1、第四节第四节隐函数和参数方程求导隐函数和参数方程求导 31xy 一、隐函数的导数一、隐函数的导数由由)(xfy 表示的函数表示的函数,称为称为显函数显函数.例如例如,013 yx可确定显函数可确定显函数,sin xxy ),1ln(2xy 若由方程若由方程0),(yxF可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数,函数为函数为隐函数隐函数.则称此则称此例如例如,称为称为隐函数的显化隐函数的显化.03275 xxyy可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数,但此隐函数但此隐函数不能显化不能显化.隐函数求导方法隐函数求导方法:0),(yxF0),(dd yxFx两边对两边对 x 求导求导(含导数含导数
2、 的方程的方程)y)(xyy 时时刻刻注注意意.的函数的函数是是 x例例1.求由方程求由方程03275 xxyy)(xyy 在在 x=0 处的导数处的导数.0dd xxy解解:方程两边对方程两边对 x 求导求导 )32(dd75xxyyx得得xydydydd5xydyyddd)2(1621x025211dd46 yxxy因因 x=0 时时 y=0,故故210ddxxy0确定的隐函数确定的隐函数(把把 y 看成看成 x 的函数的函数)xyydd54xydd21621x0例例2.求椭圆求椭圆191622yx在点在点)3,2(23处的切线方程处的切线方程.解解:椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导
3、求导8xyy920y2323 xyyx169 2323 xy43故切线方程为故切线方程为323y43)2(x即即03843 yx例例3.求求)0(sin xxyx的导数的导数.解解:两边取对数两边取对数,化为隐式化为隐式xxylnsinln 两边对两边对 x 求导求导yy 1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx xxxexylnsinsin 1)对幂指函数对幂指函数)()(xgxfy ,可用可用取对数求导法取对数求导法:)(ln)(lnxfxgy yy1说明说明:)(ln)(xfxg )()(1)(xfxfxg 2)有些显函数用对数求导法求导很方便有些显函数用对
4、数求导法求导很方便.例如例如,两边取对数两边取对数两边对两边对 x 求导求导 yy.,1cos2yxxxy 求求 21ln y)ln(coslnln2121xxx 21221cossin121xxxxx.tancos2211121xxxxxxxy引例引例1.在解析几何中在解析几何中,用参量方程讨论动点的轨迹方程用参量方程讨论动点的轨迹方程.cos0tvx 引例引例2 在力学中在力学中,用参量方程讨论质点的运动用参量方程讨论质点的运动.yxo2021singttvy 椭圆的参数方程椭圆的参数方程:taxcostbysin(a,b 表示椭圆长短半轴表示椭圆长短半轴)ba12222byax以初速度以
5、初速度v0,仰角仰角 抛射出去抛射出去,得物体的运动轨迹得物体的运动轨迹:v0v0sin v0cos 参量方程求导参量方程求导 cos0tvx2021singttvy将将 代入代入 y 方程方程 cos00vxt 得得 220200cos21cossinvxgvxvy(2)参量方程的显化参量方程的显化.二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 参数方程参数方程)()(1txx)()(2tyy,)()(存在存在的反函数的反函数假设假设xtttxx 则复合函数则复合函数 .)()()(xyyxtytyy 函函数数就就是是参参数数方方程程所所确确定定的的那么那么且且存在存在设设定
6、理定理,0)(,)(,)(.1 txtytx)()(txtyxdyd.tdxdtdydxdyd 或或还还有有存存在在进进一一步步假假设设,)(),(tytx .)()()()()(322txtxtytxtyxdyd .证证,)(0 tx,)()(存存在在的的反反函函数数xtttxx ,)(1txxdtd 且且:根根据据复复合合求求导导法法得得xdtdtdydxdyd)()(txty1.)()(txtyxdtdtxtytddxdyd)()(22)()()()()()(txtxtxtytxty 12.)()()()()(3txtxtytxty ,进一步进一步例例4.已知摆线已知摆线)sin(tta
