1、第二章 基本物理量和高分子液体的基本流变性质 第一节张量初步知识第一节张量初步知识 第二节基本物理量第二节基本物理量第三节粘度与法向应力差系数第三节粘度与法向应力差系数第四节非牛顿型流体的分类第四节非牛顿型流体的分类 第五节关于剪切粘度的深入讨论第五节关于剪切粘度的深入讨论第六节关于第六节关于“剪切变稀行为的说明剪切变稀行为的说明第七节高分子液体弹性效应的描述第七节高分子液体弹性效应的描述第八节高分子液体的动态粘弹性第八节高分子液体的动态粘弹性第一节第一节 张量初步知识张量初步知识l高聚物流变学的发展，与现代数学的应用密切相关。特别高聚物流变学的发展，与现代数学的应用密切相关。特别是张量分析的
2、数学概念。帮助建立矢量空间的思维能力，是张量分析的数学概念。帮助建立矢量空间的思维能力，以便更好的理解流变学基本方程，以及一些加工应用方程以便更好的理解流变学基本方程，以及一些加工应用方程的推导。全面学习和研究流变学，必须具有矢量代数、线的推导。全面学习和研究流变学，必须具有矢量代数、线性代数和张量运算的数学基础。性代数和张量运算的数学基础。l一、标量、矢量和张量一、标量、矢量和张量l标量标量没有任何方向性的纯数值的量。没有任何方向性的纯数值的量。l如：质量、体积、密度、温度、热导率、热扩散率、比定如：质量、体积、密度、温度、热导率、热扩散率、比定压热容和能量。压热容和能量。l矢量矢量既有方向
3、，又有大小的量。既有方向，又有大小的量。l如：位移、速度和温度梯度等。如：位移、速度和温度梯度等。矢量矢量l矢量用粗体代号或一个脚码代号表达矢量用粗体代号或一个脚码代号表达l ai=a=axi+ayj+azki、j、k是平行于是平行于x、y、z轴的单位矢量轴的单位矢量三个分量三个分量ax、ay、az是矢量在是矢量在x、y、z轴上的投影，常把轴上的投影，常把x、y、z写成写成1、2、3l张量物理学定义张量物理学定义在一点处不同方向面上具有各个矢量在一点处不同方向面上具有各个矢量值的物理量。流变学应用的是二阶张量，是值的物理量。流变学应用的是二阶张量，是“面量面量”。张量是矢量的推广张量是矢量的推
4、广l张量数学定义张量数学定义在笛卡尔坐标系上一组有在笛卡尔坐标系上一组有3 3n n个有序矢量个有序矢量的集合。的集合。指数n称为张量的阶数，二阶笛卡尔张量n=2,标量是零阶张量，矢量是一阶张量l张量的特征：l张量可以按定量关系在不同坐标系中转换，张量可以按定量关系在不同坐标系中转换，可以从一个直角坐标系转换到另一个直角坐标可以从一个直角坐标系转换到另一个直角坐标系中，还可以转换到柱面坐标系（系中，还可以转换到柱面坐标系（r,z)r,z)和和球面坐标系球面坐标系(r,)(r,)中。中。l张量分量可在各种坐标系中描述。张量分量可在各种坐标系中描述。l张量分量具有一定的空间分布。张量分量具有一定的
5、空间分布。l张量具有可分解性和可加和性。张量具有可分解性和可加和性。l二阶张量用粗体字符或带大括号，或用双脚标表二阶张量用粗体字符或带大括号，或用双脚标表示示 111213212223313233i jaaaaaaaaaaaal流变学中的参量如：应力流变学中的参量如：应力ijij、应变、应变ijij、剪切应、剪切应力力 、剪切速率、剪切速率 和应力速率等都是张量。和应力速率等都是张量。二、哈密尔顿算子二、哈密尔顿算子l哈密尔顿算子是一个具有微分和矢量双重运算的算子哈密尔顿算子是一个具有微分和矢量双重运算的算子。l哈密尔顿算子在运算中既服从矢量代数和矢量分析中所有哈密尔顿算子在运算中既服从矢量代
