1、 大象联考大象联考 2020 年河南省普通高中高考质量测评（一）年河南省普通高中高考质量测评（一） 数学（理科）数学（理科） （本试卷考试时间 120 分钟，满分 150 分） 祝考试顺利 注意事项 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后， 再选涂其他答案标号。 回答非选择题时， 将答案用 0.5 毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 参考公式： 锥体的体积公式
2、： 1 = 3 VSh（其中S为锥体的底面积，h为锥体的高）. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.已知集合 2 |0Ax xx，|02Bxx，则AB （ ） A.0,1 B.0,1 C.0,1 D.0,1 2.若复数z满足1z ，则zi（其中i为虚数单位）的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3. 19 sin 12 （ ） A. 62 4 B. 26 4 C. 62 4 D. 62 4 4.我们熟悉的卡通形
3、象“哆啦 A 梦”的长宽比为2:1.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例” ，该比 例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔 底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等 于“白银比例” ，若两展望台间高度差为 100 米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ） A.400 米 B.480 米 C.520 米 D.600 米 5.执行如图所示的程序框图，若输入ln10a ，lgbe，则输出的值为（ ） A.0 B.1 C.2lge D.2lg10 6.椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱
4、形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭 圆.现有一高度为 12 厘米，底面半径为 3 厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一 半（玻璃厚度忽略不计） ，在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出） ，杯中水面边界所形成的椭圆的离 心率的取值范围是（ ） A. 5 0, 6 B. 5 ,1 5 C. 2 5 0, 5 D. 2 5 ,1 5 7.函数 3 sin 3 x f xx 的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A. 64 3 B.64 C. 32 3 D.32 9.已知非零向量a，
5、b满足 2aba， 2bab，则a与b的夹角为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 10.设函数 sinf xx（0，0）是R上的奇函数，若 f x的图象关于直线 4 x 对 称，且 f x在区间, 22 11 上是单调函数，则 12 f （ ） A. 3 2 B. 2 2 C. 1 2 D. 1 2 11.对于函数 f x，定义满足 00 f xx的实数 0 x为 f x的不动点，设 logaf xx，其中0a且 1a ，若 f x有且仅有一个不动点，则a的取值范围是（ ） A.01a或ae B.1ae C.01a或 1 e ae D.01a 12.已知双曲线 22 22 1 xy
6、 ab （0a，0b） 的左、 右顶点分别为 1 A， 2 A， 虚轴的两个端点分别为 1 B， 2 B， 若四边形 1122 AB A B的内切圆面积为18，则双曲线焦距的最小值为（ ） A.8 B.16 C.6 2 D.12 2 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 6 2xy的展开式中， 24 x y的系数为_（用数字作答）. 14.已知实数x，y满足 2 1, 0, yx y 则xy的取值范围是_. 15.某次足球比赛中，A，B，C，D四支球队进入了半决赛.半决赛中，A对阵C，B对阵D，获胜的两 队进入决赛争夺冠军，
7、失利的两队争夺季军.已知他们之间相互获胜的概率如下表所示. A B C D A获胜概率 0.4 0.3 0.8 B获胜概率 0.6 0.7 0.5 C获胜概率 0.7 0.3 0.3 D获胜概率 0.2 0.5 0.7 则A队获得冠军的概率为_. 16.在棱长为 8 的正方体空盒内，有四个半径为r的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的 三个面相切，另有一个半径为R的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论 怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径r的最大值为_；大球半径R的最小值为_. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演
