1、2022-12-28椭圆及其性质椭圆及其性质.pptx解析解析本题考查椭圆与双曲线的几何性质.解法一:如图是一个正六边形,A,B,C,D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点,F1,F2为椭圆M的两个焦点.直线AC是双曲线N的一条渐近线,且其方程为y=x,=.设m=k,则n=k,则双曲线N的离心率e2=2.连接F1C,在正六边形ABF2CDF1中,可得F1CF2=90,CF1F2=30.答案答案-1;2解法二:双曲线N的离心率同解法一.由题意可得C点坐标为,代入椭圆M的方程,并结合a,b,c的关系,联立得方程组解得=-1.方法总结方法总结求椭圆和双曲线的离心率的关键是通过其几何性质找到a,c
2、所满足的关系,从而求出c与a的比值,即得离心率.设椭圆的焦距为2c,则|CF2|=c,|CF1|=c,再由椭圆的定义得|CF1|+|CF2|=2a,即(+1)c=2a,椭圆M的离心率e1=-1.2.(2014北京文,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点.若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OAOB,求线段AB长度的最小值.解析解析(1)由题意,知椭圆C的标准方程为+=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e=.(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x00.因为OAOB,所
3、以=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.又+2=4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=+(y0-2)2=+4=+4=+4(04).因为+4(0b0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的离心率为()A.B.C.D.答案答案D本题考查直线方程和椭圆的几何性质.由题意易知直线AP的方程为y=(x+a),直线PF2的方程为y=(x-c).联立得y=(a+c),如图,过P向x轴引垂线,垂足为H,则PH=(a+c).所以sin60=,即a+c=5c,即a=4c,所以e=.故选D.解题关键解题关键通过解三角形得到a与c的
4、等量关系是解题的关键.因为PF2H=60,PF2=F1F2=2c,PH=(a+c),2.(2017浙江,2,5分)椭圆+=1的离心率是()A.B.C.D.答案答案B本题考查椭圆的标准方程和几何性质.由题意得,a=3,c=,离心率e=.故选B.易错警示易错警示1.把椭圆和双曲线中的a,b,c之间的关系式记混,而错选A.2.把离心率记成e=或e=,而错选C或D.3.(2017课标全国,10,5分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.B.C.D.答案答案A本题考查椭圆的性质,直线与圆的位置关系.以
5、线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,该圆与直线bx-ay+2ab=0相切,=a,即2b=,a2=3b2,a2=b2+c2,=,e=.方法技巧方法技巧椭圆离心率的求法:(1)定义法:根据条件求出a,c,直接利用公式e=求解.(2)方程法:根据已知条件建立关于a,b,c的齐次式,然后转化为关于e的方程求解.注意要根据e的范围取舍方程的解.4.(2016课标全国,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.B.C.