6、数和矢量分析中所有法则；另一方面可按微分法则运算。法则；另一方面可按微分法则运算。ijkxyz 哈密尔顿算子哈密尔顿算子表达式表达式流动与变形的材料在某个几何空间中每个点，都对应着物理流动与变形的材料在某个几何空间中每个点，都对应着物理量的一个确定值。对于这些标量和矢量确定的空间，即为标量的一个确定值。对于这些标量和矢量确定的空间，即为标量场和矢量场。量场和矢量场。la.标量场的梯度标量场的梯度l梯度是个矢量，它的大小则为梯度是个矢量，它的大小则为最大变化率的数值。最大变化率的数值。它的方向为它的方向为变化率最大的方向。变化率最大的方向。gradijkxyz l梯度梯度是温度、浓度和密度等这些
7、标量场不均匀的量是温度、浓度和密度等这些标量场不均匀的量度，记为度，记为grad.123gradijkxxx 或梯度的基本运算法则有梯度的基本运算法则有()CC1212()121221()()()FFC为常数为常数()F为导函数为导函数b.矢量场的散度l散度为矢量场中任一点散度为矢量场中任一点(x,y,z)通过所包围界面的通过所包围界面的通量（或流量），并除以此微元体积。例如：速通量（或流量），并除以此微元体积。例如：速度散度记为度散度记为div,它是一标量。它是一标量。123iv jv kl在直角坐标系中，若在直角坐标系中，若则312vvvdivvvxyz 散度的基本运算法则为散度的基本运算
8、法则为()vuvu()vvv div物理意义：单位时间单位物理意义：单位时间单位体积内所产生的流体质量体积内所产生的流体质量流变学中最常见的是速度矢量场的散度。对于速度流变学中最常见的是速度矢量场的散度。对于速度场散度场散度divi=0,具有不可压缩特性。具有不可压缩特性。l常用于表示速度散度vi()iiivvx常用于表示速度梯度()iv()iijvvxc.拉普拉斯算子拉普拉斯算子2222xyz 称为拉普拉斯算子222222222()xyzxyz如：三、几个特殊的张量三、几个特殊的张量la.单位张量l单位张量的表达式100010001i j称为克朗内克符号10100010001iji jij当
9、当b.对称张量对称张量l二阶张量的下标二阶张量的下标i与与j互换后所代表分量不变，互换后所代表分量不变，称为二阶对称张量。即有称为二阶对称张量。即有ijij=jijil二阶对称张量的矩阵表示形式中各元素关于对二阶对称张量的矩阵表示形式中各元素关于对角线对称。因而只有六个独立元素。有：角线对称。因而只有六个独立元素。有：111213111213212223222331323333i jC 反对称张量反对称张量l二阶反对称张量的分量满足二阶反对称张量的分量满足pij=-pjil对角线各元素为零，从而只有三个独立分量，有对角线各元素为零，从而只有三个独立分量，有l任何一个二阶张量均可唯一的分解为一个
10、二阶对称张任何一个二阶张量均可唯一的分解为一个二阶对称张量和一个二阶反对称张量之和。量和一个二阶反对称张量之和。121312132123122331321323000000i jppppppppppppp d.张量的代数运算l（1）张量相等）张量相等l两个张量相等，则各分量一一对应相等。两个张量相等，则各分量一一对应相等。若两个张量在某一笛卡尔坐标系中相等，若两个张量在某一笛卡尔坐标系中相等，则它们在任意笛卡尔坐标系中也相等。则它们在任意笛卡尔坐标系中也相等。ijijAB笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系l笛卡尔坐标系(Cartesian coordinates)就是直角坐标系和斜角坐标系的统称。l相交