8、算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.联合国粮农组织对某地区最近 10 年的粮食需求量部分统计数据如下表： 年份 2010 2012 2014 2016 2018 需求量（万吨） 236 246 257 276 286 （1）由所给数据可知，年需求量与年份之间具有线性相关关系，我们以“年份2014”为横坐标x， “需 求量257”为纵坐标y，请完成如下数据处理表格： 年份2014 0 需求量257 0 （2）根据回归直线方程 ybxa分析，2020 年联合国粮农组织计划向该地区投放粮食 300 万吨，问是否 能够满足该地区的粮食需求？ 参考公式：对于一组数据 11 ,x y，
9、22 ,x y，, nn xy，其回归直线 ybxa的斜率和截距的最小二 乘估计分别为： 1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy b xnx ， a ybx. 18.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积记为S，满足 2 3 3 SAB CA. （1）求A； （2）若32bca，求 222 abc bcacab 的值. 19. 如 图 所 示 ， 四 棱 柱 1111 ABCDABC D中 ， 底 面ABCD为 梯 形 ，/AD BC，90ADC， 1 2ABBCBB，1AD ，3CD ， 1 60ABB. （1）求证： 1 ABBC； （2）若 11 ABCDA
10、BB A平面平面，求二面角 1 DBCB的余弦值. 20.市民小张计划贷款 60 万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.等额本金：每月 的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；等额本息：每个 月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若 2019 年 7 月 7 日贷款到账，则 2019 年 8 月 7 日首次还款）. 已知小张该笔贷款年限为 20 年，月利率为 0.004. （1） 若小张采取等额本金的还款方式， 现已得知第一个还款月应还 4900 元， 最后一个还款月应还 2510 元， 试计算小张该笔贷款的总利息
11、； （2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小张 家庭平均月收入为 1 万元，判断小张该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素） ； （3）对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式. 参考数据： 240 1.0042.61. 21.已知AB是圆O： 22 4xy的直径，动圆M过A，B两点，且与直线20y 相切. （1）若直线AB的方程为0xy，求M的方程； （2）在y轴上是否存在一个定点P，使得以MP为直径的圆恰好与x轴相切？若存在，求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由. 22.已知函数 2 2 x k f xex有两个极
12、值点 1 x， 2 x. （1）求实数k的取值范围； （2）证明： 12 12 f xf x k xx . 大象联考大象联考 2020 年河南省普通高中高考质量测评年河南省普通高中高考质量测评（一一） 数学（理科）答案数学（理科）答案 一、选择题一、选择题 1.解析：由 2 0xx，可得01x，所以|01ABxx. 答案；C 命题点 一元二次不等式，集合的交集 创新点 不等式与集合的交汇问题 2.解析： 由1z 知， 复数z对应的点在以原点为圆心， 1 为半径的圆上，zi表示复数z对应的点与点0,1 间的距离，又复数z对应的点所在圆的圆心到0,1的距离为 1，所以 max 1 1 2zi .
13、答案：B 命题点 复数模的定义及其几何意义 创新点 复数模的几何意义 3.解析： 197762 sinsinsinsin 121212344 答案：D 命题点 诱导公式，和差公式 创新点 特殊角与非特殊角之间的互化 4.解析： 设第一展望台到塔底的高度为x米， 则1002 x x ， 10021x ； 设塔的实际高度为y米， 则2 100 y x ，故塔高 100220021480yx米，即塔高约为 480 米. 答案：B 命题点 数学文化，比例式 创新点 多知识领域的背景综合 5.解析：因为ln101lge ，所以由程序框图知，输出的值为 11 ln10ln10ln100 lg a be .
14、 答案：A 命题点 条件分支结构 创新点 新定义问题 6.解析：当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.此时椭圆长轴长为 22 1266 5，短轴长为 6，所以椭圆离心率 2 62 5 1 56 5 e ，所以 2 5 0, 5 e . 答案：C 命题点 橢圆的定义及其性质 创新点 以日常生活情境为背景 7.解析：易知 f x为奇函数，故排除 D.又 2 cos x fxx ，易知当0, 2 x 时， 0fx；又当 , 2 x 时 ， 2 s i n1s i n0 x fxxx ， 故 fx 在, 2 上 单 调 递 增 ， 故 24 fxf ， 综上，0,x时， 0
15、fx， 即 f x单调递增.又 f x为奇函数， 所以 f x 在R上单调递增，故排除 A，C. 答案：B 命题点 函数图象与性质的综合 创新点 分段判定导数符号 8.解析：可知该几何体是底面在左侧的四棱锥，其底面是边长为 4 的正方形，高为 4，故 164 444 33 V . 答案：A 命题点 三视图，空间几何体的体积 创新点 常规几何体的非常规放置 9.解析： 由题意， 2 220abaaa b， 2 220babba b， 所以 22 2aba b， 即ab，22cos,a ba ba b， 2 2 aa， 2 2cos,aaba b，所以 2 cos, 2 a b ， 即, 4 a