7、x 解解:xydd)cos1(tay dtdxdtdy/)cos1(sintata .2cot2sin22cos2sin22tttt 22ddxy dxdydxddxtd)2(cot dtdxdttd)2(cot)cos1(22/csc2tat .的一阶和二阶导数的一阶和二阶导数关于关于求求xy )()(dd22ttxy ,)()(tt xydd?例例5.设设)(tfx ,且且,0)(tf求求.dd22xy ddxy)(tft )(tf ,t dd22xy1)(tf 已知已知解解:)()(tftfty 练习练习:P111 题题8(1),1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t解
8、解:注意注意:三、相关变化率三、相关变化率)(,)(tyytxx 为两可导函数为两可导函数yx,之间有联系之间有联系tytxdd,dd之间也有联系之间也有联系称为称为相关变化率相关变化率相关变化率问题相关变化率问题解法解法:找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对 t 求导求导得相关变化率之间的关系式得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率tytyt 0lim)(.导数就是变化率导数就是变化率例例7.一气球从离开观察员一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升处离地面铅直上升,其速率为其速率为,minm140当气球高度为当气球高度为 500 m 时时,观察员观察
9、员视线的仰角增加率是多少视线的仰角增加率是多少?500h解解:设气球上升设气球上升 t 分后其高度为分后其高度为h,仰角为仰角为 ,则则 tan500h两边对两边对 t 求导求导 2sectdd thdd5001 已知已知,minm140dd th h=500m 时时,1tan 22tan1sec ,2sec2 tdd 140500121 14.0)minrad/(思考题思考题:当气球升至当气球升至500 m 时停住时停住,有一观测者以有一观测者以100 mmin 的速率向气球出发点走来的速率向气球出发点走来,当距离为当距离为500 m 时时,仰角的增加率是多少仰角的增加率是多少?提示提示:t
10、anx500对对 t 求导求导 2sectdd txxdd5002 已知已知,minm100dd tx.ddt x500,m500 x求求试求当容器内水试求当容器内水Rhxhr例例8.有一底半径为有一底半径为 R cm,高为高为 h cm 的圆锥容器的圆锥容器,今以今以 自顶部向容器内注水自顶部向容器内注水,scm253位等于锥高的一半时水面上升的速度位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解:设时刻设时刻 t 容器内水面高度为容器内水面高度为 x,水的水的VhR231)(231xhr xrh)(33322xhhhR两边对两边对 t 求导求导tVdd22hR2)(xh,ddtx 而而,)(2522
11、2xhRh ,2时时当当hx hxhRr故故 txdd)scm(25dd3 tV)scm(100dd2Rtx 体积为体积为 V,则则R内容小结内容小结1.隐函数求导法则隐函数求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导2.对数求导法对数求导法:适用于适用于幂指函数幂指函数及某些用及某些用连乘连乘,连除连除表示的函数表示的函数3.参数方程求导法参数方程求导法4.相关变化率问题相关变化率问题列出依赖于列出依赖于 t 的相关变量关系式的相关变量关系式对对 t 求导求导相关变化率之间的关系式相关变化率之间的关系式求高阶导数时求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式从低到高每次都用参数方程求导公式
12、2.设设)(xyy 由由方程方程eyxey确定确定,)0(y解解:方程两边对方程两边对 x 求导求导,得得0yxyyey再再求导求导,得得2yey yxey)(02 y当当0 x时时,1y故由故由 得得ey1)0(再再代入代入 得得21)0(ey 求求.)0(y 例例7.设由方程设由方程)10(1sin 222yytttx确定函数确定函数,)(xyy 求求.ddxy解解:方程组两边对方程组两边对 t 求导求导,得得故故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0)1(2ddttxtyddtxdd.,.3arctansinyxeyxx 求求例例 ;cos.sinsinxeexx 解解xxzzz)ln(,arctan xxz 设设.tanarclnxxxxzxdzd21.tanarclncostanarcsinxxxxxxeyxx21xxzlnarctan则则