11、于原点的两条数轴，构成了平面仿射坐标系。如两条数轴上的度量单位相等，则称此仿射坐标系为笛卡尔坐标系。l两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系。l仿射坐标系和笛卡尔坐标系平面向空间的推广l相交于原点的三条不共面的数轴构成空间的仿射坐标系。三条数轴上度量单位相等的仿射坐标系被称为空间笛卡尔坐标系。l三条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系被称为空间笛卡尔直角坐标系，否则被称为空间笛卡尔斜角坐标系。ll笛卡尔坐标，它表示了点在空间中的位置，但却和直角坐标有区别，两种坐标可以相互转换。举个例子：某个点的笛卡尔坐标是493,454,967，那它的X轴坐标就是4+9+3=16
12、，Y轴坐标是4+5+4=13，Z轴坐标是9+6+7=22，因此这个点的直角坐标是(16,13,22)，坐标值不可能为负数（因为三个自然数相加无法成为负数）。（2）同阶张量加减）同阶张量加减l两张量必须同阶才能加减。张量的加减为同一坐标系下，对应分量相加减。即ijijijTAB（3）张量数乘）张量数乘l张量张量Aij和标量和标量的乘积，也称张量放大。就是的乘积，也称张量放大。就是把把Aij的各个分量分别乘以的各个分量分别乘以。有。有B Bijij=A=Aijijl根据以上法则，流变学中常用的一种变换根据以上法则，流变学中常用的一种变换0000000002000033002000000000010
13、3333000001000033i jij(4)张量的单点积张量的单点积l张量Aij和张量Bij的单点积，按矩阵乘法运算，单点积的结果任为张量。有ijijijTAB1221.killkil jijikkjltija ba ba ba b111211121311 1112 2113 3111 1212 2213 32212221222321 1122 2123 3121 1222 2223 323132bbaaaa ba ba ba ba ba bbbaaaa ba ba ba ba ba bbb第二节 基本物理量l流变学力学量基本物理量：流变学力学量基本物理量：应力张量、偏应力张量应力张量、偏
14、应力张量l流变学运动学量流变学运动学量:形变张量、形变率张量、速度梯度张量形变张量、形变率张量、速度梯度张量l基本流变学函数：基本流变学函数：剪切粘度、法向应力差函数、拉伸粘度等剪切粘度、法向应力差函数、拉伸粘度等一、一、流变学动力学量基本物理量 l应力产生原因：物体在外力或外力矩作用下会应力产生原因：物体在外力或外力矩作用下会产生流动或（和）形变，同时为抵抗流动或形产生流动或（和）形变，同时为抵抗流动或形变，物体内部产生相应的应力。变，物体内部产生相应的应力。l应力的定义：材料内部单位面积上的响应力，应力的定义：材料内部单位面积上的响应力，单位为单位为Pa或或MPa(1Pa=1N.m-2)l
15、特点：在平衡状态下，物体所受的外应力与内特点：在平衡状态下，物体所受的外应力与内应力数值相等。应力数值相等。（一）牵引力和应力张量（一）牵引力和应力张量 l(1)(1)牵引力牵引力首先考察流变过程中物体内一点首先考察流变过程中物体内一点P P的应力。在物体内取一小封闭的应力。在物体内取一小封闭曲面曲面S S，令，令 P P点位于曲面点位于曲面 S S 外表外表面的面元面的面元 S S 上（法线为上（法线为n n，指向曲面外），考察封闭曲面指向曲面外），考察封闭曲面S S 外的物质通过面元外的物质通过面元S S 对曲面对曲面 S S 内物质的作用力。设面元内物质的作用力。设面元S S 上的作用力