16、b . 答案：B 命题点 平面向量的数量积 创新点 条件形式的对称性 10.解析：由题意知，所以 sinfxx.又由函数的对称轴易知 42 k ，kZ，即 24k，kZ，由函数的单调区间知， 1 2 114 ，即5.5，综上2，则 sin2f xx ， 1 122 f . 答案：D 命题点 三角函数的图象与性质 创新点 多性质的综合考查 11.解析：由logaxx得， ln ln x a x .又 ln x y x 的图象如图所示，易证其存在唯一的极大值 1 e ，所以由 题意，得ln0a或 1 lna e ，即01a或 1 e ae. 答案：C 命题点 函数图象，利用导数研究切线 创新点 新
17、定义问题（不动点） 12.解析： 设四边形 1122 AB A B的内切圆半径为r， 双曲线半焦距为c， 则 1 122 11 224 22 A B A B Sabc r 四边形 ， 又易知3 2r ，故 22 2 2 3 23 26 2 ab abc c ，即6 2c，当且仅当ab时等号成立.故焦距的最小 值为12 2. 答案：D 命题点 双曲线的定义及其性质 创新点 圆锥曲线与基本不等式综合 二、填空题二、填空题 13.解析：因为 6 16 2 r rr r TC xy ，所以所求项的系数为 4 4 6 260C. 答案：60 命题点 二项式定理 创新点 二项展开式通项公式的应用 14.解
18、析：由题意约束条件表示的平面区域为如图中所示的半圆面，考虑图中直线所示的两个临界位置，易 知所求取值范围为1, 2 . 答案：1, 2 命题点 线性规划 创新点 非线性条件 15.解析：由相应的概率公式知，所求概率0.30.5 0.40.5 0.80.18P . 答案：0.18 命题点 独立事件，互斥事件的概率公式 创新点 利用图表读取概率 16.解析：易知当正方体盒内四个小球中相邻小球均相切时，小球半径r最大，大球半径R最小.故可得r的 最大值为 2，下面分析2r 时R的取值.由对称性知，大球球心O与四个小球球心 1 O， 2 O， 3 O， 4 O构成 一个正四棱锥（如图） ，且 1 2O
19、ORrR， 12 4OO .又由正方体盒知，正四棱锥 1234 OOO O O的高 OH（其中H为正四棱锥底面正方形中心）长为86rRR ，故在直角三角形 1 OHO中， 222 11 OHHOOO，即 2 22 62 22RR，解得 5 2 R ，即大球半径的最小值为 5 2 . 答案：2， 5 2 命题点 立体几何中与球相关的切接问题 创新点 一题两空，数学与实际问题的结合（如何正确理解题意） 三、解答题三、解答题 17.解： （1）由所给数据和已知条件，对数据处理表格如下： 年份2014 4 2 0 2 4 需求量257 21 11 0 19 29 （2）由题意可知，变量y与x之间具有线
20、性相关关系， 由（1）中表格可得，0x ，3.2y ， 22 2222 4212110 02 194 295 0 3.2260 6.5 40 420245 0 b ， 3.2aybx。由上述 计算结果可知，所求回归直线方程为6.53.2yx， 利用回归直线方程，可预测 2020 年的粮食需求量为： 6.5202020143.2257299.2（万吨） ， 因为299.2300，故能够满足该地区的粮食需求. 命题点 线性回归直线 创新点 数据处理 18.解： （1）因为 2 3 3 SAB CA， 所以 3 sincoscos 3 bcAbcAbcA ， 所以tan3A . 因为0A， 所以 2
21、 3 A . （2）因为32bca， 所以3 sinsin2sin3BCA， 所以 2 3 sinsin3 3 BB ， 所以 13 3sincos3 22 BB ， 所以sin1 3 B . 因为0 3 B ，所以 6 B ，所以 6 C ， 所以ABC为等腰三角形，且: :3:1:1a b c ， 所以 222 332 3 33 333 abc bcacab . 命题点 面积，平面向量，正弦定理 创新点 向量夹角与三角形内角的关系 19.解： （1）取AB中点为O，连接OC， 1 OB，AC， 因为1AD ，3CD ，90ADC， 所以2AC ，故ABC为等边三角形，则ABOC. 连接 1
22、 AB，因为 1 2ABBB， 1 60ABB， 所以 1 ABB为等边三角形，则 1 ABOB. 又 1 OCOBO，所以 1 ABOBC平面. 因为 11 BCOBC平面， 所以 1 ABBC. （2）由（1）知ABOC， 因为 11 ABCDABB AAB平面平面，OCABCD 平面， 所以 11 OCABB A平面， 以O为原点， 1 OB，OB，OC为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易求 1 3OCOB，则0,1,0B， 1 3,0,0B， 0,0, 3C， 33 0, 22 D ， 则 0, 1, 3BC ， 1 3,0, 3BC ， 33 0, 22 CD . 设平面
23、 1 BBC的法向量 1111 ,nx y z， 则 1 11 0, 0, n BC n BC 即 11 11 30, 330, yz xz 令 1 1x ，则 1 3y ， 1 1z ， 故 1 1, 3,1n . 设平面 1 BCD的法向量 2222 ,nx y z， 则 2 21 0, 0, nCD nBC 则 22 22 33 0, 22 330, yz xz 令 2 1x ，则 2 3 3 y ， 2 1z ， 故 2 3 1,1 3 n ， 所以 12 12 12 1105 cos, 357 5 3 n n n n n n . 由图可知，二面角 1 DBCB为钝角， 所以二面角 1