6、D.答案答案A由题意知过点A的直线l的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为y=k(x+a),当x=-c时,y=k(a-c),当x=0时,y=ka,所以M(-c,k(a-c),E(0,ka).如图,设OE的中点为N,则N,由于B,M,N三点共线,所以kBN=kBM,即=,所以=,即a=3c,所以e=.故选A.思路分析思路分析根据题意设出过点A的直线l的方程,从而求出点M和点E的坐标,进一步写出线段OE中点的坐标,利用三点共线建立关于a,c的方程,得到a,c的关系式,从而求出椭圆的离心率.求解本题的关键在于写出各对应点的坐标,难点在于参数的选择.方法点拨方法点拨求解圆锥曲线的离心率问题的关键是要
7、通过其几何性质找到a,c所满足的关系,从而利用e=求得离心率.5.(2018课标全国,20,12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m0).(1)证明:k-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且+=0.证明:|,|,|成等差数列,并求该数列的公差.解析解析本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、等差数列的概念及其运算.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.两式相减,并由=k得+k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.由题设得0m,故k-.(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x
8、1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2mb0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解析解析(1)根据c=及题设知M,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=或=-2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意,得原点O为F1F2的中点,MF2y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.由|MN|=5|F1
9、N|得|DF1|=2|F1N|.设N(x1,y1),由题意知y1b0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.答案答案解析解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.、两式相减并整理得=-.把已知条件代入上式得,-=-,=,故椭圆的离心率e=.评析评析本题考查了直线和椭圆的位置关系及线段的中点问题,利用整体运算的技巧是求解的关键.本题也可以利用韦达定理求解.3.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=.答案答案12解析解析解法一:由椭圆方程知椭圆
10、C的左焦点为F1(-,0),右焦点为F2(,0).则M(m,n)关于F1的对称点为A(-2-m,-n),关于F2的对称点为B(2-m,-n),设MN的中点为(x,y),所以N(2x-m,2y-n).所以|AN|+|BN|=+=2+,故由椭圆定义可知|AN|+|BN|=26=12.评析评析本题主要考查椭圆的定义等知识,重点考查学生的运算求解能力,也考查数形结合思想,难度适宜.解法二:根据已知条件画出图形,如图.设MN的中点为P,F1、F2为椭圆C的焦点,连接PF1、PF2.显然PF1是MAN的中位线,PF2是MBN的中位线,|AN|+|BN|=2|PF1|+2|PF2|=2(|PF1|+|PF2
11、|)=26=12.4.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0b1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2x轴,则椭圆E的方程为.答案答案x2+y2=1解析解析不妨设点A在第一象限,AF2x轴,A(c,b2)(其中c2=1-b2,0b0).又|AF1|=3|F1B|,由=3得B,代入x2+=1得+=1,又c2=1-b2,b2=.故椭圆E的方程为x2+y2=1.5.(2015陕西,20,12分)已知椭圆E:+=1(ab0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如
12、图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.解析解析(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=,由d=c,得a=2b=2,解得离心率=.(2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.
13、从而x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|=.由|AB|=,得=,解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=.设A(x1,y1),B(x2,y2),则+4=4b2,+4=4b2,两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,易知AB与x轴不垂直,则x1x2,所以AB的斜率kAB=.因此直线AB的方程为y=(x+2)+1,代入得x2+4x+8-2b2=0.所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.评析评析本题主要考查椭圆的标准方程
14、、几何性质,直线与椭圆的位置关系,圆的标准方程等基础知识,巧妙利用根与系数的关系或点差法构造关于参数的方程是求解的关键.考查学生的运算求解能力及方程思想的应用能力.由|AB|=,得=,解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.于是|AB|=|x1-x2|=.A A组组 2016201820162018年高考模拟年高考模拟基础题组基础题组(时间:20分钟分值:30分)一、选择题(每题5分,共10分)1.(2018北京西城二模,6)已知点A(0,0),B(2,0).若椭圆W:+=1上存在一点C,使得ABC为等边三角形,则椭圆W的离心率是()A.B.C.D.三年模拟答案答案C因为ABC为等边三角形,所以
15、C(1,),又点C在椭圆W上,所以+=1,解得m=6,则a2=6,c2=4,故e=,所以椭圆W的离心率为,故选C.2.(2016北京东城一模,7)已知P(5,2),F1(-6,0),F2(6,0)三点,那么以F1,F2为焦点且过点P的椭圆的短轴长为()A.3B.6C.9D.12答案答案B因为点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a,因为P(5,2),F1(-6,0),F2(6,0),所以|PF2|=,|PF1|=5,所以2a=6,a=3,又c=6,所以b2=9,所以b=3,2b=6.思路分析思路分析先利用已知作出图形,结合椭圆的定义和点的坐标求出a,再用基本量运算求出b,得到短轴长2b.