16、为上的作用力为t t，则定义，则定义l在在P P点处，通过点处，通过P P的每个方向都可的每个方向都可求出相应的牵引力求出相应的牵引力t t，即过该点的，即过该点的三个正交独立曲面上的牵引力三个正交独立曲面上的牵引力t t1 1,t,t2 2,t,t3 3,于是可以将于是可以将t t1 1,t,t2 2,t,t3 3沿坐沿坐标轴方向标轴方向(n(n1 1,n,n2 2,n,n3 3)分解，得到分解，得到（2 2）应力张量）应力张量l写成张量式写成张量式：l或者简单地或者简单地l二阶张量二阶张量 完整地描述完整地描述了了 P P点的应力状态，点的应力状态，称之为称之为P P点的应力张量。点的应力
17、张量。其中第一个下标表明其中第一个下标表明力的作用面（面元）力的作用面（面元）的法线方向，第二个的法线方向，第二个下标表示牵引力的分下标表示牵引力的分量序号量序号 l例如例如 T T1212指的是作用在第一个面元上的牵引力指的是作用在第一个面元上的牵引力t t1 1在在n n2 2方向的分量。方向的分量。（3 3）应力张量的分量）应力张量的分量l所有分量都作用在相应面元所有分量都作用在相应面元的切线方向上，称为应力张的切线方向上，称为应力张量的量的剪切分量剪切分量；l剪切力的物理剪切力的物理实质实质是粘滞力是粘滞力或或内摩擦力内摩擦力。l作用在相应面元的法线方向上的分量，称为应力张量的作用在相
18、应面元的法线方向上的分量，称为应力张量的法法向分量向分量。l法向力的物理实质是法向力的物理实质是弹性力弹性力（拉力或压力）。（拉力或压力）。l应力张量可以完整地描述粘弹性物体在流变过程中的复杂应力张量可以完整地描述粘弹性物体在流变过程中的复杂内应力状态。内应力状态。l 按按CauchyCauchy应力定律，在平衡时应力定律，在平衡时 ，物体所受，物体所受的合外力与合外力矩均等于零。于是得知，的合外力与合外力矩均等于零。于是得知，平衡时，应力张量中沿主对角线对称的剪切平衡时，应力张量中沿主对角线对称的剪切分量应相等，即分量应相等，即(,1,2,3)i jjiTTi jl平衡时应力张量为对称张量，
19、其中只有六个独平衡时应力张量为对称张量，其中只有六个独立分量。立分量。l三个为法向应力分量三个为法向应力分量:T11,T22,T33l三个为剪应力分量三个为剪应力分量：T12=T21 T13=T31 T23=T32应力张量应力张量 应力是作用在单位体积上的表面力。应力是作用在单位体积上的表面力。对于整个体积元，应以对于整个体积元，应以9 9个应力分量来表示其个应力分量来表示其流变学动力学量。流变学动力学量。总的应力张量可以分为各向同性张量和偏张量。总的应力张量可以分为各向同性张量和偏张量。各向同性张量引起体积改变，各向同性张量引起体积改变，偏张量引起形偏张量引起形状改变。状改变。l根据力的性质
20、不同，应力张量可以分解表根据力的性质不同，应力张量可以分解表示。其中最常见的一种分解形式如下：示。其中最常见的一种分解形式如下：(二)、偏应力张量 在平衡状态下在平衡状态下+流体静力学流体静力学偏应力张量偏应力张量lP P为各向同性压力（静水压力），处在任何状态下的流为各向同性压力（静水压力），处在任何状态下的流体内部都具有各向同性压力。体内部都具有各向同性压力。lTij=-pij+ijl它作用在曲面法向上，且沿曲面任何法向的值相等，它作用在曲面法向上，且沿曲面任何法向的值相等，负号表示压力方向指向封闭曲面的内部。负号表示压力方向指向封闭曲面的内部。偏应力张量偏应力张量各向同性压力各向同性压力