24、 DBCB的余弦值为 105 35 . 命题点 点线面的位置关系，二面角 创新点 将面面，线面，线线垂直以及线线平行融合，增加综合性，平放的几何体让学生增强空间想 象能力，渗透直观想象的核心素养 20.解： （1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为 n a， n S表示数列 n a的前n项和，则 1 4900a ， 240 2510a， 则 1240 240 240 12049002510889200 2 aa S ， 故小张该笔贷款的总利息为889200 600000289200元. （2）设小张每月还款额为x元， 则 2239240 1 0.0041 0.0
25、041 0.0046000001 0.004xxxx， 所以 240 240 1 1.004 600000 1.004 1 1.004 x ， 即 240 240 600000 1.0040.004600000 2.61 0.004 3891 1.00412.61 1 x ， 因为 1 3891 100005000 2 ， 所以小张该笔贷款能够获批. （3）小张采取等额本息贷款方式的总利息为： 3891 240 600000933840 600000333840， 因为333840289200， 所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金还款方式. 命题点 等差数列，等比数列，实际应用 创
26、新点 将数列与生活中的贷款问题相结合，契合新课标中提高数学应用意识的要求 21.解： （1）因为M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上. 由已知AB的方程为0xy，且A，B失于坐标原点O对称， 所以M在直线yx 上，故可设,Ma a. 因为M与直线20y 相切，所以M的半径为2ra. 由已知得|2AO ，又MOAO， 故可得 2 2 242aa，解得0a或4a. 故M的半径2r 或6r ， 所以M的方程为或 22 4xy或 22 4436xy （2）法一：设,M x y，由已知得M的半径为2ry，2AO . 由于MOAO，故可得 2 22 42xyy，化简得M的轨迹方程为 2 4xy.
27、设 0 0,Py， 11 ,M x y，则的 2 11 4xy，MP的中点 101 , 22 yyx O ， 则以MP为直径的圆的半径为： 2 222 11010101 111 42 222 MPxyyyyyy y， O 到x轴的距离为 10 10 1 22 yy yy ， 令 22 1010110 11 42 22 yyyy yyy， 化简得 011 y yy，即 01 10yy， 故当 0 1y 时，式恒成立. 所以存在定点0,1P，使得以MP为直径的圆与x轴相切. 法二：设,M x y，由已知得M的半径为2ry，2AO . 由于MOAO，故可得 2 22 42xyy，化简得M的轨迹方程为
28、 2 4xy. 设 11 ,M x y，因为抛物线 2 4xy的焦点F坐标为0,1， 点M在抛物线上，所以 1 1MFy， 线段MF的中点 O ，的坐标为 11 1 , 22 xy ， 则 O 到x轴的距离为 1 1 2 y ， 而 1 11 22 y MF ， 故以MF为径的圆与x轴切， 所以当点P与F重合时，符合题意， 所以存在定点0,1P，使得以MP为直径的圆与x轴相切. 命题点 直线与圆，抛物线 创新点 以抛物线的定义为背景，回归本质 22.解： （1） x fxekx， 因为 f x存在两个极值点 1 x， 2 x 所以 0 x fxekx有两个不等实根. 设 x g xfxekx，
29、所以 x g xek. 当0k 时， 0 x g xek， 所以 g x在R上单调递增，至多有一个零点，不符合题意. 当0k 时，令 0 x g xek得lnxk， x ,lnk lnk ln , k g x 0 g x 减 极小值 增 所以 min lnln0g xgkkkk，即ke. 又因为 010g ， 2 0 k g kek， 所以 g x在区间0,lnk和ln , k k上各有一个零点，符合题意， 综上，实数k的取值范围为, e . （2）证明：由题意知： 1 11 0 x fxekx， 2 22 0 x fxekx， 所以 1 1 x ekx， 2 2 x ekx. 要证明 12
30、12 f xf x k xx ， 只需证明 12 22 12 12 12 22 2 2 xx kk exex k kxxk xx ， 只需证明 12 2xx. 因为 1 1 x ekx， 2 2 x ekx，所以 12 12 1 xx xx eek . 设 x x h x e ，则 1 x x h x e ， 所以 h x在,1上是增函数，在1,上是减函数. 因为 12 1 h xh x k ， 不妨设 12 01xx ， 设 2xh xhx，01x， 则 22 1111 21 xxxx xx xh xhxx eeee ， 当0,1x时，10x， 2 11 xx ee ， 所以 0x，所以 x在0,1上是增函数， 所以 10x， 所以 20h xhx，即 2h xhx. 因为 1 0,1x ，所以 11 2h xhx， 所以 21 2h xhx. 因为 2 1,x ， 1 21,x，且 h x在1,上是减函数， 所以 21 2xx， 即 12 2xx， 所以原命题成立，得证. 命题点 利用导数研究函数的极值点，证明不等式，隐零点，极值点偏移 创新点 隐零点代换，极值点偏移，构造函数
