin yr26 dcosdsindd)sin(dcosdrryrrx隐函数的求导公式隐函数的求导公式cossinsincosdrryxdsindcos sincosddxyrrrx sin ry cos 27例8.设,uxy vxy wxyz变换下列方程:2222220.zzzxx yy 隐函数的求导公式隐函数的求导公式28,sin,0),(
17、),(2xyzexzyxfuy 设设解解 ud 0 0),(2 zexy 将将zxxexxyddcosd2321 法一法一得得得得xfxdyfyd zfzd xxd21 yeyd2 zd3 xfxdyf xxdcos zfzd 隐函数的求导公式隐函数的求导公式两边两边求全微分求全微分,两边两边求全微分求全微分,xxexzydcos2d321 xxfxfuyxdcosdd xfxexzydcos2321 xuddxffyxcos zyfxex321cos2 d,0,.dufzx其中均一阶连续可导且求),(zyxfu 将29法二法二由由,0sin,0),(2 zxyzexy 且且用公式用公式:x
18、z zyzxxexxz 21cos2dd xuddxxfxdd xzfzdd .dd,0,xuzf求求均一阶连续可导且均一阶连续可导且其中其中 x21 xeycos2 ,03 01 02 13 隐函数的求导公式隐函数的求导公式xyfydd xffxzyxcosdd zyfxex321cos2 ,sin,0),(),(2xyzexzyxfuy设得由),(zyxfu 30和和是是由由方方程程设设)()(),(yxxfzxzzxyy 分分别别具具有有和和其其中中所所确确定定的的函函数数FfzyxF,0),(.ddxz求求解解)(yxxfz xyfxfxzdd1dd隐函数的求导公式隐函数的求导公式一阶
19、连续导数和一阶连续偏导数一阶连续导数和一阶连续偏导数,分别将分别将的两端对的两端对x求导求导,得得0dddd xzFxyFFzyx xzyFxzFxyFfxfxzxyfxdddddddd)0()(dd zyzyxyxFFFfxFFfxFfxfxz0),(zyxF和31隐函数的求导公式隐函数的求导公式),(zyxfu 设设函函数数有连续偏导数有连续偏导数,且且.d,),(uzeyexeyxzzzyx求求所所确确定定由由方方程程 解解 法一法一,),(zyxzeyexezyxF 设设则则用公式用公式,11zxzxezxFFxz .11zyzyezyFFyz ,)1(xxexF ,)1(yyeyF
20、.)1(zzezF 故故而而,11zxzxzxezxffxzffxu ,11zyzyzyezyffyzffyu 所以所以yyuxxuuddd 32隐函数的求导公式隐函数的求导公式且且),(zyxfu 设设函函数数有连续偏导数有连续偏导数,.d,),(uzeyexeyxzzzyx求求所所确确定定由由方方程程 法二法二 用全微分用全微分zyxzeyexe 在在两边微分两边微分,得得故故,ddddddzzezeyyeyexxexezzyyxx .)1(d)1(d)1(dzyxezyeyxexz 得得由由),(zyxfu ,ddddzfyfxfuzyx 故故xezxffzxzxd11 ud.d11ye
21、zyffzyzy 33(以下三种情况以下三种情况)隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),()1(yxF0),()2(zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF隐函数的求导公式隐函数的求导公式三、小结三、小结34思考题思考题.,2zuxvxuvzuyzvux 求求设设分析分析方程组中含有五个变量方程组中含有五个变量,由题意看出由题意看出vu,是因变量是因变量,zx,是自变量是自变量,y究竟是因变量究竟是因变量,还是自变量还是自变量?在这种所求偏导是在这种所求偏导是一阶一阶,而又有而又有一变量的属性不太明确一变量的属性不太明确的情况下的情况下,形式不变性来处理比较简便形式不变性来处理比较
22、简便.用全微分用全微分隐函数的求导公式隐函数的求导公式35解答解答.,2zuxvxuvzuyzvux 求求设设 vzuyzvux2的两边的两边求全微分求全微分,得得zvuuxddd2d zvvzuydddd zvyvzuzxvuudddddddd2 12dd)(dd uzyzvzxzu12d)21(dd2d uzzuvxyuv xu xv12 uzvz,12 uzz,121 uz zu隐函数的求导公式隐函数的求导公式36设设(,)uu x y是由方程组是由方程组(,)(,)0(,)0uf x y z tg y z th z t确定的函数确定的函数,其中其中f,g均连续可微均连续可微,且且(,)0,(,)g hz t求求.uy隐函数的求导公式隐函数的求导公式37作业作业隐函数的求导公式隐函数的求导公式 证明证明:在变换在变换 下方程下方程22,yxvxu .0 uz0 yzxxzy可转化为可转化为补充补充