16、解后反思解后反思对于椭圆定义的考查,还会把椭圆定义中2a2c的条件作为考查点,本题中短轴长为2b,不是b,也是易错点.3.(2017北京丰台期末,10)设椭圆C:+=1(a0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆C上,如果|PF1|+|PF2|=10,那么椭圆C的离心率为.二、填空题(共5分)答案答案解析解析|PF1|+|PF2|=2a=10,a=5,e=.4.(2017北京朝阳二模,18)已知椭圆W:+=1(ab0)的上、下顶点分别为A、B,且点B(0,-1),F1、F2分别为椭圆W的左、右焦点,且F1BF2=120.(1)求椭圆W的标准方程;(2)点M是椭圆上异于A,B的任意一点,过点
17、M作MNy轴于N,E为线段MN的中点.直线AE与直线y=-1交于点C,G为线段BC的中点,求OEG的大小.三、解答题(共15分)解析解析(1)依题意,得b=1,在RtBF1O中,F1BO=60,所以BF1=BF2=2,即2a=2+2,所以a=2.所以椭圆W的标准方程为+y2=1.(2)设M(x0,y0),x00,则N(0,y0),E.因为点M在椭圆W上,所以+=1,即=4-4.又A(0,1),所以直线AE的方程为y-1=x.令y=-1,得C.又B(0,-1),G为线段BC的中点,所以G.所以=,又=,所以=+y0(y0+1)=-+y0=1-+y0=1-y0-1+y0=0,所以,即OEG=90.
18、B B组组 2016201820162018年高考模拟年高考模拟综合题组综合题组(时间:20分钟分值:30分)一、选择题(共5分)1.(2016北京丰台期末,7)若F(c,0)为椭圆C:+=1(ab0)的右焦点,椭圆C与直线+=1交于A,B两点,线段AB的中点在直线x=c上,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案答案B椭圆C与直线+=1交于A,B两点,可令A(a,0),B(0,b),线段AB的中点在直线x=c上,=c,椭圆的离心率e=.故选B.2.(2018北京丰台期末,13)能够说明“方程(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)表示的曲线是椭圆”为假命题的一个m的值是.二、填空
19、题(每题5分,共10分)答案答案2(答案不唯一,从(-,123,+)中任取一个值即可)解析解析当m1,且m3时,方程可化为+=1,若方程表示椭圆,则需满足解得1m0,b20,ab求解.解题关键解题关键掌握方程表示椭圆的充要条件是关键.3.(2018北京门头沟一模,13)椭圆C:+=1(ab0)上的点P若满足PF1PF2,F1,F2为椭圆的两个焦点,称这样的点P为椭圆的“焦垂点”.椭圆+=1有个“焦垂点”;请你写出椭圆C:+=1(ab0)上有4个“焦垂点”时所满足的条件:.答案答案2;cb或eb0)与圆x2+y2=c2的公共点的个数为4容易得出所满足的条件,即cb或eb0)的离心率为,F为椭圆C
20、的右焦点,A(-a,0),|AF|=3.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,P为椭圆上一点,AP的中点为M.直线OM与直线x=4交于点D,过O且平行于AP的直线与直线x=4交于点E.求证:ODF=OEF.三、解答题(共15分)解析解析(1)依题意,得=,a+c=3,解得a=2,c=1.所以b2=a2-c2=3,所以椭圆C的方程是+=1.(2)证法一:如图,由(1)得A(-2,0).设AP的中点M(x0,y0),P(x1,y1).设直线AP的方程为y=k(x+2)(k0),将其代入椭圆方程,整理得(4k2+3)x2+16k2x+16k2-12=0,所以-2+x1=.所以x0=,y0=k(x0+2)=,即M.所以直线OM的斜率是=-,所以直线OM的方程是y=-x.令x=4,得D.由题意知直线OE的方程是y=kx.令x=4,得E(4,4k).由F(1,0),得直线EF的斜率是=,所以EFOM,记垂足为H;因为直线DF的斜率是=-,所以DFOE,记垂足为G.在RtDGO和RtEHO中,ODF和OEF都与EOD互余,所以ODF=OEF.证法二:如图.由(1)得A(-2,0).设P(x1,y1)(x12),则3+4-12=0,即4=3(4-).因为AP的中点为M,所以M.