21、偏应力张量是应力张量中最重要的部分，直接关系到物偏应力张量是应力张量中最重要的部分，直接关系到物体流动和形变（粘性形变和弹性形变）的描写。体流动和形变（粘性形变和弹性形变）的描写。l与应力张量相似也是对称张量，只有六个独立与应力张量相似也是对称张量，只有六个独立分量。分量。l三个为法向应力，三个为法向应力，l三个为剪切应力分量：三个为剪切应力分量：例例1 静止液体的内应力静止液体的内应力l静止液体内只有法向应力（实际上就是静止液体内只有法向应力（实际上就是各向同性压力），无剪切应力。故各应各向同性压力），无剪切应力。故各应力分量为力分量为 任何静止的平衡液体，或是静止任何静止的平衡液体，或是静
22、止或流动的无粘流体都处于这种应力状态或流动的无粘流体都处于这种应力状态。例例2 2 均匀拉伸或压缩均匀拉伸或压缩l设流体只受到一个方向的拉力或压力，除此之设流体只受到一个方向的拉力或压力，除此之外不再有任何其他作用力，各应力分量为：外不再有任何其他作用力，各应力分量为：此时体系处于沿此时体系处于沿 x1方向的方向的均匀拉伸或压缩状态。均匀拉伸或压缩状态。0为拉伸，为拉伸，0 为压缩。为压缩。l材料在单轴拉伸流场中（纺丝过程）处于这种材料在单轴拉伸流场中（纺丝过程）处于这种应力状态。应力状态。例例3 均匀剪应力均匀剪应力l设流体的应力状态为：只设流体的应力状态为：只有剪切分量有剪切分量T T12
23、12=T=T2121=,=常常数，而所有其他剪切分量数，而所有其他剪切分量为零。这种剪应力称均匀为零。这种剪应力称均匀剪应力。剪应力。l当流体沿当流体沿 x x1 1方向流动，而方向流动，而在在x x2 2方向分层流动的简单剪方向分层流动的简单剪切常数的平面上受到剪切切常数的平面上受到剪切时，例如在沿时，例如在沿x x1 1方向流动的方向流动的简单剪切流场中，可能发简单剪切流场中，可能发生均匀剪应力。生均匀剪应力。简单剪切流场发生在许多仪器、设备、模具内的材料流动场简单剪切流场发生在许多仪器、设备、模具内的材料流动场中，是流变学研究的最重要的流动形式。中，是流变学研究的最重要的流动形式。考察在
24、简单剪切流场中牛顿流体所受的应力的情况考察在简单剪切流场中牛顿流体所受的应力的情况 l牛顿流体只有粘性而无弹性，牛顿流体只有粘性而无弹性，因此在应力张量中与弹性形变因此在应力张量中与弹性形变联系的各法向应力分量相等，联系的各法向应力分量相等，均可归于各向同性压力。均可归于各向同性压力。l而偏应力张量中，各法向应力而偏应力张量中，各法向应力分量等于分量等于0 0。应力张量。应力张量T T分解为分解为：l对于牛顿性流体偏应力张量中只有一个独立分量对于牛顿性流体偏应力张量中只有一个独立分量剪切剪切应力分量，故只需定义一个函数应力分量，故只需定义一个函数粘度函数粘度函数就可以就可以完全描述其力学状态。
25、完全描述其力学状态。高分子液体是粘弹性流体，要完整描述高分子液体的应力状高分子液体是粘弹性流体，要完整描述高分子液体的应力状态，偏应力张量中至少需要态，偏应力张量中至少需要4 4个应力分量个应力分量偏应力张量中法向应力分量与各向同性压力的大小有关偏应力张量中法向应力分量与各向同性压力的大小有关l两种结果中各向同性压力的值不同，由此导致偏应两种结果中各向同性压力的值不同，由此导致偏应力张量中法向应力分量的值不同。力张量中法向应力分量的值不同。l但不管应力张量如何分解，但不管应力张量如何分解，偏应力张量中两个法向偏应力张量中两个法向应力分量的差值始终保持不变。应力分量的差值始终保持不变。我们就可以定义两个法我们就可以定义两个法向应力差函数来描写材向应力差函数来描写材料弹性形变行为料弹性形变行为：N1、N2加上粘度函数，用此三个函数就可以完整描写简单剪切流场中高分子流体的应力状态和粘弹性。思考题思考题l有一试样尺寸为3cm2cm1cm的长方体，加上两种均匀的应力，其应力张量为：l（1）加上的分别是什么性质的应力？l（2）在试样的各个面上受到什么力（大小、方向和性质）？
